🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Pisagor Teoremi Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Pisagor Teoremi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende, dik kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 🤔
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. 💡
- Adım 1: Pisagor Teoremi'ni Hatırlama
Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Yani, \( a^2 + b^2 = c^2 \) formülünü kullanırız. Burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür. - Adım 2: Verilenleri Yerine Koyma
Dik kenar uzunluklarımız \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm'dir. Hipotenüsü \( c \) ile gösterelim.
\[ 6^2 + 8^2 = c^2 \] - Adım 3: İşlemleri Yapma
Önce karelerini alalım:
\( 36 + 64 = c^2 \)
Toplama işlemini yapalım:
\( 100 = c^2 \) - Adım 4: Hipotenüsü Bulma
\( c^2 = 100 \) ise, \( c \) değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü alırız.
\( c = \sqrt{100} \)
\( c = 10 \) cm
Örnek 2:
Bir dik üçgende hipotenüs uzunluğu 13 cm ve dik kenarlardan birinin uzunluğu 5 cm'dir. Diğer dik kenarın uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Yine Pisagor Teoremi'ni kullanarak eksik kenar uzunluğunu bulacağız. 📌
- Adım 1: Pisagor Teoremi'ni Uygulama
Formülümüz \( a^2 + b^2 = c^2 \) idi. Burada \( c \) hipotenüs, \( a \) ve \( b \) dik kenarlardır. - Adım 2: Verilenleri Yerine Koyma
Hipotenüs \( c = 13 \) cm ve bir dik kenar \( a = 5 \) cm verilmiş. Diğer dik kenarı \( b \) ile gösterelim.
\[ 5^2 + b^2 = 13^2 \] - Adım 3: Kareleri Hesaplama
\( 25 + b^2 = 169 \) - Adım 4: \( b^2 \) Değerini Bulma
\( b^2 \) yalnız bırakmak için 25'i eşitliğin diğer tarafına atarız.
\( b^2 = 169 - 25 \)
\( b^2 = 144 \) - Adım 5: \( b \) Değerini Bulma
Her iki tarafın karekökünü alırız.
\( b = \sqrt{144} \)
\( b = 12 \) cm
Örnek 3:
Bir dörtgenin köşeleri A, B, C ve D noktalarıdır. Bu dörtgenin A köşesinden C köşesine çizilen köşegenin uzunluğu 17 cm'dir. Dörtgenin kenar uzunlukları AB = 8 cm ve BC = 15 cm olduğuna göre, bu dörtgenin bir dik açısı olup olmadığını ve eğer varsa nerede olduğunu belirleyiniz. 📐
Çözüm:
Bu soruda verilen kenar uzunluklarını ve köşegen uzunluğunu Pisagor Teoremi ile test edeceğiz. 👉
- Adım 1: Verilenleri İnceleme
Kenar uzunlukları: AB = 8 cm, BC = 15 cm.
Köşegen uzunluğu: AC = 17 cm. - Adım 2: Pisagor Teoremi'ni Uygulama
Eğer ABC üçgeni bir dik üçgen ise, AB ve BC dik kenarlar, AC ise hipotenüs olmalıdır. Bu durumda \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \) eşitliği sağlanmalıdır. - Adım 3: Hesaplamaları Yapma
\( 8^2 + 15^2 = AC^2 \)
\( 64 + 225 = AC^2 \)
\( 289 = AC^2 \) - Adım 4: Sonucu Karşılaştırma
Verilen köşegen uzunluğu \( AC = 17 \) cm idi. Eğer \( AC^2 = 289 \) ise, \( AC = \sqrt{289} = 17 \) cm olur. Bulduğumuz değer ile verilen değer birbirine eşittir. - Adım 5: Sonuç Çıkarma
Eşitlik sağlandığı için, ABC üçgeni bir dik üçgendir. Hipotenüs AC olduğuna göre, dik açı hipotenüsün karşısındaki B köşesinde olmalıdır.
