🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Pisagor bağlantısı ve öklid kuralı Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Pisagor bağlantısı ve öklid kuralı Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC dik üçgeninde B açısının ölçüsü \( 90^\circ \) olarak verilmiştir.
Dik kenar uzunlukları \( AB = 6 \) birim ve \( BC = 8 \) birim olduğuna göre, hipotenüs uzunluğu olan \( AC = x \) kaç birimdir? 📐
Dik kenar uzunlukları \( AB = 6 \) birim ve \( BC = 8 \) birim olduğuna göre, hipotenüs uzunluğu olan \( AC = x \) kaç birimdir? 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için temel Pisagor Bağıntısı formülünü kullanacağız:
- Pisagor bağıntısı formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = x^2 \)
- Karelerini alalım: \( 36 + 64 = x^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 100 = x^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( x = \sqrt{100} \)
- Sonuç: \( x = 10 \) birim olarak bulunur. ✅
Örnek 2:
Bir dik üçgende dik kenarlardan birinin uzunluğu \( \sqrt{7} \) birim, hipotenüs uzunluğu ise \( 4 \) birimdir.
Buna göre, diğer dik kenarın uzunluğu \( y \) kaç birimdir? 🔍
Buna göre, diğer dik kenarın uzunluğu \( y \) kaç birimdir? 🔍
Çözüm:
Dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi kurmak için yine Pisagor Bağıntısı'na başvuruyoruz:
- Dik kenarlar: \( \sqrt{7} \) ve \( y \)
- Hipotenüs: \( 4 \)
- Denklemi kuralım: \( (\sqrt{7})^2 + y^2 = 4^2 \)
- Kare işlemleri: \( 7 + y^2 = 16 \)
- Bilineni karşıya atalım: \( y^2 = 16 - 7 \)
- Çıkarma işlemi: \( y^2 = 9 \)
- Karekök alalım: \( y = 3 \) birim bulunur. 🎯
Örnek 3:
Bir itfaiye eri, yerden 12 metre yükseklikteki bir pencereye ulaşmak istiyor.
İtfaiye merdiveninin alt ucunu binadan 5 metre uzağa yerleştirdiğine göre, bu merdivenin boyu en az kaç metre olmalıdır? 🚒
İtfaiye merdiveninin alt ucunu binadan 5 metre uzağa yerleştirdiğine göre, bu merdivenin boyu en az kaç metre olmalıdır? 🚒
Çözüm:
Bu problemde bina, zemin ve merdiven bir dik üçgen oluşturur:
- Binanın yüksekliği (birinci dik kenar): \( 12 \) metre
- Merdivenin binaya uzaklığı (ikinci dik kenar): \( 5 \) metre
- Merdivenin boyu (hipotenüs): \( x \) olsun.
- Pisagor bağıntısı: \( 5^2 + 12^2 = x^2 \)
- Hesaplayalım: \( 25 + 144 = x^2 \)
- Toplam: \( 169 = x^2 \)
- Karekök alalım: \( x = 13 \) metre.
Örnek 4:
Bir ABC dik üçgeninde A açısı \( 90^\circ \)'dir.
A köşesinden hipotenüse indirilen dikme ayağı H noktasıdır.
\( BH = 4 \) birim ve \( HC = 9 \) birim olduğuna göre, yükseklik olan \( AH = h \) kaç birimdir? 📏
A köşesinden hipotenüse indirilen dikme ayağı H noktasıdır.
\( BH = 4 \) birim ve \( HC = 9 \) birim olduğuna göre, yükseklik olan \( AH = h \) kaç birimdir? 📏
Çözüm:
Dikten dik inildiği durumlarda Öklid Kuralı (Yükseklik Bağıntısı) kullanılır:
- Öklid formülü: \( h^2 = p \cdot k \)
- Burada \( p = 4 \) ve \( k = 9 \) olarak verilmiştir.
- Değerleri yerine yazalım: \( h^2 = 4 \cdot 9 \)
- Çarpma işlemi: \( h^2 = 36 \)
- Karekök alalım: \( h = 6 \) birim bulunur. ✅
Örnek 5:
Bir ABC dik üçgeninde \( m(A) = 90^\circ \) ve \( AH \perp BC \)'dir.
