🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Pisagor ve Öklid teoremi Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Pisagor ve Öklid teoremi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgenin dik kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
- Dik kenar uzunlukları \(a = 6\) cm ve \(b = 8\) cm olsun.
- Hipotenüs uzunluğu \(c\) olsun.
- Pisagor Teoremi: \(a^2 + b^2 = c^2\)
- Verilen değerleri yerine koyalım: \(6^2 + 8^2 = c^2\)
- Kareleri hesaplayalım: \(36 + 64 = c^2\)
- Toplamı bulalım: \(100 = c^2\)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \(c = \sqrt{100}\)
- Sonuç: \(c = 10\) cm
Örnek 2:
Bir dik üçgenin hipotenüsü 13 cm ve bir dik kenarı 5 cm'dir. Diğer dik kenarın uzunluğunu bulunuz. 🤔
Çözüm:
Yine Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.
- Hipotenüs \(c = 13\) cm ve bir dik kenar \(a = 5\) cm olsun.
- Diğer dik kenar \(b\) olsun.
- Pisagor Teoremi: \(a^2 + b^2 = c^2\)
- Değerleri yerine koyalım: \(5^2 + b^2 = 13^2\)
- Kareleri hesaplayalım: \(25 + b^2 = 169\)
- \(b^2\) yalnız bırakalım: \(b^2 = 169 - 25\)
- Çıkarma işlemini yapalım: \(b^2 = 144\)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \(b = \sqrt{144}\)
- Sonuç: \(b = 12\) cm
Örnek 3:
Bir ABC dik üçgeninde, C açısı 90 derecedir. AC kenarı 9 cm ve BC kenarı 12 cm'dir. Bu üçgenin AB kenarının uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soruda da Pisagor Teoremi'ni uygulayacağız. Dik kenarlar AC ve BC, hipotenüs ise AB'dir.
- AC = \(a = 9\) cm
- BC = \(b = 12\) cm
- AB = \(c\) (hipotenüs)
- Teorem: \(a^2 + b^2 = c^2\)
- Değerleri yerine koyalım: \(9^2 + 12^2 = c^2\)
- Kareleri hesaplayalım: \(81 + 144 = c^2\)
- Toplamı bulalım: \(225 = c^2\)
- Karekök alalım: \(c = \sqrt{225}\)
- Sonuç: \(c = 15\) cm
Örnek 4:
Bir duvara 5 metre uzunluğunda bir merdiven dayalıdır. Merdivenin alt ucu duvardan 3 metre uzaklıktadır. Merdivenin duvarda ulaştığı yüksekliği bulunuz. 🪜
Çözüm:
Bu durum bir dik üçgen oluşturur. Merdiven, duvar ve yer arasındaki mesafe bu üçgenin kenarlarını oluşturur.
- Merdivenin uzunluğu (hipotenüs) \(c = 5\) metredir.
- Merdivenin duvardan uzaklığı (bir dik kenar) \(a = 3\) metredir.
- Merdivenin duvarda ulaştığı yükseklik (diğer dik kenar) \(b\) olsun.
- Pisagor Teoremi: \(a^2 + b^2 = c^2\)
- Değerleri yerine koyalım: \(3^2 + b^2 = 5^2\)
- Kareleri hesaplayalım: \(9 + b^2 = 25\)
- \(b^2\) yalnız bırakalım: \(b^2 = 25 - 9\)
- Çıkarma işlemini yapalım: \(b^2 = 16\)
- Karekök alalım: \(b = \sqrt{16}\)
- Sonuç: \(b = 4\) metre
Örnek 5:
Bir parkta, bir direğin tepesinden yere dik olarak inen bir ip bulunmaktadır. İpin ucu, direğin dibinden 12 metre uzaklıktaki bir noktaya gergin bir şekilde bağlanmıştır. Eğer ipin uzunluğu 15 metre ise, direğin yüksekliği kaç metredir? 🌳
Çözüm:
Bu problem, bir dik üçgenin kenarlarını bulma örneğidir. Direk, yer ve ip bir dik üçgen oluşturur.
- İpin uzunluğu (hipotenüs) \(c = 15\) metredir.
- İpin bağlandığı noktanın direğin dibine uzaklığı (bir dik kenar) \(a = 12\) metredir.
- Direğin yüksekliği (diğer dik kenar) \(b\) olsun.
