🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Pisagor Bağıntısı Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Pisagor Bağıntısı Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
👉 Bir dik üçgenin dik kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Pisagor bağıntısı, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu ifade eder. Formülümüz \( a^2 + b^2 = c^2 \) şeklindedir.
Burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
Burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
- ✅ Dik kenarları yerine yazalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- ✅ Karelerini alalım: \( 36 + 64 = c^2 \)
- ✅ Toplayalım: \( 100 = c^2 \)
- ✅ Hipotenüsü bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{100} \)
- ✅ Sonuç: \( c = 10 \) cm'dir.
Hipotenüs uzunluğu 10 cm'dir. 💡
Örnek 2:
Bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 13 cm ve dik kenarlarından birinin uzunluğu 5 cm'dir. 📌 Diğer dik kenarın uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Yine Pisagor bağıntısı formülünü \( a^2 + b^2 = c^2 \) kullanacağız. Bu sefer hipotenüs ve bir dik kenar verilmiştir.
- ✅ Verilenleri yerine yazalım: \( 5^2 + b^2 = 13^2 \)
- ✅ Karelerini alalım: \( 25 + b^2 = 169 \)
- ✅ \( b^2 \) yalnız bırakalım: \( b^2 = 169 - 25 \)
- ✅ Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 144 \)
- ✅ Diğer dik kenarı bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{144} \)
- ✅ Sonuç: \( b = 12 \) cm'dir.
Diğer dik kenarın uzunluğu 12 cm'dir. 👍
Örnek 3:
Uzun kenarı 12 cm, kısa kenarı 5 cm olan bir dikdörtgenin köşegen uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
Bir dikdörtgenin köşegeni, dikdörtgenin kenarlarıyla birlikte bir dik üçgen oluşturur. Bu dik üçgenin dik kenarları dikdörtgenin kısa ve uzun kenarlarıdır, hipotenüsü ise köşegenin kendisidir.
- ✅ Dik kenarları belirleyelim: \( a = 5 \) cm, \( b = 12 \) cm. Köşegen \( d \) ise hipotenüstür.
- ✅ Pisagor bağıntısını uygulayalım: \( 5^2 + 12^2 = d^2 \)
- ✅ Karelerini alalım: \( 25 + 144 = d^2 \)
- ✅ Toplayalım: \( 169 = d^2 \)
- ✅ Köşegen uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \( d = \sqrt{169} \)
- ✅ Sonuç: \( d = 13 \) cm'dir.
Dikdörtgenin köşegen uzunluğu 13 cm'dir. ✅
Örnek 4:
Taban uzunluğu 10 cm ve eşit kenar uzunlukları 13 cm olan bir ikizkenar üçgenin yüksekliğini bulunuz. 🤔
Çözüm:
Bir ikizkenar üçgende, tabana indirilen yükseklik aynı zamanda tabanı iki eşit parçaya böler ve iki eş dik üçgen oluşturur.
- ✅ Tabanın yarısını bulalım: Taban 10 cm olduğuna göre, dik üçgenin bir dik kenarı \( 10 \div 2 = 5 \) cm olacaktır.
- ✅ Dik üçgenin kenarlarını belirleyelim: Hipotenüs 13 cm (eşit kenar), bir dik kenar 5 cm (tabanın yarısı) ve diğer dik kenar üçgenin yüksekliğidir (\( h \)).
- ✅ Pisagor bağıntısını uygulayalım: \( 5^2 + h^2 = 13^2 \)
- ✅ Karelerini alalım: \( 25 + h^2 = 169 \)
- ✅ \( h^2 \) yalnız bırakalım: \( h^2 = 169 - 25 \)
- ✅ Çıkarma işlemini yapalım: \( h^2 = 144 \)
- ✅ Yüksekliği bulmak için karekök alalım: \( h = \sqrt{144} \)
- ✅ Sonuç: \( h = 12 \) cm'dir.
İkizkenar üçgenin yüksekliği 12 cm'dir. 💡
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde, B açısı 90 derecedir. D noktası BC kenarı üzerindedir. AB = 6 cm, BD = 8 cm ve DC = 7 cm'dir. AD uzunluğunu ve AC uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu problemde iki farklı dik üçgen bulunmaktadır: ABD dik üçgeni ve ABC dik üçgeni. Her ikisi için de Pisagor bağıntısını kullanacağız.
👉 Önce AD uzunluğunu bulalım (ABD üçgeni için):
- ✅ ABD üçgeninde B açısı 90 derecedir. Dik kenarlar AB = 6 cm ve BD = 8 cm'dir. AD hipotenüstür.
- ✅ Pisagor bağıntısını uygulayalım: \( AB^2 + BD^2 = AD^2 \)
- ✅ Değerleri yerine yazalım: \( 6^2 + 8^2 = AD^2 \)
- ✅ Karelerini alalım: \( 36 + 64 = AD^2 \)
- ✅ Toplayalım: \( 100 = AD^2 \)
- ✅ AD uzunluğunu bulalım: \( AD = \sqrt{100} = 10 \) cm'dir.
👉 Şimdi AC uzunluğunu bulalım (ABC üçgeni için):
- ✅ ABC üçgeninde B açısı 90 derecedir. Dik kenarlar AB = 6 cm ve BC'dir. AC hipotenüstür.
