🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Pisagor Tales Öklid Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Pisagor Tales Öklid Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgenin dik kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Bu soru, Pisagor Teoremi'nin temel uygulamasını gerektirmektedir. 💡
Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
Dik kenarlar \(a\) ve \(b\), hipotenüs \(c\) olmak üzere formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
Dik kenarlar \(a\) ve \(b\), hipotenüs \(c\) olmak üzere formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- 👉 Dik kenarları yerine yazalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- 👉 Karelerini alalım: \( 36 + 64 = c^2 \)
- 👉 Toplayalım: \( 100 = c^2 \)
- 👉 Her iki tarafın karekökünü alalım: \( \sqrt{100} = \sqrt{c^2} \)
- ✅ Sonuç: \( c = 10 \) cm.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde AB kenarı AC kenarına diktir. Yani A açısı 90 derecedir. D noktası BC kenarı üzerinde bir noktadır. AB = 9 cm, AC = 12 cm ve AD = x cm'dir. Eğer D noktası BC kenarının orta noktası ise, AD uzunluğu (x) kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu problem, hem Pisagor Teoremi'ni hem de muhteşem üçlü kuralını içerir. 📌
Muhteşem üçlü kuralı, bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğunun, hipotenüsün yarısına eşit olduğunu söyler.
Muhteşem üçlü kuralı, bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğunun, hipotenüsün yarısına eşit olduğunu söyler.
- 👉 Önce ABC dik üçgeninin hipotenüsü olan BC uzunluğunu bulalım (Pisagor Teoremi):
\( AB^2 + AC^2 = BC^2 \)
\( 9^2 + 12^2 = BC^2 \)
\( 81 + 144 = BC^2 \)
\( 225 = BC^2 \)
\( BC = \sqrt{225} = 15 \) cm. - 👉 D noktası, BC kenarının orta noktası olduğu için AD, hipotenüse ait kenarortaydır.
- 👉 Muhteşem üçlü kuralına göre, hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir:
\( AD = \frac{BC}{2} \) - 👉 Değerleri yerine yazalım:
\( x = \frac{15}{2} \) - ✅ Sonuç: \( x = 7.5 \) cm.
Örnek 3:
Yandaki şekilde, d1 ve d2 doğruları birbirine paraleldir (\(d1 \parallel d2\)). Bu doğruları kesen iki doğru parçası A noktasında kesişmektedir. A noktasından d1 doğrusuna uzaklık 5 cm, d2 doğrusuna uzaklık 10 cm'dir. d1 doğrusu üzerindeki bir doğru parçasının uzunluğu 4 cm ise, d2 doğrusu üzerindeki karşılık gelen doğru parçasının uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu problem, Tales Teoremi veya benzerlik kavramının temel bir uygulamasıdır. 💡
Tales Teoremi'ne göre, paralel doğrular kesişen doğrular tarafından orantılı parçalara ayrılır.
Tales Teoremi'ne göre, paralel doğrular kesişen doğrular tarafından orantılı parçalara ayrılır.
- 👉 A noktasından d1 doğrusuna olan uzaklık (h1) = 5 cm.
- 👉 A noktasından d2 doğrusuna olan uzaklık (h2) = 10 cm.
- 👉 d1 üzerindeki parça (x1) = 4 cm.
- 👉 d2 üzerindeki karşılık gelen parçayı (x2) bulmak istiyoruz.
- 👉 Orantıyı kuralım: \( \frac{h1}{h2} = \frac{x1}{x2} \)
- 👉 Değerleri yerine yazalım: \( \frac{5}{10} = \frac{4}{x2} \)
- 👉 Sadeleştirelim: \( \frac{1}{2} = \frac{4}{x2} \)
- 👉 İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 1 \cdot x2 = 2 \cdot 4 \)
- ✅ Sonuç: \( x2 = 8 \) cm.
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde, BC kenarına ait yükseklik AD'dir. A açısı 90 derecedir. D noktası BC kenarı üzerindedir. BD = 4 cm ve DC = 9 cm olduğuna göre, AD uzunluğu kaç cm'dir? ⛰️
Çözüm:
Bu soru, Öklid Bağıntılarından birini, yani yükseklik bağıntısını kullanmayı gerektirir. 📌
Öklid'in yükseklik bağıntısı, bir dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin karesinin, hipotenüsü ayırdığı parçaların çarpımına eşit olduğunu söyler.
Yükseklik \(h\), hipotenüs üzerindeki parçalar \(p\) ve \(k\) olmak üzere formül: \( h^2 = p \cdot k \).
