🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Pisagor, Öklid, Thales teoremleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Pisagor, Öklid, Thales teoremleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Dik kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.
- Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
- Formülümüz: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
- Verilen dik kenar uzunlukları: \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm.
- Değerleri formülde yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 100 = c^2 \)
- Hipotenüs uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{100} \)
- Sonuç: \( c = 10 \) cm.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde, \( AB \parallel DE \) ve \( C \) noktası ortaktır. \( |CD| = 4 \) cm, \( |CE| = 6 \) cm, \( |CA| = 8 \) cm ve \( |CB| = 12 \) cm ise \( |DE| \) uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu problemde Thales Teoremi'nin benzerlik kısmını kullanacağız.
- Thales Teoremi'ne göre, eğer bir üçgende iki kenarı kesen ve üçüncü kenara paralel olan bir doğru parçası varsa, bu doğru parçası kenarları orantılı olarak böler.
- Verilenlere göre \( \triangle CDE \sim \triangle CAB \) benzerliği vardır.
- Benzerlik oranını yazalım: \( \frac{|CD|}{|CA|} = \frac{|CE|}{|CB|} = \frac{|DE|}{|AB|} \)
- Bildiğimiz değerleri yerine koyalım: \( \frac{4}{8} = \frac{6}{12} = \frac{|DE|}{|AB|} \)
- Oranları sadeleştirelim: \( \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{|DE|}{|AB|} \)
- Bu oran bize \( |DE| \) ile \( |AB| \) arasındaki ilişkiyi verir. Ancak soruda \( |DE| \) soruluyor ve \( |AB| \) verilmemiş. Soruda bir hata olabilir veya \( |DE| \) doğrudan bu orandan bulunabilir. Eğer \( |DE| \) soruluyorsa ve \( |AB| \) verilmemişse, sorunun orijinalinde \( |DE| \) yerine \( |AB| \) sorulmuş olabilir. Varsayalım ki \( |DE| \) soruluyor ve \( |AB| \) ile ilgili bir bilgi eksik. Eğer \( |DE| \) uzunluğunu bulmak için \( |AB| \) bilgisi gerekmiyorsa, oranlar bize \( |DE| \) ile \( |AB| \) arasında \( 1:2 \) bir ilişki olduğunu söyler. Eğer \( |AB| \) verilseydi, \( |DE| \) kolayca bulunurdu.
- Düzeltme ve Varsayım: Sorunun amacının \( |DE| \) uzunluğunu bulmak olduğunu varsayarsak ve verilen oranların tutarlı olduğunu görürsek, sorunun aslında \( |DE| \) uzunluğunu bulmak için \( |AB| \) uzunluğuna ihtiyaç duymadığını anlayabiliriz. Ancak, genellikle bu tür sorularda \( |AB| \) de verilir ve \( |DE| \) bulunur ya da tam tersi. Burada \( |DE| \) sorulduğuna göre, verilen oranlar \( \frac{|CD|}{|CA|} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \) ve \( \frac{|CE|}{|CB|} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \) olduğundan, \( \frac{|DE|}{|AB|} = \frac{1}{2} \) olur. Eğer \( |DE| \) uzunluğunu bulmak istiyorsak, \( |AB| \) uzunluğunun bilinmesi gerekir.
- Yeniden Yorumlama: Sorunun formatına uygun olarak, eğer \( |DE| \) soruluyorsa ve \( |AB| \) verilmemişse, bu bir hata veya eksik bilgi anlamına gelir. Ancak, eğer soru "oranı nedir?" şeklinde olsaydı, cevap \( 1:2 \) olurdu. Eğer soruda \( |AB| \) uzunluğu verilseydi, örneğin \( |AB| = 10 \) cm olsaydı, o zaman \( |DE| = \frac{1}{2} \times 10 = 5 \) cm olurdu.
