💡 9. Sınıf Matematik: Piramitler Çözümlü Örnekler

Kare dik piramidin yanal alanı, tabanı çevreleyen dört adet eş ikizkenar üçgenden oluşur. Çözüm adımları şu şekildedir:

• Adım 1: Bir adet yan yüzdeki üçgenin alanını bulalım. Üçgenin alanı: \( \frac{\text{taban} \times \text{yükseklik}}{2} \) formülü ile hesaplanır.
• Adım 2: Bir yan yüz alanı \( = \frac{6 \times 8}{2} = 24 \) cm kare olur.
• Adım 3: Piramidin 4 adet yan yüzü olduğu için toplam yanal alan: \( 4 \times 24 = 96 \) cm kare bulunur.

Piramitlerde köşe, yüz ve ayrıt sayıları taban çokgeninin kenar sayısına (\( n \)) bağlıdır. Altıgen piramit için \( n = 6 \)'dır.

• Köşe Sayısı: Taban köşeleri (\( n \)) artı tepe noktası (\( 1 \)) olmak üzere \( n + 1 \) formülü ile bulunur.
  \( 6 + 1 = 7 \) adet köşe vardır.
• Yüz Sayısı: Bir taban yüzü ve \( n \) kadar yan yüz olmak üzere \( n + 1 \) formülü ile bulunur.
  \( 6 + 1 = 7 \) adet yüz vardır.
• Ayrıt Sayısı: Taban ayrıtları (\( n \)) ve yan ayrıtlar (\( n \)) olmak üzere \( 2 \times n \) formülü ile bulunur.
  \( 2 \times 6 = 12 \) adet ayrıt vardır.

Piramidin yüksekliği, taban merkezine dik olarak iner. Bu durumda bir dik üçgen oluşur:

• Adım 1: Piramidin yüksekliği dik üçgenin bir dik kenarıdır: \( a = 12 \).
• Adım 2: Taban merkezinden kenara olan dik uzaklık, taban ayrıtının yarısıdır: \( \frac{10}{2} = 5 \). Bu, dik üçgenin diğer dik kenarıdır: \( b = 5 \).
• Adım 3: Yan yüz yüksekliği (\( x \)) bu üçgenin hipotenüsüdür. Pisagor teoremini uygulayalım:

Düzgün dörtyüzlü, 4 adet eşkenar üçgenden oluşur. Bir kenarı \( a \) olan eşkenar üçgenin alan formülünü veya temel geometri bilgilerimizi kullanalım:

• Adım 1: Bir kenarı \( 4 \) cm olan eşkenar üçgenin alanı: \( \frac{a^{2} \times \sqrt{3}}{4} \) formülü ile bulunur.
• Adım 2: Bir yüzün alanı \( = \frac{4^{2} \times \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \times \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \) cm kare.
• Adım 3: Toplam 4 yüz olduğu için: \( 4 \times 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \) cm kare bulunur.

Bu soru, bir kare piramidin yanal alanını bulmamızı istemektedir.

• Veriler: Taban ayrıtı \( 2 \) m, yan yüz yüksekliği \( 2.5 \) m.
• Hesaplama: Çadırın 4 adet üçgensel yan yüzü vardır.
• Bir yan yüzün alanı: \( \frac{2 \times 2.5}{2} = 2.5 \) metrekare.
• Toplam kumaş miktarı: \( 4 \times 2.5 = 10 \) metrekare.

Soruda aslında piramidin açınımı (net) verilmiştir. Toplam alan, taban alanı ile yanal alanın toplamıdır.

• Taban Alanı (Kare): \( 12 \times 12 = 144 \) cm kare.
• Yanal Alan (4 Üçgen): \( 4 \times (\frac{12 \times 10}{2}) \)
• Yanal Alan: \( 4 \times 60 = 240 \) cm kare.
• Toplam Karton Alanı: \( 144 + 240 = 384 \) cm kare.

Verilenleri adım adım analiz edelim:

• Adım 1: Taban alanı \( 64 \) ise, karenin bir kenarı \( \sqrt{64} = 8 \) birimdir.
• Adım 2: Yanal alan \( = \text{Toplam Alan} - \text{Taban Alanı} \)
• Yanal Alan: \( 144 - 64 = 80 \) birimkaredir.
• Adım 3: 4 adet eş yan yüz olduğu için, bir yan üçgenin alanı: \( \frac{80}{4} = 20 \) birimkaredir.
• Adım 4: Üçgenin alan formülünü kullanarak yan yüz yüksekliğini (\( h \)) bulalım:

Bu problemde piramidin yanal alanını hesaplamamız istenmektedir.

• Taban kenarı: \( 200 \) m
• Yan yüz yüksekliği: \( 150 \) m
• Yanal Alan Formülü: \( \frac{\text{Taban Çevresi} \times \text{Yan Yüz Yüksekliği}}{2} \)
• Taban Çevresi: \( 4 \times 200 = 800 \) m
• Kaplanacak Alan: \( \frac{800 \times 150}{2} = 400 \times 150 = 60000 \) metrekare.