Öklid'in yükseklik bağıntısı, bir dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin karesinin, hipotenüsü ayırdığı parçaların çarpımına eşit olduğunu söyler.
Yükseklik \(h\), hipotenüs üzerindeki parçalar \(p\) ve \(k\) olmak üzere formül: \( h^2 = p \cdot k \).
- 👉 Yüksekliğimiz AD'dir, yani \(h = AD\).
- 👉 Hipotenüs üzerindeki parçalar BD = 4 cm (\(p\)) ve DC = 9 cm (\(k\))'dir.
- 👉 Formülü uygulayalım: \( AD^2 = BD \cdot DC \)
- 👉 Değerleri yerine yazalım: \( AD^2 = 4 \cdot 9 \)
- 👉 Çarpalım: \( AD^2 = 36 \)
- 👉 Her iki tarafın karekökünü alalım: \( \sqrt{AD^2} = \sqrt{36} \)
- ✅ Sonuç: \( AD = 6 \) cm.
Örnek 5:
Bir ABC dik üçgeninde A açısı 90 derecedir. Hipotenüse ait yükseklik AD'dir. D noktası BC üzerindedir. BD = 3 cm ve BC = 12 cm olduğuna göre, AB kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu problem, Öklid Bağıntılarından kenar bağıntısını kullanmayı gerektirir. 💡
Öklid'in kenar bağıntısı, bir dik üçgende bir dik kenarın karesinin, hipotenüs üzerindeki kendi tarafındaki parçanın uzunluğu ile tüm hipotenüsün uzunluğunun çarpımına eşit olduğunu söyler.
Dik kenar \(b\), kendi tarafındaki parça \(p\), hipotenüs \(c\) olmak üzere formül: \( b^2 = p \cdot c \).
Öklid'in kenar bağıntısı, bir dik üçgende bir dik kenarın karesinin, hipotenüs üzerindeki kendi tarafındaki parçanın uzunluğu ile tüm hipotenüsün uzunluğunun çarpımına eşit olduğunu söyler.
Dik kenar \(b\), kendi tarafındaki parça \(p\), hipotenüs \(c\) olmak üzere formül: \( b^2 = p \cdot c \).
- 👉 AB kenarını bulmak istiyoruz. Buna \(x\) diyelim.
- 👉 AB'nin hipotenüs üzerindeki kendi tarafındaki parça BD = 3 cm'dir.
- 👉 Tüm hipotenüs BC = 12 cm'dir.
- 👉 Formülü uygulayalım: \( AB^2 = BD \cdot BC \)
- 👉 Değerleri yerine yazalım: \( x^2 = 3 \cdot 12 \)
- 👉 Çarpalım: \( x^2 = 36 \)
- 👉 Her iki tarafın karekökünü alalım: \( \sqrt{x^2} = \sqrt{36} \)
- ✅ Sonuç: \( x = 6 \) cm.
Örnek 6:
Elif, evlerinin bahçesindeki duvarı boyamak için bir merdiven kullanıyor. Merdivenin ayağı duvardan 3 metre uzakta ve merdiven duvarın 4 metre yüksekliğine ulaşıyor. Bir süre sonra Elif, merdiveni daha dik hale getirmek için ayağını duvardan 1 metre daha yaklaştırıyor. Bu durumda merdivenin ulaştığı yükseklik kaç metre olur? (Merdivenin boyu değişmemektedir.) 🪜
Çözüm:
Bu problem, Pisagor Teoremi'ni iki farklı durumda uygulayarak çözülür. 🧐
Öncelikle merdivenin boyunu bulmalı, sonra bu boyu kullanarak yeni yüksekliği hesaplamalıyız.
Öncelikle merdivenin boyunu bulmalı, sonra bu boyu kullanarak yeni yüksekliği hesaplamalıyız.
- 1. Durum: Merdivenin Boyunu Bulma
- 👉 Merdiven, duvar ve yer bir dik üçgen oluşturur.
- 👉 Dik kenarlar: Duvara uzaklık = 3 m, Duvar yüksekliği = 4 m.
- 👉 Merdivenin boyu (hipotenüs) \(M\) olsun. Pisagor Teoremi'nden: \[ 3^2 + 4^2 = M^2 \] \[ 9 + 16 = M^2 \] \[ 25 = M^2 \] \[ M = \sqrt{25} = 5 \] metre.
- ✅ Merdivenin boyu 5 metredir.
- 2. Durum: Yeni Yüksekliği Bulma
- 👉 Merdivenin ayağı duvardan 1 metre daha yaklaştırıldığında, yeni uzaklık \(3 - 1 = 2\) metre olur.