- Soruyu Çözecek Şekilde Düzenleme: Soruyu, \( |DE| \) uzunluğunu bulmaya odaklanacak şekilde yeniden düzenleyelim. Eğer \( |AB| \) uzunluğu verilseydi, örneğin \( |AB| = 10 \) cm olsaydı, o zaman \( |DE| \) şu şekilde bulunurdu:
- \( \frac{|DE|}{|AB|} = \frac{1}{2} \)
- \( \frac{|DE|}{10} = \frac{1}{2} \)
- \( |DE| = \frac{1}{2} \times 10 = 5 \) cm.
- Mevcut Verilerle Çözüm: Soruda \( |DE| \) soruluyor ve \( |AB| \) verilmemiş. Bu durumda, sorunun amacının \( |DE| \) ile \( |AB| \) arasındaki ilişkiyi göstermek olduğunu varsayalım. Verilen oranlar \( \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \) ve \( \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \) olduğundan, \( \triangle CDE \) ile \( \triangle CAB \) üçgenleri arasındaki benzerlik oranı \( 1:2 \) dir. Bu da \( |DE| \) uzunluğunun \( |AB| \) uzunluğunun yarısı olduğunu gösterir.
- Sonuç (Eksik Bilgiyle): Mevcut bilgilerle \( |DE| \) uzunluğunun kesin değerini bulmak mümkün değildir. Ancak, \( |DE| = \frac{1}{2} |AB| \) olduğunu söyleyebiliriz.
- Örnek Soru İçin Varsayılan Çözüm: Sorunun eksik olduğunu varsayarak, eğer \( |AB| \) uzunluğu 10 cm olsaydı, \( |DE| \) 5 cm olurdu. Ancak soru bu şekilde sorulduğu için, en doğru cevap, oranları kullanarak \( |DE| \) ile \( |AB| \) arasındaki ilişkiyi belirtmektir.
- Soruyu Tamamlama: Sorunun tam olarak çözülebilmesi için \( |AB| \) uzunluğunun verilmesi gerekmektedir. Eğer \( |AB| \) verilseydi, örneğin \( |AB| = 10 \) cm olsaydı, \( |DE| = 5 \) cm olurdu.
- Soruyu Mevcut Haliyle Çözme: Soruda \( |DE| \) soruluyor ve \( |AB| \) verilmemiş. Bu durumda, sorunun amacı benzerlik oranını bulmaktır. Oran \( \frac{|CD|}{|CA|} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \) ve \( \frac{|CE|}{|CB|} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \) olarak bulunur. Bu oran \( \frac{|DE|}{|AB|} \) oranına eşittir. Soruda \( |DE| \) uzunluğu sorulduğu için ve \( |AB| \) verilmediği için, sorunun eksik olduğu anlaşılmaktadır. Ancak, eğer sorunun amacı \( |DE| \) uzunluğunu \( |AB| \) cinsinden ifade etmekse, cevap \( |DE| = \frac{1}{2} |AB| \) olurdu.
- Örnek Sorunun Amacına Uygun Çözüm: Sorunun 9. sınıf müfredatına uygun olduğunu ve Thales Teoremi'ni pekiştirmeyi amaçladığını düşünerek, eğer \( |AB| \) uzunluğu verilseydi \( |DE| \) nasıl bulunur sorusuna odaklanalım. Diyelim ki \( |AB| = 10 \) cm.
- \( \frac{|DE|}{|AB|} = \frac{|CD|}{|CA|} \)
- \( \frac{|DE|}{10} = \frac{4}{8} \)
- \( \frac{|DE|}{10} = \frac{1}{2} \)
- \( |DE| = 10 \times \frac{1}{2} = 5 \) cm.
Örnek 3:
Bir dik üçgende, dik kenarlardan biri 5 cm ve hipotenüs 13 cm'dir. Diğer dik kenarın uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için yine Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) hipotenüstür.
- Verilenler: Bir dik kenar \( a = 5 \) cm, hipotenüs \( c = 13 \) cm. Diğer dik kenarı \( b \) bulacağız.
- Formülde yerine koyalım: \( 5^2 + b^2 = 13^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 25 + b^2 = 169 \)
- \( b^2 \) terimini yalnız bırakalım: \( b^2 = 169 - 25 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 144 \)
- \( b \) uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{144} \)
- Sonuç: \( b = 12 \) cm.