Örnek 4:
Bir ikizkenar üçgenin taban uzunluğu 10 cm ve eş kenarlarından biri 13 cm'dir. Bu üçgenin yüksekliğini bulunuz. (Yüksekliği tabana indirildiğinde tabanı iki eşit parçaya böler.) ⛰️
Çözüm:
İkizkenar üçgende yüksekliğin tabanı ortalaması özelliğini kullanarak Pisagor Teoremi'ni uygulayacağız. 🚀
- Adım 1: Üçgeni Analiz Etme
İkizkenar üçgende tabana indirilen yükseklik, tabanı iki eşit parçaya böler ve aynı zamanda bir dik açı oluşturur. Böylece iki adet dik üçgen elde ederiz. - Adım 2: Dik Üçgenin Kenarlarını Belirleme
Taban uzunluğu 10 cm ise, yükseklik tabanı ikiye böldüğünde her bir parça \( 10 \div 2 = 5 \) cm olur. Bu, dik üçgenin bir dik kenarıdır.
Eş kenarlardan biri 13 cm olduğu için, bu aynı zamanda dik üçgenin hipotenüsü olacaktır.
Yüksekliği \( h \) ile gösterelim. Bu da dik üçgenin diğer dik kenarıdır. - Adım 3: Pisagor Teoremi'ni Uygulama
Dik üçgenin kenarları: 5 cm (dik kenar), \( h \) (dik kenar), 13 cm (hipotenüs).
\[ 5^2 + h^2 = 13^2 \] - Adım 4: Hesaplamaları Yapma
\( 25 + h^2 = 169 \)
\( h^2 = 169 - 25 \)
\( h^2 = 144 \) - Adım 5: Yüksekliği Bulma
Her iki tarafın karekökünü alırız.
\( h = \sqrt{144} \)
\( h = 12 \) cm
Örnek 5:
Bir bahçede, düz bir zemine dik konumlandırılmış 3 metre yüksekliğindeki bir direk bulunmaktadır. Bu direğin tepesinden, zeminde direkten 4 metre uzağa bir ip geriliyor. İpin direğe ve zemine bağlanan noktaları arasındaki uzaklık (ipin uzunluğu) kaç metredir? 🌳
Çözüm:
Bu senaryoyu bir dik üçgen olarak düşünebiliriz. 💡
- Adım 1: Geometrik Modeli Oluşturma
Direk zemine dik olduğu için, direk, zemin ve ip bir dik üçgen oluşturur.
Direğin yüksekliği dik üçgenin bir dik kenarıdır.
Direkten zemindeki noktaya olan uzaklık diğer dik kenarıdır.
İpin uzunluğu ise hipotenüsü oluşturur. - Adım 2: Verilenleri Belirleme
Dik kenar 1 (direk yüksekliği) = 3 metre.
Dik kenar 2 (zemindeki uzaklık) = 4 metre.
Hipotenüs (ipin uzunluğu) = \( x \) metre. - Adım 3: Pisagor Teoremi'ni Uygulama
\[ 3^2 + 4^2 = x^2 \] - Adım 4: Hesaplamaları Yapma
\( 9 + 16 = x^2 \)
\( 25 = x^2 \) - Adım 5: İpin Uzunluğunu Bulma
Her iki tarafın karekökünü alırız.
\( x = \sqrt{25} \)
\( x = 5 \) metre
Örnek 6:
Bir harita üzerinde A noktası (2, 3) ve B noktası (6, 6) koordinatlarında bulunmaktadır. Bu iki nokta arasındaki en kısa kuş uçuşu mesafesi kaç birimdir? (Koordinat sisteminde yatay ve dikey çizgiler çizerek bir dik üçgen oluşturabilirsiniz.) 🗺️
Çözüm:
Koordinat sistemindeki iki nokta arasındaki mesafeyi bulmak için Pisagor Teoremi'ni kullanabiliriz. 🧭
- Adım 1: Dik Üçgen Oluşturma
A noktasından yatay bir çizgi ve B noktasından dikey bir çizgi çekerek bir C noktasında kesiştiririz. Bu durumda ABC bir dik üçgen olur. C noktasının koordinatları (6, 3) olacaktır. - Adım 2: Dik Kenar Uzunluklarını Hesaplama
Birinci dik kenar (yatay uzunluk) AC: x koordinatları farkı.
