🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Pisagor özel üçgenler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Pisagor özel üçgenler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Kenar uzunlukları 3 birim ve 4 birim olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç birimdir? 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor teoremini kullanacağız. Pisagor teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
- Adım 1: Dik kenarları belirleyelim. Bu kenarlar 3 birim ve 4 birimdir.
- Adım 2: Pisagor teoremini uygulayalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
- Adım 3: Değerleri yerine koyalım: \( 3^2 + 4^2 = c^2 \)
- Adım 4: Kareleri hesaplayalım: \( 9 + 16 = c^2 \)
- Adım 5: Toplama işlemini yapalım: \( 25 = c^2 \)
- Adım 6: Hipotenüs uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \( \sqrt{25} = \sqrt{c^2} \)
- Adım 7: Sonucu bulalım: \( c = 5 \) birim.
Örnek 2:
Bir dik üçgenin dik kenarlarından biri 5 cm, hipotenüsü ise 13 cm'dir. Diğer dik kenarın uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Yine Pisagor teoremini kullanarak bu soruyu çözebiliriz. Teorem: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Adım 1: Bilinen kenarları belirleyelim. Bir dik kenar \( a = 5 \) cm ve hipotenüs \( c = 13 \) cm. Diğer dik kenarı \( b \) bulmamız gerekiyor.
- Adım 2: Pisagor teoremini bilinen değerlerle yazalım: \( 5^2 + b^2 = 13^2 \)
- Adım 3: Kareleri hesaplayalım: \( 25 + b^2 = 169 \)
- Adım 4: \( b^2 \) terimini yalnız bırakmak için 25'i denklemin diğer tarafına atalım: \( b^2 = 169 - 25 \)
- Adım 5: Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 144 \)
- Adım 6: \( b \) kenarını bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \( \sqrt{b^2} = \sqrt{144} \)
- Adım 7: Sonucu bulalım: \( b = 12 \) cm.
Örnek 3:
Bir evin çatısının eğimi, 6 metre yüksekliğinde ve 8 metre taban uzunluğunda bir dik üçgen oluşturmaktadır. Çatının eğimli kısmının uzunluğu kaç metredir? 🏠
Çözüm:
Bu soruda, çatının eğimli kısmı dik üçgenin hipotenüsünü temsil etmektedir.
- Adım 1: Dik üçgenin dik kenarlarını belirleyelim. Yükseklik \( a = 6 \) metre ve taban uzunluğu \( b = 8 \) metredir.
- Adım 2: Pisagor teoremini uygulayalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Adım 3: Değerleri yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- Adım 4: Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = c^2 \)
- Adım 5: Toplama işlemini yapalım: \( 100 = c^2 \)
- Adım 6: Hipotenüs uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \( \sqrt{100} = \sqrt{c^2} \)
- Adım 7: Sonucu bulalım: \( c = 10 \) metre.
Örnek 4:
Bir parkta, bir ağacın tepesinden yere doğru çekilen bir ip, ağacın dibinden 15 metre uzakta bir noktaya gerilmiştir. İpin uzunluğu 25 metre olduğuna göre, ağacın boyu kaç metredir? 🌳
Çözüm:
Bu senaryo, ağacın boyu, yere olan uzaklık ve ipin uzunluğu ile bir dik üçgen oluşturur.
- Adım 1: Dik üçgenin kenarlarını tanımlayalım. Ağacın boyu \( a \), yere olan uzaklık \( b = 15 \) metre ve ipin uzunluğu (hipotenüs) \( c = 25 \) metredir.
- Adım 2: Pisagor teoremini kullanalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Adım 3: Bilinen değerleri yerine koyalım: \( a^2 + 15^2 = 25^2 \)
- Adım 4: Kareleri hesaplayalım: \( a^2 + 225 = 625 \)
- Adım 5: \( a^2 \) terimini yalnız bırakalım: \( a^2 = 625 - 225 \)
- Adım 6: Çıkarma işlemini yapalım: \( a^2 = 400 \)
- Adım 7: Ağacın boyunu bulmak için karekök alalım: \( \sqrt{a^2} = \sqrt{400} \)
- Adım 8: Sonucu bulalım: \( a = 20 \) metre.
Örnek 5:
Bir futbol sahasının kenar uzunlukları 100 metre ve 50 metredir. Bir futbolcu, sahanın bir köşesinden çapraz olarak karşı köşesine en kısa yoldan koşacaktır. Futbolcunun koştuğu mesafe kaç metredir? ⚽
Çözüm:
Bu problemde, futbol sahasının kenarları dik üçgenin dik kenarlarını, futbolcunun koştuğu mesafe ise hipotenüsü oluşturur.
