💡 9. Sınıf Matematik: Özel üçgenler Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için Pisagor Bağıntısı'nı kullanacağız.

• Pisagor Bağıntısı: Bir dik üçgende, dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
• Formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
• Verilenler: Bir dik kenar (örneğin \( a \)) = 6 birim, hipotenüs (\( c \)) = 10 birim.
• Bulunması Gereken: Diğer dik kenar (\( b \)).
• Hesaplama:
• \( 6^2 + b^2 = 10^2 \)
• \( 36 + b^2 = 100 \)
• \( b^2 = 100 - 36 \)
• \( b^2 = 64 \)
• \( b = \sqrt{64} \)
• \( b = 8 \) birim

Bulduğumuz dik kenar uzunluğu 8 birimdir. Kenar uzunlukları 6, 8 ve 10 olan bu dik üçgen, 3-4-5 üçgeninin 2 katı olduğu için de özel bir üçgendir. ✅

Bu soru, 30-60-90 üçgeni özelliklerini kullanır.

• 30-60-90 Üçgeni Özellikleri:
• 30 derecenin karşısındaki kenarın uzunluğu \( x \) ise,
• 90 derecenin karşısındaki (hipotenüs) kenarın uzunluğu \( 2x \) olur.
• 60 derecenin karşısındaki kenarın uzunluğu \( x\sqrt{3} \) olur.

Soruda iki olası durum vardır:

1. Eğer 30 derecenin karşısındaki dik kenar 5 birim ise:
• Hipotenüs (90 derecenin karşısı) \( 2 \times 5 = 10 \) birim olur.
• 60 derecenin karşısı \( 5\sqrt{3} \) birim olur.
2. Eğer 60 derecenin karşısındaki dik kenar 5 birim ise:
• Bu durumda \( x\sqrt{3} = 5 \) olur.
• Buradan \( x = \frac{5}{\sqrt{3}} \) bulunur.
• Hipotenüs \( 2x = 2 \times \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} \) birim olur.

Genellikle sorularda 30 derecenin karşısındaki kenar verilir. Bu durumda hipotenüs 10 birimdir. 👉

İkizkenar dik üçgen, 45-45-90 üçgeni olarak da bilinir.

• 45-45-90 Üçgeni Özellikleri:
• Dik kenarlar birbirine eşittir.
• Dik kenarların uzunluğu \( x \) ise, hipotenüs \( x\sqrt{2} \) olur.

Soruda dik kenar uzunluğu 7 birim olarak verilmiş.

• Hipotenüs = \( 7 \times \sqrt{2} \) birimdir.

Yani hipotenüs uzunluğu \( 7\sqrt{2} \) birimdir. ✅

Bu soruyu çözmek için kenar uzunluklarını kontrol ederek üçgenin türünü belirleyebiliriz.

• Kenar uzunlukları: 5 cm, 12 cm, 13 cm.
• Pisagor Bağıntısı'nı kontrol edelim: En uzun kenar (hipotenüs varsayımı) 13 cm'dir.
• \( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \)
• \( 13^2 = 169 \)
• \( 5^2 + 12^2 = 13^2 \) eşitliği sağlandığı için, bu bir dik üçgendir.

Pisagor Bağıntısı'nın sağlanması, en uzun kenarın (13 cm) karşısındaki açının \( 90^\circ \) olduğunu gösterir.

• \( |AC| = 12 \) cm ve \( |BC| = 5 \) cm dik kenarlardır.
• \( |AB| = 13 \) cm hipotenüstür.
• Hipotenüs, \( \angle C \) açısının karşısındadır. Dolayısıyla \( \angle C = 90^\circ \) olur.

Bu durumda \( \angle B \) açısı \( 90^\circ \) olamaz. Açıların toplamı \( 180^\circ \) olacağından, \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \) olur. \( \angle A + \angle B + 90^\circ = 180^\circ \) \( \angle A + \angle B = 90^\circ \) Soruda \( \angle B \) açısının kaç derece olduğu soruluyor. Bu üçgen özel bir dik üçgendir (5-12-13 üçgeni). Ancak \( \angle B \) açısı tam olarak \( 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ \) gibi bilinen özel açılardan biri değildir. 📌

Bu problem, 30-60-90 üçgeni özelliklerini günlük hayata uyarlar.

