🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Pisagor, Öklit, Üçgen Eşitsizliği, Tales, Öteleme ve Yansıtma, Üçgenin Açıları, Açıortay, Üçgen Benzerliği, Açılarına Göre Özel Üçgenler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Pisagor, Öklit, Üçgen Eşitsizliği, Tales, Öteleme ve Yansıtma, Üçgenin Açıları, Açıortay, Üçgen Benzerliği, Açılarına Göre Özel Üçgenler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu Pisagor teoremini kullanarak bulunuz. 📏
Çözüm:
- Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Verilenler: Dik kenarlar \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm.
- Hesaplama:
- \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- \( 36 + 64 = c^2 \)
- \( 100 = c^2 \)
- \( c = \sqrt{100} \)
- \( c = 10 \) cm
- Sonuç: Üçgenin hipotenüs uzunluğu 10 cm'dir. ✅
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm ve \( |AC| = 9 \) cm'dir. Bu üçgenin kenar uzunlukları arasında üçgen eşitsizliğinin sağlanıp sağlanmadığını kontrol ediniz. 🤔
Çözüm:
- Üçgen Eşitsizliği: Bir üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu, diğer iki kenarının uzunlukları toplamından küçük, farkından ise büyüktür.
- Kontrol Edilecek Eşitsizlikler:
- \( |AB| + |BC| > |AC| \)
- \( |AB| + |AC| > |BC| \)
- \( |BC| + |AC| > |AB| \)
- \( |AB| - |BC| < |AC| \) (veya mutlak değer olarak \( ||AB| - |BC|| < |AC| \))
- \( |AB| - |AC| < |BC| \) (veya mutlak değer olarak \( ||AB| - |AC|| < |BC| \))
- \( |BC| - |AC| < |AB| \) (veya mutlak değer olarak \( ||BC| - |AC|| < |AB| \))
- Verilen Değerlerle Kontrol:
- \( 5 + 7 > 9 \) ( \( 12 > 9 \) ✅ )
- \( 5 + 9 > 7 \) ( \( 14 > 7 \) ✅ )
- \( 7 + 9 > 5 \) ( \( 16 > 5 \) ✅ )
- \( |5 - 7| < 9 \) ( \( |-2| < 9 \) -> \( 2 < 9 \) ✅ )
- \( |5 - 9| < 7 \) ( \( |-4| < 7 \) -> \( 4 < 7 \) ✅ )
- \( |7 - 9| < 5 \) ( \( |-2| < 5 \) -> \( 2 < 5 \) ✅ )
- Sonuç: Tüm eşitsizlikler sağlandığı için verilen kenar uzunlukları ile bir üçgen oluşturulabilir. 👍
Örnek 3:
Bir parkta, iki ağaç arasındaki en kısa mesafeyi ölçmek isteyen bir görevli, ağaçların birinden 10 metre uzaklıkta durarak diğer ağacı ve durduğu noktayı birleştiren bir doğru parçası çiziyor. Görevlinin durduğu noktadan ilk ağaca olan uzaklık 6 metre, ilk ağaçtan ikinci ağaca olan uzaklık ise 8 metre ise, iki ağaç arasındaki gerçek mesafeyi bulunuz. (Bu durum bir dik üçgen oluşturmaktadır.) 🌳
Çözüm:
- Problemin Anlaşılması: Görevlinin durduğu nokta, ilk ağaç ve ikinci ağaç bir dik üçgenin köşelerini oluşturmaktadır. Görevlinin durduğu nokta ile ikinci ağaç arasındaki mesafe hipotenüstür.
- Kullanılacak Teorem: Pisagor Teoremi (\( a^2 + b^2 = c^2 \)).
- Verilenler:
- Dik kenar 1 (\( a \)): Görevlinin durduğu noktadan ilk ağaca uzaklık = 6 metre.
- Dik kenar 2 (\( b \)): İlk ağaçtan ikinci ağaca uzaklık = 8 metre.
- Hipotenüs (\( c \)): İki ağaç arasındaki gerçek mesafe (bulunacak).
- Hesaplama:
- \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- \( 36 + 64 = c^2 \)
- \( 100 = c^2 \)
- \( c = \sqrt{100} \)
- \( c = 10 \) metre
- Sonuç: İki ağaç arasındaki gerçek mesafe 10 metredir. 🌲🌲
Örnek 4:
Bir merdiven, duvara yaslandığında zeminde 3 metre, duvarda ise 4 metre yüksekliğe kadar çıkmaktadır. Merdivenin uzunluğu kaç metredir? 🪜
Çözüm:
- Problemin Analizi: Merdiven, duvar ve zemin bir dik üçgen oluşturur. Merdivenin kendisi hipotenüstür.
- Kullanılacak Yöntem: Pisagor Teoremi (\( a^2 + b^2 = c^2 \)).
- Verilenler:
- Dik kenar 1 (\( a \)): Zeminde merdivenin ucu ile duvar arasındaki mesafe = 3 metre.
