🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Pisagor bağlantısı Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Pisagor bağlantısı Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgenin dik kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor teoremini kullanacağız. Pisagor teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
- Pisagor teoremi formülü şöyledir: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada 'a' ve 'b' dik kenarlar, 'c' ise hipotenüstür.
- Verilen dik kenar uzunlukları: \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm.
- Formülde yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 100 = c^2 \)
- Hipotenüsü bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{100} \)
- Sonuç: \( c = 10 \) cm.
Örnek 2:
Bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 13 birim ve bir dik kenar uzunluğu 5 birimdir. Diğer dik kenar uzunluğunu bulunuz. 🤔
Çözüm:
Yine Pisagor teoremini kullanarak bu soruyu çözebiliriz.
- Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Verilenler: Hipotenüs \( c = 13 \) birim ve bir dik kenar \( a = 5 \) birim.
- Formülde yerine koyalım: \( 5^2 + b^2 = 13^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 25 + b^2 = 169 \)
- \( b^2 \) 'yi yalnız bırakalım: \( b^2 = 169 - 25 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 144 \)
- Diğer dik kenarı bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{144} \)
- Sonuç: \( b = 12 \) birim.
Örnek 3:
Bir duvar ustası, 5 metre uzunluğundaki bir merdiveni, duvara dayayarak kullanıyor. Merdivenin alt ucunun duvardan uzaklığı 3 metre ise, merdivenin üst ucunun yere olan yüksekliği kaç metredir? 🪜
Çözüm:
Bu bir dik üçgen problemi olarak modellenebilir.
- Merdivenin uzunluğu hipotenüstür (\( c = 5 \) m).
- Merdivenin alt ucunun duvardan uzaklığı bir dik kenardır (\( a = 3 \) m).
- Merdivenin üst ucunun yere olan yüksekliği ise diğer dik kenardır (\( b \)).
- Pisagor teoremini uygulayalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 3^2 + b^2 = 5^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 9 + b^2 = 25 \)
- \( b^2 \) 'yi bulalım: \( b^2 = 25 - 9 \)
- \( b^2 = 16 \)
- Yüksekliği bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{16} \)
- Sonuç: \( b = 4 \) metre.
Örnek 4:
Bir dik üçgenin dik kenarları \( x \) cm ve \( 2x \) cm'dir. Hipotenüs uzunluğu \( \sqrt{5} \) cm olduğuna göre, \( x \) kaçtır? ❓
Çözüm:
Pisagor teoremini bilinmeyen \( x \) cinsinden uygulayacağız.
- Dik kenarlar: \( a = x \) ve \( b = 2x \).
- Hipotenüs: \( c = \sqrt{5} \).
- Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Yerine koyalım: \( x^2 + (2x)^2 = (\sqrt{5})^2 \)
- İfadeleri açalım: \( x^2 + 4x^2 = 5 \)
- Benzer terimleri toplayalım: \( 5x^2 = 5 \)
- \( x^2 \) 'yi yalnız bırakalım: \( x^2 = \frac{5}{5} \)
- \( x^2 = 1 \)
- \( x \) değerini bulmak için karekök alalım: \( x = \sqrt{1} \)
- Sonuç: \( x = 1 \) cm.
Örnek 5:
Bir futbol sahası dikdörtgen şeklindedir. Sahip olduğu uzun kenar 100 metre ve kısa kenar 70 metredir. Sahip olduğu köşegen uzunluğu kaç metredir? ⚽
Çözüm:
Dikdörtgenin köşegeni, onu iki dik üçgene ayırır.
- Dikdörtgenin kenarları, bu dik üçgenlerin dik kenarları olur.
- Dik kenarlar: \( a = 100 \) m ve \( b = 70 \) m.
- Köşegen, bu dik üçgenin hipotenüsü olacaktır (\( c \)).
- Pisagor teoremini uygulayalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 100^2 + 70^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 10000 + 4900 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 14900 = c^2 \)
- Köşegen uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{14900} \)
- Bu ifade yaklaşık olarak \( c \approx 122.07 \) metreye eşittir.