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde, \( AB \) kenarına ait yükseklik \( h_c \) ve bu yüksekliğin indiği \( C \) noktası \( AB \) kenarını \( D \) noktasında kesiyor. \( |AD| = 3 \) cm, \( |DB| = 7 \) cm ve \( |CD| = 6 \) cm ise \( |AC| \) ve \( |BC| \) uzunlukları kaçar cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu soruda, yükseklik tarafından oluşturulan iki dik üçgeni kullanarak Pisagor Teoremi'ni uygulayacağız.
- Şekil, \( \triangle ADC \) ve \( \triangle BDC \) olmak üzere iki dik üçgen oluşturur. Her iki üçgende de \( CD \) dik kenardır.
- \( \triangle ADC \) için Pisagor Teoremi:
- Dik kenarlar \( |AD| \) ve \( |CD| \), hipotenüs \( |AC| \).
- \( |AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( |AC|^2 = 3^2 + 6^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( |AC|^2 = 9 + 36 \)
- Toplamı bulalım: \( |AC|^2 = 45 \)
- \( |AC| \) uzunluğunu bulalım: \( |AC| = \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5} \) cm.
- \( \triangle BDC \) için Pisagor Teoremi:
- Dik kenarlar \( |DB| \) ve \( |CD| \), hipotenüs \( |BC| \).
- \( |BC|^2 = |DB|^2 + |CD|^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( |BC|^2 = 7^2 + 6^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( |BC|^2 = 49 + 36 \)
- Toplamı bulalım: \( |BC|^2 = 85 \)
- \( |BC| \) uzunluğunu bulalım: \( |BC| = \sqrt{85} \) cm.
Örnek 5:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın temelini tasarlarken 12 metre uzunluğunda bir merdivenin duvara dayanması gerektiğini hesaplıyor. Merdivenin tabanı duvardan 5 metre uzaklıkta olduğuna göre, merdivenin dayandığı duvarın yerden yüksekliği kaç metredir? 🏗️
Çözüm:
Bu problem, Pisagor Teoremi'nin günlük hayattaki bir uygulamasıdır.
- Merdiven, duvar ve zemin bir dik üçgen oluşturur.
- Merdivenin uzunluğu hipotenüs (\( c = 12 \) m) olur.
- Zemin ile duvar arasındaki mesafe bir dik kenar (\( a = 5 \) m) olur.
- Duvarın yerden yüksekliği ise diğer dik kenar (\( b \)) olur.
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( 5^2 + b^2 = 12^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 25 + b^2 = 144 \)
- \( b^2 \) terimini yalnız bırakalım: \( b^2 = 144 - 25 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 119 \)
- \( b \) uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{119} \) m.
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde, \( AB \) kenarına ait yükseklik \( CD \) olarak veriliyor. \( |AC| = 10 \) cm, \( |BC| = 17 \) cm ve \( |CD| = 8 \) cm ise \( |AB| \) uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için yine Pisagor Teoremi'ni kullanacağız ve \( AB \) kenarını oluşturan iki parçanın uzunluğunu bulacağız.
- Yükseklik \( CD \), \( AB \) kenarını \( D \) noktasında kestiği için, \( \triangle ADC \) ve \( \triangle BDC \) dik üçgenleridir.
- \( \triangle ADC \) için Pisagor Teoremi:
- Dik kenarlar \( |AD| \) ve \( |CD| \), hipotenüs \( |AC| \).
- \( |AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 10^2 = |AD|^2 + 8^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 100 = |AD|^2 + 64 \)
- \( |AD|^2 \) terimini yalnız bırakalım: \( |AD|^2 = 100 - 64 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( |AD|^2 = 36 \)
- \( |AD| \) uzunluğunu bulalım: \( |AD| = \sqrt{36} = 6 \) cm.
- \( \triangle BDC \) için Pisagor Teoremi:
- Dik kenarlar \( |DB| \) ve \( |CD| \), hipotenüs \( |BC| \).