- Adım 1: Dik kenarları belirleyelim: \( a = 100 \) metre ve \( b = 50 \) metredir.
- Adım 2: Pisagor teoremini uygulayalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Adım 3: Değerleri yerine koyalım: \( 100^2 + 50^2 = c^2 \)
- Adım 4: Kareleri hesaplayalım: \( 10000 + 2500 = c^2 \)
- Adım 5: Toplama işlemini yapalım: \( 12500 = c^2 \)
- Adım 6: Hipotenüs uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{12500} \)
- Adım 7: Karekökü sadeleştirelim: \( c = \sqrt{2500 \times 5} = 50\sqrt{5} \) metre.
Örnek 6:
Bir merdiven, yüksekliği 8 metre olan bir duvara dayanmıştır. Merdivenin duvara değdiği noktanın, merdivenin yere değdiği noktaya olan uzaklığı 6 metredir. Merdivenin uzunluğu kaç metredir? 🪜
Çözüm:
Bu durum, bir dik üçgen oluşturur. Merdivenin uzunluğu hipotenüs, duvarın yüksekliği ve yere olan uzaklık ise dik kenarlardır.
- Adım 1: Dik kenarları belirleyelim: Duvar yüksekliği \( a = 8 \) metre ve yere olan uzaklık \( b = 6 \) metredir.
- Adım 2: Pisagor teoremini kullanalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Adım 3: Değerleri yerine koyalım: \( 8^2 + 6^2 = c^2 \)
- Adım 4: Kareleri hesaplayalım: \( 64 + 36 = c^2 \)
- Adım 5: Toplama işlemini yapalım: \( 100 = c^2 \)
- Adım 6: Merdivenin uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \( \sqrt{100} = \sqrt{c^2} \)
- Adım 7: Sonucu bulalım: \( c = 10 \) metre.
Örnek 7:
Kenar uzunlukları 5, 12 ve 13 olan bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını Pisagor teoremini kullanarak kontrol ediniz. 🤔
Çözüm:
Bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını anlamak için Pisagor teoreminin \( a^2 + b^2 = c^2 \) eşitliğinin sağlanıp sağlanmadığına bakarız. Burada \( c \) en uzun kenarı (hipotenüs adayını) temsil eder.
- Adım 1: Üçgenin kenar uzunluklarını sıralayalım: 5, 12, 13.
- Adım 2: En uzun kenarı hipotenüs olarak kabul edelim: \( c = 13 \). Diğer iki kenar \( a = 5 \) ve \( b = 12 \) olur.
- Adım 3: Pisagor teoreminin sol tarafını hesaplayalım: \( a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 \)
- Adım 4: Kareleri hesaplayalım: \( 25 + 144 \)
- Adım 5: Toplama işlemini yapalım: \( 169 \)
- Adım 6: Pisagor teoreminin sağ tarafını hesaplayalım: \( c^2 = 13^2 \)
- Adım 7: Kareyi hesaplayalım: \( 169 \)
- Adım 8: Sol tarafın sonucunu sağ tarafın sonucu ile karşılaştıralım: \( 169 = 169 \).
Örnek 8:
Bir harita üzerinde A ve B şehirleri arasındaki kuş uçuşu mesafe 100 km olarak gösterilmiştir. C şehri, A şehrine 60 km, B şehrine ise 80 km uzaklıktadır. A, B ve C şehirlerinin oluşturduğu üçgenin dik üçgen olup olmadığını belirleyiniz. 🗺️
Çözüm:
Bu soruda, şehirlerin konumlarının oluşturduğu üçgenin dik üçgen olup olmadığını Pisagor teoremi ile kontrol edeceğiz.
- Adım 1: Üçgenin kenar uzunluklarını belirleyelim: \( AB = 100 \) km, \( AC = 60 \) km, \( BC = 80 \) km.
- Adım 2: En uzun kenarı hipotenüs adayı olarak seçelim: \( AB = 100 \). Diğer kenarlar \( AC = 60 \) ve \( BC = 80 \).
- Adım 3: Pisagor teoreminin sol tarafını hesaplayalım: \( AC^2 + BC^2 = 60^2 + 80^2 \)
- Adım 4: Kareleri hesaplayalım: \( 3600 + 6400 \)
- Adım 5: Toplama işlemini yapalım: \( 10000 \)
- Adım 6: Pisagor teoreminin sağ tarafını hesaplayalım: \( AB^2 = 100^2 \)
- Adım 7: Kareyi hesaplayalım: \( 10000 \)
- Adım 8: Sol tarafın sonucunu sağ tarafın sonucu ile karşılaştıralım: \( 10000 = 10000 \).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-pisagor-ozel-ucgenler/sorular