\( BH = 2 \) birim ve \( HC = 8 \) birim olduğuna göre, AB kenarının uzunluğu \( c \) kaç birimdir? 📐
\( BH = 2 \) birim ve \( HC = 8 \) birim olduğuna göre, AB kenarının uzunluğu \( c \) kaç birimdir? 📐
Çözüm:
Bu soruda Öklid'in Yan Kenar Bağıntısı'nı kullanacağız:
- Yan kenar formülü: \( c^2 = p \cdot (p + k) \)
- Verilenler: \( p = BH = 2 \) ve \( k = HC = 8 \).
- Hipotenüsün tamamı: \( BC = 2 + 8 = 10 \) birimdir.
- Denklem: \( c^2 = 2 \cdot 10 \)
- Hesaplayalım: \( c^2 = 20 \)
- Karekök alalım: \( c = \sqrt{20} \)
- Sadeleştirelim: \( c = 2\sqrt{5} \) birim olarak bulunur. 💎
Örnek 6:
Bir karınca, düz bir zeminde önce 9 metre kuzeye, sonra 12 metre doğuya doğru yürümüştür.
Buna göre karınca, başlangıç noktasından kuş uçuşu (en kısa mesafe) kaç metre uzaklaşmıştır? 🐜
Buna göre karınca, başlangıç noktasından kuş uçuşu (en kısa mesafe) kaç metre uzaklaşmıştır? 🐜
Çözüm:
Kuzey ve doğu yönleri birbirine diktir, bu yüzden hareket bir dik üçgen oluşturur:
- Dikey hareket (dik kenar): \( 9 \) metre
- Yatay hareket (dik kenar): \( 12 \) metre
- En kısa mesafe (hipotenüs): \( d \) olsun.
- Pisagor bağıntısı: \( 9^2 + 12^2 = d^2 \)
- Hesaplama: \( 81 + 144 = d^2 \)
- Toplam: \( 225 = d^2 \)
- Karekök: \( d = 15 \) metre.
Örnek 7:
Dikdörtgen şeklindeki bir parkın kenar uzunlukları 30 metre ve 40 metre olarak ölçülmüştür.
Parkın bir köşesinden tam karşısındaki köşesine köşegen üzerinden yürüyen bir kişi kaç metre yol yürümüş olur? 🚶♂️
Parkın bir köşesinden tam karşısındaki köşesine köşegen üzerinden yürüyen bir kişi kaç metre yol yürümüş olur? 🚶♂️
Çözüm:
Dikdörtgenin köşegeni, alanı iki eş dik üçgene ayırır:
- Dikdörtgenin kenarları dik kenarlardır: \( a = 30 \) ve \( b = 40 \).
- Köşegen uzunluğu hipotenüstür: \( x \).
- Pisagor bağıntısı: \( 30^2 + 40^2 = x^2 \)
- Hesaplayalım: \( 900 + 1600 = x^2 \)
- Toplam: \( 2500 = x^2 \)
- Karekök alalım: \( x = 50 \) metre.
Örnek 8:
Bir ABC dik üçgeninde \( m(A) = 90^\circ \) ve \( AH \perp BC \)'dir.
Dik kenarlar \( AB = 15 \) birim ve \( AC = 20 \) birim olarak verilmiştir.
Buna göre, hipotenüse ait yükseklik olan \( AH = h \) kaç birimdir? 📐
Dik kenarlar \( AB = 15 \) birim ve \( AC = 20 \) birim olarak verilmiştir.
Buna göre, hipotenüse ait yükseklik olan \( AH = h \) kaç birimdir? 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için önce hipotenüsü bulmalı, sonra Öklid'in alanla ilişkili bağıntısını kullanmalıyız:
- Adım 1: Pisagor ile hipotenüsü (BC) bulalım.
- \( 15^2 + 20^2 = (BC)^2 \)
- \( 225 + 400 = 625 \)
- \( BC = \sqrt{625} = 25 \) birim. (Bu \( 3-4-5 \) üçgeninin 5 katıdır).
- Adım 2: Öklid'in alan bağıntısını uygulayalım: \( b \cdot c = a \cdot h \)
- \( 15 \cdot 20 = 25 \cdot h \)
- \( 300 = 25 \cdot h \)
- Her iki tarafı 25'e bölelim: \( h = 300 / 25 \)
- Sonuç: \( h = 12 \) birim bulunur. 🎯
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-pisagor-baglantisi-ve-oklid-kurali/sorular