- Dik kenar 2 (\( b \)): Duvarda merdivenin ulaştığı yükseklik = 4 metre.
- Hipotenüs (\( c \)): Merdivenin uzunluğu (bulunacak).
- Hesaplama:
- \( 3^2 + 4^2 = c^2 \)
- \( 9 + 16 = c^2 \)
- \( 25 = c^2 \)
- \( c = \sqrt{25} \)
- \( c = 5 \) metre
- Sonuç: Merdivenin uzunluğu 5 metredir. 💡
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 12 \) cm, \( |AC| = 18 \) cm ve \( |BC| = 24 \) cm'dir. Bu üçgenin kenar uzunlukları arasında üçgen eşitsizliğinin sağlanıp sağlanmadığını kontrol ediniz ve en uzun kenarın uzunluğunun diğer iki kenarın uzunlukları toplamından ne kadar küçük olduğunu hesaplayınız. 📐
Çözüm:
- Üçgen Eşitsizliği Kuralı: Bir üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu, diğer iki kenarının uzunlukları toplamından küçük olmalıdır. En uzun kenar, diğer ikisinin toplamından küçük olmalıdır.
- Verilen Kenar Uzunlukları: \( |AB| = 12 \) cm, \( |AC| = 18 \) cm, \( |BC| = 24 \) cm.
- Üçgen Eşitsizliği Kontrolü:
- En uzun kenar \( |BC| = 24 \) cm'dir.
- Diğer iki kenarın toplamı: \( |AB| + |AC| = 12 + 18 = 30 \) cm.
- Eşitsizlik: \( 24 < 30 \) ✅. Bu eşitsizlik sağlandığı için bu kenar uzunlukları ile bir üçgen oluşturulabilir.
- Farkın Hesaplanması: En uzun kenarın uzunluğu ile diğer iki kenarın toplamı arasındaki farkı bulalım.
- Fark = \( (|AB| + |AC|) - |BC| \)
- Fark = \( 30 - 24 \)
- Fark = \( 6 \) cm
- Sonuç: Üçgen eşitsizliği sağlanmaktadır. En uzun kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından 6 cm daha azdır. 💯
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 7 \) cm, \( |BC| = 10 \) cm ve \( |AC| = x \) cm'dir. Buna göre \( x \) tam sayı olarak en az kaç olabilir? 🔢
Çözüm:
- Üçgen Eşitsizliği Kuralı: Bir üçgenin bir kenarının uzunluğu, diğer iki kenarının uzunlukları farkının mutlak değerinden büyük ve toplamından küçük olmalıdır.
- Uygulama: \( | |AB| - |BC| | < |AC| < |AB| + |BC| \)
- Verilen Değerler: \( |AB| = 7 \) cm, \( |BC| = 10 \) cm, \( |AC| = x \) cm.
- Hesaplama:
- \( |7 - 10| < x < 7 + 10 \)
- \( |-3| < x < 17 \)
- \( 3 < x < 17 \)
- Sonuç: \( x \) tam sayı olarak en az 4 olabilir. Çünkü \( x \) değeri 3'ten büyük olmalıdır. 👉
Örnek 7:
Bir harita üzerinde A ve B şehirlerinin konumları verilmiştir. C noktasında bulunan bir gözlemci, A şehrine 5 km, B şehrine ise 7 km uzaklıktadır. A ve B şehirleri arasındaki mesafe 10 km'dir. Gözlemcinin bulunduğu C noktasının, A ve B şehirlerini birleştiren doğru parçası üzerindeki dik izdüşümünün, A şehrine olan uzaklığı kaç km olabilir? (Bu bir üçgen eşitsizliği problemidir.) 🗺️
Çözüm:
- Problemin Tanımlanması: Üçgenin kenarları \( |CA| = 5 \) km, \( |CB| = 7 \) km ve \( |AB| = 10 \) km'dir. C noktasının AB doğru parçası üzerindeki dik izdüşüm noktasını D olarak adlandıralım. Bu durumda CD yüksekliği oluşur ve D noktası AB doğru parçası üzerinde yer alır.
- Üçgen Eşitsizliği Uygulaması:
- ABC üçgeni için üçgen eşitsizliğini kontrol edelim:
- \( 5 + 7 > 10 \) ( \( 12 > 10 \) ✅ )
- \( 5 + 10 > 7 \) ( \( 15 > 7 \) ✅ )
- \( 7 + 10 > 5 \) ( \( 17 > 5 \) ✅ )
- Üçgen eşitsizliği sağlanmaktadır.
- Şimdi C noktasının AB üzerindeki dik izdüşümü D'yi düşünelim. D noktası AB doğru parçası üzerinde olduğundan, \( |AD| + |DB| = |AB| = 10 \) olur.
- Ayrıca, ADC ve BDC dik üçgenlerinde Pisagor teoremi uygulanabilir.
- Ancak, soruda sadece olası bir uzaklık sorulmaktadır.