- Pisagor Teoremi: \(a^2 + b^2 = c^2\)
- Değerleri yerine koyalım: \(12^2 + b^2 = 15^2\)
- Kareleri hesaplayalım: \(144 + b^2 = 225\)
- \(b^2\) yalnız bırakalım: \(b^2 = 225 - 144\)
- Çıkarma işlemini yapalım: \(b^2 = 81\)
- Karekök alalım: \(b = \sqrt{81}\)
- Sonuç: \(b = 9\) metre
Örnek 6:
Bir dik üçgenin kenar uzunlukları ardışık tam sayılardır. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 🔢
Çözüm:
Bu soruda, kenar uzunluklarının ardışık tam sayılar olması önemli bir bilgidir. Kenar uzunluklarını \(x\), \(x+1\) ve \(x+2\) olarak alabiliriz. Hipotenüs en uzun kenar olacağından \(x+2\) olur.
- Dik kenarlar: \(x\) ve \(x+1\)
- Hipotenüs: \(x+2\)
- Pisagor Teoremi: \(x^2 + (x+1)^2 = (x+2)^2\)
- Parantezleri açalım: \(x^2 + (x^2 + 2x + 1) = (x^2 + 4x + 4)\)
- Denklemi düzenleyelim: \(2x^2 + 2x + 1 = x^2 + 4x + 4\)
- Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: \(2x^2 - x^2 + 2x - 4x + 1 - 4 = 0\)
- Sadeleştirelim: \(x^2 - 2x - 3 = 0\)
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım: \((x-3)(x+1) = 0\)
- Buradan iki olası \(x\) değeri buluruz: \(x=3\) veya \(x=-1\).
- Kenar uzunlukları pozitif olmalı, bu yüzden \(x=3\) değerini alırız.
- Kenar uzunlukları: \(x=3\), \(x+1=4\), \(x+2=5\).
- Hipotenüs uzunluğu \(x+2\) olduğundan, hipotenüs 5'tir.
Örnek 7:
Bir harita üzerinde A ve B şehirleri arasındaki kuş uçuşu mesafe 50 km'dir. C şehrinin A şehrine uzaklığı 30 km ve B şehrine uzaklığı 40 km'dir. A, B ve C şehirleri bir dik üçgen oluşturur mu? 🤔
Çözüm:
Bu soruyu cevaplamak için Pisagor Teoremi'nin tersini kullanabiliriz. Eğer iki kenarın karelerinin toplamı, üçüncü kenarın karesine eşitse, bu kenarlar bir dik üçgenin dik kenarlarını ve hipotenüsünü oluşturur.
- A'dan B'ye mesafe (kuş uçuşu): \(50\) km
- A'dan C'ye mesafe: \(30\) km
- B'den C'ye mesafe: \(40\) km
- En uzun kenar 50 km'dir. Bu, olası hipotenüstür.
- Diğer iki kenarın karelerini hesaplayalım: \(30^2 = 900\) ve \(40^2 = 1600\).
- Bu iki karenin toplamını bulalım: \(900 + 1600 = 2500\).
- En uzun kenarın karesini hesaplayalım: \(50^2 = 2500\).
- Gördüğümüz gibi, \(30^2 + 40^2 = 50^2\) eşitliği sağlanmaktadır.
Örnek 8:
Bir televizyon ekranının boyutu, köşegen uzunluğu ile belirtilir. Eğer bir televizyonun genişliği 48 inç ve yüksekliği 27 inç ise, bu televizyonun ekran köşegeninin uzunluğunu (inç cinsinden) Pisagor teoremini kullanarak hesaplayınız. 📺
Çözüm:
Televizyon ekranının genişliği, yüksekliği ve köşegeni bir dik üçgen oluşturur.
- Genişlik (bir dik kenar): \(a = 48\) inç
- Yükseklik (diğer dik kenar): \(b = 27\) inç
- Köşegen (hipotenüs): \(c\)
- Pisagor Teoremi: \(a^2 + b^2 = c^2\)
- Değerleri yerine koyalım: \(48^2 + 27^2 = c^2\)
- Kareleri hesaplayalım: \(2304 + 729 = c^2\)
- Toplamı bulalım: \(3033 = c^2\)
- Karekök alalım: \(c = \sqrt{3033}\)
- Yaklaşık olarak: \(c \approx 55.07\) inç
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-pisagor-ve-oklid-teoremi/sorular