🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Pisagor teoremi ve dik açılar Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Pisagor teoremi ve dik açılar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgenin dik kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Pisagor teoremini kullanarak hipotenüs uzunluğunu bulabiliriz.
- Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
- Verilen dik kenar uzunlukları: \( a = 6 \) cm, \( b = 8 \) cm.
- Teoremde yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 100 = c^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{100} \)
- Sonuç: \( c = 10 \) cm.
Örnek 2:
Bir dik üçgenin hipotenüsü 13 cm ve bir dik kenarı 5 cm'dir. Diğer dik kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Yine Pisagor teoremini kullanacağız.
- Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Verilenler: \( c = 13 \) cm, \( a = 5 \) cm. Diğer dik kenar \( b \) olsun.
- Teoremde yerine koyalım: \( 5^2 + b^2 = 13^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 25 + b^2 = 169 \)
- \( b^2 \) yalnız bırakalım: \( b^2 = 169 - 25 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 144 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( b = \sqrt{144} \)
- Sonuç: \( b = 12 \) cm.
Örnek 3:
Bir duvarın dibinden 12 metre uzağa yerleştirilmiş bir merdiven, duvarın 16 metre yüksekliğine dayanmaktadır. Merdivenin uzunluğu kaç metredir? 🪜
Çözüm:
Bu durumu bir dik üçgen olarak düşünebiliriz.
- Merdivenin duvara dayanma noktası ile yerdeki konumu arasındaki mesafe (bir dik kenar) = 12 metre.
- Merdivenin ulaştığı duvar yüksekliği (diğer dik kenar) = 16 metre.
- Merdivenin uzunluğu (hipotenüs) = \( c \) olsun.
- Pisagor teoremini uygulayalım: \( 12^2 + 16^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 144 + 256 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 400 = c^2 \)
- Karekök alalım: \( c = \sqrt{400} \)
- Sonuç: \( c = 20 \) metre.
Örnek 4:
Bir karenin köşegeni 5√2 cm'dir. Bu karenin bir kenar uzunluğu kaç cm'dir? ⬛
Çözüm:
Karede köşegen, kenar uzunlukları eşit olan iki dik üçgen oluşturur.
- Karenin bir kenar uzunluğu \( a \) olsun.
- Karenin köşegeni, bu dik üçgenin hipotenüsü olur.
- Dik kenarlar \( a \) ve \( a \) olur.
- Pisagor teoremini uygulayalım: \( a^2 + a^2 = (5\sqrt{2})^2 \)
- Denklemi düzenleyelim: \( 2a^2 = (5\sqrt{2}) \times (5\sqrt{2}) \)
- Sağ tarafı hesaplayalım: \( 2a^2 = 25 \times 2 \)
- \( 2a^2 = 50 \)
- \( a^2 \) yalnız bırakalım: \( a^2 = \frac{50}{2} \)
- \( a^2 = 25 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( a = \sqrt{25} \)
- Sonuç: \( a = 5 \) cm.
Örnek 5:
Bir parkta bulunan A noktasından, B noktasına gitmek için iki yol vardır. Birinci yol, doğuya doğru 9 km gidip, sonra kuzeye doğru 12 km gitmektir. İkinci yol ise A noktasından B noktasına doğrudan giden bir yoldur. İkinci yolun uzunluğu kaç km'dir? 🗺️
Çözüm:
Bu problemi bir dik üçgen modeliyle çözebiliriz.
- Doğu yönü x ekseni, kuzey yönü y ekseni olarak düşünülebilir.
- A noktasından B noktasına doğuya gidilen mesafe (bir dik kenar) = 9 km.
- Kuzeye gidilen mesafe (diğer dik kenar) = 12 km.
- A noktasından B noktasına doğrudan giden yol, bu dik üçgenin hipotenüsüdür.
- Pisagor teoremini uygulayalım: \( 9^2 + 12^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 81 + 144 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 225 = c^2 \)
- Karekök alalım: \( c = \sqrt{225} \)
- Sonuç: \( c = 15 \) km.
Örnek 6:
Bir televizyon ekranının boyutu, köşegeni ile ifade edilir. 40 inçlik bir televizyonun ekranının eni 32 inç ise, boyu kaç inçtir? (Ekranın bir dikdörtgen olduğunu varsayın.) 📺
Çözüm:
Televizyon ekranı bir dikdörtgen olduğu için, köşegeni ile kenarları bir dik üçgen oluşturur.
- Köşegen (hipotenüs) = 40 inç.
- Ekranın eni (bir dik kenar) = 32 inç.
- Ekranın boyu (diğer dik kenar) = \( b \) olsun.
- Pisagor teoremini uygulayalım: \( 32^2 + b^2 = 40^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 1024 + b^2 = 1600 \)
- \( b^2 \) yalnız bırakalım: \( b^2 = 1600 - 1024 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 576 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( b = \sqrt{576} \)
- Sonuç: \( b = 24 \) inç.
Örnek 7:
Bir bahçıvan, 2.4 metre yüksekliğindeki bir çiçeği desteklemek için bir çubuk kullanmak istiyor. Çubuğun ucunu, çiçeğin dibinden 0.7 metre uzağa yerleştirecek. Bahçıvanın kullanması gereken çubuğun uzunluğu en az kaç metre olmalıdır? 🌱
Çözüm:
Bu problemde de bir dik üçgen modeli kullanacağız.
- Çubuğun çiçeğin dibinden uzağı (bir dik kenar) = 0.7 metre.
- Çiçeğin yüksekliği (diğer dik kenar) = 2.4 metre.
- Kullanılması gereken çubuğun uzunluğu (hipotenüs) = \( c \) olsun.
- Pisagor teoremini uygulayalım: \( (0.7)^2 + (2.4)^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 0.49 + 5.76 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 6.25 = c^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{6.25} \)
- Sonuç: \( c = 2.5 \) metre.
Örnek 8:
Bir ABC dik üçgeninde, C açısı 90 derecedir. AC kenarının uzunluğu \( x \) cm, BC kenarının uzunluğu \( x+7 \) cm ve AB kenarının uzunluğu \( x+8 \) cm'dir. Buna göre \( x \) değeri kaçtır? 🧮
Çözüm:
Bu soruda Pisagor teoremini kullanarak bir denklem kuracağız.
- Dik kenarlar AC ve BC, hipotenüs ise AB'dir.
- Pisagor teoremi: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \)
- Verilen uzunlukları yerine koyalım: \( x^2 + (x+7)^2 = (x+8)^2 \)
- Parantez kareleri açalım: \( x^2 + (x^2 + 14x + 49) = (x^2 + 16x + 64) \)
- Denklemi düzenleyelim: \( 2x^2 + 14x + 49 = x^2 + 16x + 64 \)
- Tüm terimleri bir tarafa toplayarak ikinci dereceden bir denklem elde edelim: \( 2x^2 - x^2 + 14x - 16x + 49 - 64 = 0 \)
- Sadeleştirelim: \( x^2 - 2x - 15 = 0 \)
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım: \( (x-5)(x+3) = 0 \)
- Buradan iki olası \( x \) değeri buluruz: \( x=5 \) veya \( x=-3 \).
- Uzunluk negatif olamayacağı için \( x=-3 \) değerini eleriz.
- Sonuç: \( x = 5 \) cm.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-pisagor-teoremi-ve-dik-acilar/sorular