- C noktasının AB doğru parçası üzerindeki dik izdüşümünün A'ya uzaklığı \( |AD| \) olsun.
- Üçgen eşitsizliğinden biliyoruz ki, \( |AD| \) değeri, \( |CA| \) ve \( |CD| \) kenarlarının oluşturduğu dik üçgenin bir kenarıdır.
- Ayrıca, \( |AD| \) değeri 0 ile 10 arasında değişebilir.
- C noktasının AB'ye olan uzaklığı (yükseklik) \( h_c \) olsun.
- \( |AD| \) değeri, \( |CA| \) kenarının uzunluğundan küçük olmalıdır (eğer \( \angle CAD \) dik değilse).
- Basit bir yaklaşım: C noktasının AB kenarına en yakın olduğu durum, C'den AB'ye inen dikmenin ayağının A'ya olan uzaklığının bulunmasıdır.
- Eğer \( \angle CAB \) dar açı ise, \( |AD| < |CA| \) olur.
- Eğer \( \angle CAB \) geniş açı ise, D noktası A'nın dışında kalır ve \( |AD| \) negatif olabilir (mesafe olarak pozitif alınır).
- Soruda olası bir değer sorulduğu için, \( |AD| \) değeri \( |CA| = 5 \) km'den küçük olmalıdır (eğer \( \angle CAB \) dik değilse).
- Ayrıca, \( |AD| \) değeri, \( |AB| = 10 \) km'den de küçük olmalıdır.
- En basit olası değerlerden biri, \( |AD| \) nin 0'dan büyük ve 5'ten küçük olmasıdır. Örneğin, 3 km.
- Daha kesin bir hesaplama için alan formülü kullanılabilir ama bu sınıf seviyesi için karmaşık olabilir.
- Üçgen eşitsizliğinden, \( |AD| \) değeri, \( |CA| \) kenarının uzunluğundan küçük olmalıdır (dik üçgen durumu hariç).
- Dolayısıyla, \( |AD| \) değeri 5'ten küçük olmalıdır.
- Ayrıca, \( |AD| \) değeri 0'dan büyük olmalıdır (D noktası A ile B arasındaysa).
- Bu durumda, \( |AD| \) için olası bir tam sayı değeri 1, 2, 3, 4 olabilir.
- Soruda "kaç km olabilir?" dendiği için, bu değerlerden herhangi biri geçerlidir.
- Sonuç: Gözlemcinin bulunduğu C noktasının, A ve B şehirlerini birleştiren doğru parçası üzerindeki dik izdüşümünün, A şehrine olan uzaklığı örneğin 3 km olabilir. (Diğer olası tam sayılar: 1, 2, 4). En genel ifadeyle \( 0 < |AD| < 5 \) olmalıdır (eğer \( \angle CAB \) geniş açı değilse). Eğer \( \angle CAB \) geniş açı ise, D noktası A'nın solunda kalır ve \( |AD| \) mesafesi 0'dan büyük bir değerdir.
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 50^\circ \) ve \( \angle B = 70^\circ \) ise, \( \angle C \) kaç derecedir? 📐
Çözüm:
- Üçgenin İç Açıları Toplamı: Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \) dir.
- Formül: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
- Verilenler: \( \angle A = 50^\circ \), \( \angle B = 70^\circ \).
- Hesaplama:
- \( 50^\circ + 70^\circ + \angle C = 180^\circ \)
- \( 120^\circ + \angle C = 180^\circ \)
- \( \angle C = 180^\circ - 120^\circ \)
- \( \angle C = 60^\circ \)
- Sonuç: \( \angle C \) açısı \( 60^\circ \) dir. ✅
Örnek 9:
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 45^\circ \) ve \( \angle B = 90^\circ \) ise, bu üçgenin açılarına göre özel bir üçgen olup olmadığını belirtiniz. 📐
Çözüm:
- Açılarına Göre Özel Üçgenler:
- Eşkenar Üçgen: Tüm açıları \( 60^\circ \) dir.
- İkizkenar Dik Üçgen: Bir açısı \( 90^\circ \), diğer iki açısı \( 45^\circ \) dir.
- Çeşitkenar Üçgen: Tüm açıları farklıdır.
- Verilenler: \( \angle A = 45^\circ \), \( \angle B = 90^\circ \).
- Üçüncü Açının Hesaplanması:
- \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
- \( 45^\circ + 90^\circ + \angle C = 180^\circ \)
- \( 135^\circ + \angle C = 180^\circ \)
- \( \angle C = 180^\circ - 135^\circ \)
- \( \angle C = 45^\circ \)
- Sonuç: Üçgenin açıları \( 45^\circ, 90^\circ, 45^\circ \) olduğu için, bu bir ikizkenar dik üçgendir. 📐👍
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-pisagor-oklit-ucgen-esitsizligi-tales-oteleme-ve-yansitma-ucgenin-acilari-aciortay-ucgen-benzerligi-acilarina-gore-ozel-ucgenler/sorular