- 👉 Merdivenin boyu \(M = 5\) metre değişmez.
- 👉 Yeni yüksekliği \(H\) ile gösterelim. Yine bir dik üçgen oluşur: \[ 2^2 + H^2 = 5^2 \] \[ 4 + H^2 = 25 \] \[ H^2 = 25 - 4 \] \[ H^2 = 21 \] \[ H = \sqrt{21} \] metre.
- ✅ Merdivenin ulaştığı yeni yükseklik \( \sqrt{21} \) metredir.
Örnek 7:
Bir mühendis, bir nehir üzerindeki köprüyü tasarlarken nehrin genişliğini ölçmek istiyor. Nehrin bir tarafında A noktasında duran mühendis, karşı kıyıdaki C noktasını görüyor. Kendi tarafında, A noktasından 120 metre ileride B noktasına bir işaret koyuyor. Daha sonra B noktasından, AC doğrusuna paralel olacak şekilde nehir boyunca 50 metre ileride D noktasına bir işaret koyuyor. D noktasından C noktasını ve B noktasını aynı hizada görecek şekilde E noktasına bir işaret koyuyor. Eğer BE uzunluğu 40 metre ise, nehrin genişliği olan AC uzunluğu kaç metredir? (Tüm noktalar düz bir zeminde ve AC ile BD paraleldir.) 🌉
Çözüm:
Bu problem, Tales Teoremi'nin veya benzer üçgenlerin günlük hayattaki bir uygulamasıdır. 🌍
AC ve BD paralel olduğu için, C, E, B ve A, E, D noktaları arasında benzer üçgenler oluşur.
Yani, \( \triangle AEC \) ve \( \triangle DEB \) üçgenleri benzerdir.
AC ve BD paralel olduğu için, C, E, B ve A, E, D noktaları arasında benzer üçgenler oluşur.
Yani, \( \triangle AEC \) ve \( \triangle DEB \) üçgenleri benzerdir.
- 👉 AC nehrin genişliği (\(x\)) ve BD = 50 metre.
- 👉 AE uzunluğu ve EB uzunluğu orantılıdır.
- 👉 BE = 40 metre. AB = 120 metre olduğu için AE = AB - BE = \(120 - 40 = 80\) metredir.
- 👉 Benzerlik oranını yazalım: \( \frac{AC}{BD} = \frac{AE}{BE} \)
- 👉 Değerleri yerine yazalım: \( \frac{x}{50} = \frac{80}{40} \)
- 👉 Sağ tarafı sadeleştirelim: \( \frac{80}{40} = 2 \)
- 👉 Denklemi yeniden yazalım: \( \frac{x}{50} = 2 \)
- 👉 \(x\) değerini bulmak için 50'yi karşıya çarpım olarak atalım: \( x = 2 \cdot 50 \)
- ✅ Sonuç: \( x = 100 \) metre.
Örnek 8:
Bir ABC dik üçgeninde, A açısı 90 derecedir. Hipotenüse ait yükseklik AD'dir. AC kenarının uzunluğu 10 cm'dir. DC uzunluğu BD uzunluğunun 4 katı olduğuna göre, AD yüksekliğinin uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu problem, Öklid Bağıntılarının hem kenar hem de yükseklik bağıntısını bir arada kullanmayı gerektirir. 🧐
- 👉 BD uzunluğuna \(k\) diyelim.
- 👉 O zaman DC uzunluğu \(4k\) olur.
- 👉 Hipotenüs BC'nin tamamı \(BD + DC = k + 4k = 5k\) olur.
- 👉 AC kenarının uzunluğu 10 cm verilmiş. AC kenar bağıntısını kullanalım:
\[ AC^2 = DC \cdot BC \] \[ 10^2 = (4k) \cdot (5k) \] \[ 100 = 20k^2 \] - 👉 \(k^2\) değerini bulalım:
\[ k^2 = \frac{100}{20} \] \[ k^2 = 5 \] - 👉 Şimdi AD yüksekliğini bulmak için yükseklik bağıntısını kullanalım:
\[ AD^2 = BD \cdot DC \] \[ AD^2 = k \cdot (4k) \] \[ AD^2 = 4k^2 \] - 👉 Bulduğumuz \(k^2 = 5\) değerini yerine yazalım:
\[ AD^2 = 4 \cdot 5 \] \[ AD^2 = 20 \] - 👉 Her iki tarafın karekökünü alalım:
\[ AD = \sqrt{20} \] \[ AD = \sqrt{4 \cdot 5} \] - ✅ Sonuç: \( AD = 2\sqrt{5} \) cm.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-pisagor-tales-oklid/sorular