\( AC = |6 - 2| = 4 \) birim.
İkinci dik kenar (dikey uzunluk) BC: y koordinatları farkı.
\( BC = |6 - 3| = 3 \) birim. - Adım 3: Pisagor Teoremi'ni Uygulama
AB doğru parçası bu dik üçgenin hipotenüsüdür. Uzunluğunu \( d \) ile gösterelim.
\[ AC^2 + BC^2 = d^2 \] \[ 4^2 + 3^2 = d^2 \] - Adım 4: Hesaplamaları Yapma
\( 16 + 9 = d^2 \)
\( 25 = d^2 \) - Adım 5: Mesafeyi Bulma
Her iki tarafın karekökünü alırız.
\( d = \sqrt{25} \)
\( d = 5 \) birim
Örnek 7:
Bir inşaat işçisi, yerden 12 metre yükseklikteki bir pencereye ulaşmak için bir merdiven kullanıyor. Merdivenin zemindeki ayağı, binadan 5 metre uzağa yerleştirilmiştir. Merdivenin uzunluğu kaç metredir? 🪜
Çözüm:
Bu durum, bina duvarı, zemin ve merdivenin oluşturduğu bir dik üçgeni temsil eder. 👷
- Adım 1: Problemi Geometrik Hale Getirme
Bina duvarı zemine diktir, bu nedenle duvar ve zemin arasındaki açı 90 derecedir. Merdiven ise bu dik üçgenin hipotenüsüdür. - Adım 2: Verilen Kenarları Belirleme
Dik kenar 1 (pencerenin yerden yüksekliği) = 12 metre.
Dik kenar 2 (merdivenin zemindeki ayağının binadan uzaklığı) = 5 metre.
Hipotenüs (merdivenin uzunluğu) = \( m \) metre. - Adım 3: Pisagor Teoremi'ni Uygulama
\[ 12^2 + 5^2 = m^2 \] - Adım 4: Hesaplamaları Yapma
\( 144 + 25 = m^2 \)
\( 169 = m^2 \) - Adım 5: Merdivenin Uzunluğunu Bulma
Her iki tarafın karekökünü alırız.
\( m = \sqrt{169} \)
\( m = 13 \) metre
Örnek 8:
Bir bahçıvan, dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin köşegenini ölçmek istiyor. Bahçenin uzun kenarı 24 metre ve kısa kenarı 7 metredir. Bahçenin bir köşesinden diğer zıt köşesine olan köşegen uzunluğu kaç metredir? 🏡
Çözüm:
Dikdörtgenin köşegeni, bahçeyi iki adet dik üçgene ayırır. 🌳
- Adım 1: Dik Üçgeni Tanımlama
Dikdörtgenin kenarları birbirine diktir. Bu nedenle, bahçenin uzun kenarı, kısa kenarı ve köşegeni bir dik üçgen oluşturur. Uzun ve kısa kenarlar dik üçgenin dik kenarları, köşegen ise hipotenüsüdür. - Adım 2: Verilen Kenarları Belirleme
Dik kenar 1 (kısa kenar) = 7 metre.
Dik kenar 2 (uzun kenar) = 24 metre.
Hipotenüs (köşegen uzunluğu) = \( k \) metre. - Adım 3: Pisagor Teoremi'ni Uygulama
\[ 7^2 + 24^2 = k^2 \] - Adım 4: Hesaplamaları Yapma
\( 49 + 576 = k^2 \)
\( 625 = k^2 \) - Adım 5: Köşegen Uzunluğunu Bulma
Her iki tarafın karekökünü alırız.
\( k = \sqrt{625} \)
\( k = 25 \) metre
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-pisagor-teoremi/sorular