- ✅ BC uzunluğunu bulalım: \( BC = BD + DC = 8 + 7 = 15 \) cm'dir.
- ✅ Pisagor bağıntısını uygulayalım: \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \)
- ✅ Değerleri yerine yazalım: \( 6^2 + 15^2 = AC^2 \)
- ✅ Karelerini alalım: \( 36 + 225 = AC^2 \)
- ✅ Toplayalım: \( 261 = AC^2 \)
- ✅ AC uzunluğunu bulalım: \( AC = \sqrt{261} \)
- ✅ Karekökü sadeleştirelim (261 = 9 x 29): \( AC = \sqrt{9 \times 29} = 3\sqrt{29} \) cm'dir.
AD uzunluğu 10 cm ve AC uzunluğu \( 3\sqrt{29} \) cm'dir. ✅
Örnek 6:
Duvara dayalı 10 metre uzunluğundaki bir merdivenin alt ucu, duvardan 6 metre uzaklıktadır. Merdivenin üst ucu yerden ne kadar yüksektedir? Bu bir "yeni nesil" sorusudur. 🪜
Çözüm:
Bu senaryoda, merdiven, duvar ve yer düzlemi birlikte bir dik üçgen oluşturur.
- ✅ Merdivenin uzunluğu hipotenüstür: \( c = 10 \) metre.
- ✅ Merdivenin alt ucunun duvardan uzaklığı bir dik kenardır: \( a = 6 \) metre.
- ✅ Merdivenin üst ucunun yerden yüksekliği ise diğer dik kenardır: \( h \).
- ✅ Pisagor bağıntısını uygulayalım: \( a^2 + h^2 = c^2 \)
- ✅ Değerleri yerine yazalım: \( 6^2 + h^2 = 10^2 \)
- ✅ Karelerini alalım: \( 36 + h^2 = 100 \)
- ✅ \( h^2 \) yalnız bırakalım: \( h^2 = 100 - 36 \)
- ✅ Çıkarma işlemini yapalım: \( h^2 = 64 \)
- ✅ Yüksekliği bulmak için karekök alalım: \( h = \sqrt{64} \)
- ✅ Sonuç: \( h = 8 \) metre.
Merdivenin üst ucu yerden 8 metre yüksektedir. 💯
Örnek 7:
Bir köyden diğerine gitmek için iki yol vardır. Birinci yol, önce doğuya doğru 8 km, sonra kuzeye doğru 15 km ilerleyerek ulaşır. İkinci yol ise iki köy arasında doğrudan düz bir yoldur. İkinci yol, birinci yola göre kaç km daha kısadır? 🗺️
Çözüm:
Doğu ve kuzey yönleri birbirine diktir. Bu nedenle, birinci yolun güzergahı bir dik üçgenin dik kenarlarını oluşturur. İkinci yol ise bu dik üçgenin hipotenüsüdür.
- ✅ Birinci yolun dik kenarlarını belirleyelim: Doğuya 8 km (\( a = 8 \)), Kuzeye 15 km (\( b = 15 \)).
- ✅ İkinci yolun uzunluğunu (hipotenüs \( c \)) bulmak için Pisagor bağıntısını uygulayalım: \( 8^2 + 15^2 = c^2 \)
- ✅ Karelerini alalım: \( 64 + 225 = c^2 \)
- ✅ Toplayalım: \( 289 = c^2 \)
- ✅ İkinci yolun uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{289} \)
- ✅ Sonuç: \( c = 17 \) km'dir.
Şimdi yollar arasındaki farkı bulalım:
- ✅ Birinci yolun toplam uzunluğu: \( 8 + 15 = 23 \) km.
- ✅ İkinci yolun uzunluğu: 17 km.
- ✅ Kısalık farkı: \( 23 - 17 = 6 \) km.
İkinci yol, birinci yola göre 6 km daha kısadır. 🏞️
Örnek 8:
Bir kare şeklindeki bahçenin bir köşesinden, karşı kenarının orta noktasına kadar bir yol yapılacaktır. Karenin bir kenar uzunluğu 10 metredir. Bu yolun uzunluğunu bulunuz. 🌳
Çözüm:
Bu problemde, karenin kenarları ve karşı kenarın orta noktasına uzanan yol bir dik üçgen oluşturur.
- ✅ Kare kenar uzunluğu: 10 metre.
- ✅ Dik üçgenin dik kenarlarından biri: Karenin bir kenarı, yani 10 metre.
- ✅ Diğer dik kenar: Karşı kenarın orta noktasına gidildiği için, bu kenarın yarısıdır. \( 10 \div 2 = 5 \) metre.
- ✅ Yapılacak yolun uzunluğu bu dik üçgenin hipotenüsüdür (\( x \)).
- ✅ Pisagor bağıntısını uygulayalım: \( 10^2 + 5^2 = x^2 \)
- ✅ Karelerini alalım: \( 100 + 25 = x^2 \)
- ✅ Toplayalım: \( 125 = x^2 \)
- ✅ Yolun uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \( x = \sqrt{125} \)
- ✅ Karekökü sadeleştirelim: \( \sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5} \) metre.
Yapılacak yolun uzunluğu \( 5\sqrt{5} \) metredir. ✨
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-pisagor-bagintisi/sorular