• Verilenler:
• Hipotenüs uzunluğu = 2 metre = 200 cm
• Kısa dik kenar (30 derecenin karşısı) = 50 cm
• Öğrenmemiz Gerekenler:
• Uzun dik kenar (60 derecenin karşısı)
• Hipotenüs uzunluğu (90 derecenin karşısı)
• 30-60-90 Üçgeni Özellikleri:
• Kısa dik kenar \( x \) ise,
• Uzun dik kenar \( x\sqrt{3} \) olur.
• Hipotenüs \( 2x \) olur.

Soruda verilen kısa dik kenar 50 cm'dir. Yani \( x = 50 \) cm.

• Uzun dik kenar = \( x\sqrt{3} = 50\sqrt{3} \) cm
• Hipotenüs = \( 2x = 2 \times 50 = 100 \) cm

Ancak soruda hipotenüsün 2 metre (200 cm) olduğu belirtilmiş. Bu durumda marangozun kesiminde bir hata var veya sorudaki bilgiler çelişkili. Eğer marangoz 2 metre (200 cm) uzunluğundaki tahtayı hipotenüs olarak kullanıyorsa ve kısa dik kenarı 50 cm ise, bu bir 30-60-90 üçgeni olmaz. Eğer marangoz, 200 cm'lik tahtayı hipotenüs olarak kullanarak bir 30-60-90 üçgeni kesecekse:

• Hipotenüs = 200 cm, yani \( 2x = 200 \) cm.
• Bu durumda \( x = 100 \) cm (kısa dik kenar).
• Uzun dik kenar = \( x\sqrt{3} = 100\sqrt{3} \) cm.

Sorunun orijinal ifadesiyle, marangozun elindeki tahta 2 metre (200 cm) ve bu tahtanın kısa dik kenarı 50 cm olacaksa, kesilen şekil bir 30-60-90 üçgeni olmaz. Ancak sorunun amacı, eğer 30-60-90 üçgeni kesilecekse bu uzunluklar ne olurdu? Eğer marangoz 50 cm kısa dik kenarlı bir 30-60-90 üçgeni kesecekse:

• Kısa dik kenar = 50 cm
• Uzun dik kenar = \( 50\sqrt{3} \) cm
• Hipotenüs = 100 cm

Bu durumda 2 metrelik tahtanın tamamı kullanılmamış olur. 💡

Bu problemde, merdiven, duvar ve zemin bir dik üçgen oluşturur.

• Merdiven uzunluğu = Hipotenüs = 10 metre
• Duvarla zemin arasındaki mesafe = Dik kenar 1 = 10 metre (duvarın yüksekliği)
• Merdivenin duvara uzaklığı = Dik kenar 2 = 6 metre

Bu bir dik üçgendir çünkü duvar zemine diktir. Kenar uzunlukları 6, 8 ve 10 olan bir üçgen (Pisagor Bağıntısı: \( 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 \)) oluşur. Demek ki merdivenin duvarda dayandığı nokta yerden 8 metre yüksekliktedir. Sorulan, merdivenin duvarla yaptığı açı. Bu açı, merdivenin zemine yaptığı açıya göre hesaplanabilir. Merdivenin duvarla yaptığı açıya \( \alpha \) diyelim.

• Sinüs Kuralı veya Kosinüs Kuralı kullanılabilir ancak bu bilgilerle açı tam olarak bilinen özel açılardan biri çıkmayabilir.
• Sinüs Kuralı ile:
• \( \sin(\text{merdivenin zemine yaptığı açı}) = \frac{\text{duvarın yüksekliği}}{\text{merdiven uzunluğu}} = \frac{8}{10} = 0.8 \)
• Merdivenin zemine yaptığı açı yaklaşık \( 53.13^\circ \) olur.
• Merdivenin duvarla yaptığı açı ise \( 90^\circ - 53.13^\circ = 36.87^\circ \) olur.

Bu bir özel üçgen (6-8-10 üçgeni, 3-4-5 üçgeninin iki katı) olduğu için açılar yaklaşık değerlerdir ve genellikle 9. sınıfta bu değerler ezberlenmez. Ancak dik üçgen mantığı burada önemlidir. 📌

Bu bir ikizkenar üçgen sorusudur ancak dik üçgen değildir. \( 120^\circ \) açısı, özel bir dik üçgen formülü gerektirmez. Ancak üçgeni iki dik üçgene bölerek çözebiliriz.