Örnek 6:
Bir dik üçgende hipotenüs, kısa dik kenarın 2 katından 1 birim fazladır. Uzun dik kenar ise kısa dik kenardan 7 birim fazladır. Kısa dik kenarın uzunluğunu bulunuz. 🧐
Çözüm:
Bu soruda bilinmeyenleri kullanarak bir denklem kuracağız.
- Kısa dik kenarı \( x \) olarak kabul edelim.
- Hipotenüs: \( c = 2x + 1 \)
- Uzun dik kenar: \( b = x + 7 \)
- Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Yerine koyalım: \( x^2 + (x+7)^2 = (2x+1)^2 \)
- Parantez kareleri açalım: \( x^2 + (x^2 + 14x + 49) = (4x^2 + 4x + 1) \)
- Denklemi sadeleştirelim: \( 2x^2 + 14x + 49 = 4x^2 + 4x + 1 \)
- Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: \( 0 = 4x^2 - 2x^2 + 4x - 14x + 1 - 49 \)
- Sadeleştirilmiş denklem: \( 0 = 2x^2 - 10x - 48 \)
- Denklemi 2'ye bölelim: \( 0 = x^2 - 5x - 24 \)
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım: \( 0 = (x-8)(x+3) \)
- Olası \( x \) değerleri: \( x = 8 \) veya \( x = -3 \).
- Uzunluk negatif olamayacağı için \( x = 8 \) olmalıdır.
Örnek 7:
Bir dik üçgenin kenar uzunlukları ardışık tam sayılardır. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 🔢
Çözüm:
Bu tür sorular, Pisagor teoreminin tam sayı çözümlerini (Pisagor üçlüleri) içerir.
- Dik kenarları \( a \) ve \( b \), hipotenüsü \( c \) olarak alalım.
- Kenar uzunlukları ardışık tam sayılar olduğundan, şöyle yazabiliriz: \( b = a+1 \) ve \( c = a+2 \).
- Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Yerine koyalım: \( a^2 + (a+1)^2 = (a+2)^2 \)
- Parantez kareleri açalım: \( a^2 + (a^2 + 2a + 1) = (a^2 + 4a + 4) \)
- Denklemi sadeleştirelim: \( 2a^2 + 2a + 1 = a^2 + 4a + 4 \)
- Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: \( 2a^2 - a^2 + 2a - 4a + 1 - 4 = 0 \)
- Sadeleştirilmiş denklem: \( a^2 - 2a - 3 = 0 \)
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım: \( (a-3)(a+1) = 0 \)
- Olası \( a \) değerleri: \( a = 3 \) veya \( a = -1 \).
- Uzunluk negatif olamayacağı için \( a = 3 \) olmalıdır.
- Bu durumda dik kenarlar 3 ve \( 3+1=4 \) olur.
- Hipotenüs ise \( 3+2=5 \) olur.
- Kontrol edelim: \( 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \) ve \( 5^2 = 25 \). Teorem sağlanıyor.
Örnek 8:
Bir harita üzerinde A, B ve C şehirleri gösterilmiştir. A şehrinden B şehrine doğru düz bir yol, B şehrinden C şehrine doğru düz bir yol vardır ve bu iki yol birbirine diktir. A şehrinden C şehrine kuş uçuşu uzaklık 10 km'dir. A'dan B'ye olan uzaklık 6 km olduğuna göre, B'den C'ye olan uzaklık kaç km'dir? 🗺️
Çözüm:
Bu senaryo bir dik üçgen oluşturur.
- A'dan B'ye olan yol bir dik kenardır (\( a = 6 \) km).
- B'den C'ye olan yol diğer dik kenardır (\( b \)).
- A'dan C'ye olan kuş uçuşu uzaklık hipotenüstür (\( c = 10 \) km).
- Pisagor teoremini uygulayalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 6^2 + b^2 = 10^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 36 + b^2 = 100 \)
- \( b^2 \) 'yi yalnız bırakalım: \( b^2 = 100 - 36 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 64 \)
- B'den C'ye olan uzaklığı bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{64} \)
- Sonuç: \( b = 8 \) km.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-pisagor-baglantisi/sorular