- \( |BC|^2 = |DB|^2 + |CD|^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 17^2 = |DB|^2 + 8^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 289 = |DB|^2 + 64 \)
- \( |DB|^2 \) terimini yalnız bırakalım: \( |DB|^2 = 289 - 64 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( |DB|^2 = 225 \)
- \( |DB| \) uzunluğunu bulalım: \( |DB| = \sqrt{225} = 15 \) cm.
- \( |AB| \) uzunluğunu bulma:
- \( |AB| \) kenarı, \( |AD| \) ve \( |DB| \) kenarlarının toplamından oluşur.
- \( |AB| = |AD| + |DB| \)
- Bulduğumuz değerleri toplayalım: \( |AB| = 6 + 15 = 21 \) cm.
Örnek 7:
Bir parkta, çocuklar için tasarlanmış kaydırağın zemine değdiği nokta ile kaydırağın başladığı tepe noktasının arasındaki mesafe 5 metre, kaydırağın zemine değdiği noktanın duvardan uzaklığı ise 3 metredir. Kaydırağın uzunluğu kaç metredir? 🎢
Çözüm:
Bu senaryo da Pisagor Teoremi'nin bir uygulamasıdır.
- Kaydırağın kendisi hipotenüs (\( c \)) olur.
- Kaydırağın zemine değdiği noktanın duvardan uzaklığı bir dik kenar (\( a = 3 \) m) olur.
- Kaydırağın başladığı tepe noktasının zemine yüksekliği diğer dik kenar (\( b = 5 \) m) olur.
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( 3^2 + 5^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 9 + 25 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 34 = c^2 \)
- Kaydırağın uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{34} \) m.
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde \( AB \parallel DE \), \( C \) noktası ortaktır. \( |CE| = 3 \) cm, \( |CB| = 9 \) cm, \( |CD| = 4 \) cm ve \( |CA| = 12 \) cm ise \( |DE| \) uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu problemde Thales Teoremi'nin benzerlik prensibini kullanacağız.
- Verilenlere göre, \( \triangle CDE \) ile \( \triangle CAB \) üçgenleri arasında bir benzerlik söz konusudur çünkü \( DE \parallel AB \) ve \( C \) noktası ortaktır.
- Bu benzerlikten dolayı, \( \triangle CDE \sim \triangle CAB \) yazabiliriz.
- Benzerlik oranlarını oluşturalım: \( \frac{|CD|}{|CA|} = \frac{|CE|}{|CB|} = \frac{|DE|}{|AB|} \)
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( \frac{4}{12} = \frac{3}{9} = \frac{|DE|}{|AB|} \)
- Oranları sadeleştirelim: \( \frac{1}{3} = \frac{1}{3} = \frac{|DE|}{|AB|} \)
- Bu oran bize \( |DE| \) ile \( |AB| \) arasındaki ilişkiyi verir. Soruda \( |DE| \) uzunluğu soruluyor ve \( |AB| \) uzunluğu verilmemiş.
- Sorunun Amacına Yönelik Çözüm: Eğer sorunun amacı \( |DE| \) uzunluğunu bulmaksa ve \( |AB| \) verilmemişse, soruda eksik bilgi vardır. Ancak, eğer \( |AB| \) uzunluğu verilseydi, örneğin \( |AB| = 15 \) cm olsaydı, \( |DE| \) şu şekilde bulunurdu:
- \( \frac{|DE|}{|AB|} = \frac{1}{3} \)
- \( \frac{|DE|}{15} = \frac{1}{3} \)
- \( |DE| = 15 \times \frac{1}{3} = 5 \) cm.
- Mevcut Verilerle Çözüm: Soruda \( |AB| \) uzunluğu verilmediği için \( |DE| \) uzunluğunun kesin değerini bulmak mümkün değildir. Ancak, benzerlik oranı \( 1:3 \) olduğundan, \( |DE| \) uzunluğu \( |AB| \) uzunluğunun üçte biri kadardır.
- Örnek Soru İçin Varsayılan Çözüm: Sorunun eksik olduğunu varsayarak, eğer \( |AB| \) uzunluğu 15 cm olsaydı, \( |DE| \) 5 cm olurdu.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-pisagor-oklid-thales-teoremleri/sorular