• ABC üçgeni ikizkenar olduğu için, A noktasından BC kenarına bir yükseklik çizersek, bu yükseklik hem kenarortay hem de açıortay olur.
• Bu yükseklik, ABC üçgenini iki adet eş 30-60-90 üçgenine ayırır.
• Çizdiğimiz yükseklik, \( 120^\circ \) olan A açısını ikiye böler, yani \( 60^\circ \) ve \( 60^\circ \) yapar.
• Bu durumda oluşan iki dik üçgenin açıları \( 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ \) olur.
• Her bir dik üçgenin hipotenüsü \( |AB| = |AC| = 8 \) cm'dir.
• Bu dik üçgenlerde 30 derecenin karşısındaki kenar, hipotenüsün yarısıdır.

Her bir dik üçgenin 30 derecenin karşısındaki kenarı \( \frac{8}{2} = 4 \) cm olur.

• Bu kenar, BC kenarının yarısına eşittir.
• Yani, \( |BC| \) kenarının yarısı 4 cm'dir.
• \( |BC| = 2 \times 4 = 8 \) cm'dir.

Bu soruda kenar uzunlukları \( 8, 8, 8 \) çıktığı için aslında eşkenar üçgen olmalıdır. Ancak \( \angle BAC = 120^\circ \) verildiği için bu bir çelişkidir. Eğer \( \angle BAC = 60^\circ \) olsaydı eşkenar üçgen olurdu. Soruda verilen \( \angle BAC = 120^\circ \) ve \( |AB| = |AC| = 8 \) cm bilgileriyle \( |BC| \) uzunluğunu bulmak için Kosinüs Teoremi kullanılır ki bu 9. sınıf müfredatında yer almaz. Eğer soru "bir ABC üçgeninde \( |AB| = 8 \) cm, \( |BC| = 8 \) cm ve \( \angle ABC = 60^\circ \) ise, \( |AC| \) uzunluğu kaç cm'dir?" şeklinde olsaydı, bu bir ikizkenar üçgen olup \( \angle BCA = 60^\circ \) olacağından eşkenar üçgen olur ve \( |AC| = 8 \) cm bulunurdu. Soruyu müfredata uygun hale getirelim: Eğer \( \angle BAC = 90^\circ \) olsaydı, \( |BC| = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \) cm olurdu. Eğer \( \angle BAC = 60^\circ \) olsaydı, eşkenar üçgen olurdu ve \( |BC| = 8 \) cm olurdu. Verilen \( 120^\circ \) açısı için müfredat dışı bir çözüm gereklidir. 💡

Bu soruyu çözmek için öncelikle Pisagor Bağıntısı'nı kullanarak hipotenüs uzunluğunu bulmamız gerekiyor.

• Verilenler:
• \( \angle C = 90^\circ \) (Dik üçgen)
• \( |AC| = 5 \) birim (Dik kenar)
• \( |BC| = 12 \) birim (Dik kenar)
• Bulunması Gereken:
• Çevre uzunluğu = \( |AC| + |BC| + |AB| \)
• Pisagor Bağıntısı: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
• \( |AC|^2 + |BC|^2 = |AB|^2 \)
• \( 5^2 + 12^2 = |AB|^2 \)
• \( 25 + 144 = |AB|^2 \)
• \( 169 = |AB|^2 \)
• \( |AB| = \sqrt{169} \)
• \( |AB| = 13 \) birim (Hipotenüs)

Şimdi üçgenin çevresini hesaplayabiliriz.

• Çevre = \( |AC| + |BC| + |AB| \)
• Çevre = \( 5 + 12 + 13 \)
• Çevre = \( 30 \) birim

Bu üçgen, 5-12-13 özel dik üçgenidir. ✅

Bu bir 45-45-90 üçgeni örneğidir.

• 45-45-90 Üçgeni Özellikleri:
• İki dik kenarı birbirine eşittir.
• Dik kenarların uzunluğu \( x \) ise, hipotenüs \( x\sqrt{2} \) olur.

Soruda dik kenarların uzunluğu 10 birim olarak verilmiş. Yani \( x = 10 \) birim.

• Hipotenüs = \( x\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \) birimdir.

Hipotenüs uzunluğu \( 10\sqrt{2} \) birimdir. 👉