💡 9. Sınıf Matematik: Ortanca Çözümlü Örnekler

Ortancayı bulmak için öncelikle verilen sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanır:

• Sıralanmış dizi: \( 1, 3, 5, 7, 9 \)
• Dizideki eleman sayısı tek ise, ortadaki eleman ortanca olur.
• Bu dizide 5 eleman vardır ve ortadaki eleman 5'tir.

✅ Bu nedenle, sayıların ortancası 5'tir.

Ortancayı bulmak için ilk adım sayıları küçükten büyüğe sıralamaktır:

• Sıralanmış dizi: \( 6, 8, 12, 15 \)
• Dizideki eleman sayısı çift ise, ortadaki iki elemanın aritmetik ortalaması ortanca olur.
• Bu dizide 4 eleman vardır. Ortadaki iki eleman 8 ve 12'dir.
• Ortanca = \( \frac{8 + 12}{2} \)
• Ortanca = \( \frac{20}{2} \)
• Ortanca = 10

👉 Bu sayıların ortancası 10'dur.

Öğrencilerin yaşlarını küçükten büyüğe sıralayalım:

• Sıralanmış yaşlar: \( 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 17 \)
• Toplam 8 öğrenci var (çift sayı).
• Ortadaki iki yaş 15 ve 15'tir.
• Ortanca = \( \frac{15 + 15}{2} \)
• Ortanca = \( \frac{30}{2} \)
• Ortanca = 15

💡 Sınıftaki öğrencilerin yaşlarının ortancası 15'tir.

Veri grubunda 7 sayı var ve ortanca 10. Sayıları küçükten büyüğe sıralayalım:

• Sıralanmış dizi: \( a, b, c, 10, d, e, f \)
• Ortanca 10 olduğu için, 10'dan küçük veya eşit 3 sayı ve 10'dan büyük veya eşit 3 sayı olmalıdır.
• En büyük sayının en az olması için, 10'dan küçük sayıları mümkün olduğunca küçük tutmalıyız.
• En küçük 3 sayıyı 10 olarak alabiliriz: \( 10, 10, 10 \)
• Şu anki dizimiz: \( 10, 10, 10, 10, d, e, f \)
• Sayıların toplamı 84. İlk 4 sayının toplamı \( 10 \times 4 = 40 \).
• Geriye kalan \( d + e + f \) için \( 84 - 40 = 44 \) kalır.
• En büyük sayının (f) en az olması için, d ve e'yi mümkün olduğunca küçük tutmalıyız.
• d ve e, ortancadan büyük veya eşit olmalı, yani en az 10 olmalı.
• En büyük sayının en az olması için, d ve e'yi 10 alalım.
• \( 10 + 10 + f = 44 \)
• \( 20 + f = 44 \)
• \( f = 44 - 20 \)
• \( f = 24 \)

✅ Bu durumda veri grubundaki en büyük sayı en az 24 olabilir. Dizi: \( 10, 10, 10, 10, 10, 10, 24 \). Toplam = 84, Ortanca = 10.

Öncelikle takımların attığı basket sayılarını küçükten büyüğe sıralayalım:

• Sıralanmış sayılar: \( 72, 75, 78, 82, 85 \)
• Bu dizide 5 eleman olduğu için ortanca, ortadaki sayıdır: 78.
• Şimdi maç başına ortalama basket sayısını bulalım (aritmetik ortalama):
• Toplam basket sayısı = \( 72 + 75 + 78 + 82 + 85 = 392 \)
• Maç başına ortalama = \( \frac{392}{5} = 78.4 \)
• Ortanca (78) ile maç başına ortalama (78.4) arasındaki farkı bulalım:
• Fark = \( 78.4 - 78 = 0.4 \)

👉 Ortanca, maç başına ortalama basket sayısından 0.4 eksiktir (veya ortalama, ortancadan 0.4 fazladır).

Manavın elma fiyatlarını küçükten büyüğe sıralayalım:

• Sıralanmış fiyatlar: \( 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8 \)
• Toplam 7 farklı günün fiyatı var (tek sayı).
• Ortadaki değer, yani 4. sıradaki fiyat ortancadır.
• Ortanca = 6 TL

✅ Manavın sattığı elma fiyatlarının ortancası 6 TL'dir.

Öncelikle veri grubundaki ifadeleri küçükten büyüğe sıralamamız gerekiyor. Ancak \( x \)'in değerini bilmediğimiz için kesin bir sıralama yapamayız. Bu tür durumlarda, ortadaki iki elemanın ortalamasının ortancayı vereceğini biliyoruz (veri grubunda 4 eleman var, yani çift sayıda).

• Veri grubundaki elemanlar: \( x, x+5, 2x+1, 3x-2 \)
• Bu ifadeleri sıralamak için \( x \)'in değerini düşünelim.
• Eğer \( x \) pozitifse, genellikle \( x < x+5 \) ve \( 2x+1 < 3x-2 \) olur.
• Ancak \( x \) ile \( 2x+1 \) veya \( x+5 \) ile \( 3x-2 \) arasındaki ilişkiyi bilmemiz gerekir.
• En garantili yol, ortadaki iki ifadenin ortalamasının \( x+3 \) olduğunu kullanmaktır.
• Veri grubundaki elemanları sıraladığımızı varsayarsak (genellikle \( x \) pozitif olunca \( x \) en küçük olur), ortadaki iki eleman \( 2x+1 \) ve \( x+5 \) veya \( x \) ve \( 2x+1 \) olabilir.
• Daha net bir sıralama için, bu ifadeleri \( x \) cinsinden sıralayalım.
• Eğer \( x > 2 \) ise: \( x < 2x+1 < x+5 < 3x-2 \) (Örnek: x=3 için 3, 7, 8, 7 - bu sıralama yanlış)
• Doğru sıralama için, \( x \) değerini bilmeden ortadaki iki terimin ortalamasını almalıyız.
• Veri grubunu \( x \) cinsinden sıralayalım:
• \( x \), \( x+5 \), \( 2x+1 \), \( 3x-2 \)
• Bu ifadelerin sıralaması \( x \)'in değerine bağlıdır.
• Ancak, 4 elemanlı bir veri grubunda ortanca, ortadaki iki elemanın ortalamasıdır.
• Bu iki eleman, sıralandığında 2. ve 3. elemanlardır.
• Bu elemanlar \( x+5 \) ve \( 2x+1 \) olmalıdır (varsayılan sıralama ile).
• Ortanca = \( \frac{(x+5) + (2x+1)}{2} \)
• Bize verilen ortanca \( x+3 \).
• \( \frac{3x+6}{2} = x+3 \)
• \( 3x+6 = 2(x+3) \)
• \( 3x+6 = 2x+6 \)
• \( 3x - 2x = 6 - 6 \)
• \( x = 0 \)
• Eğer \( x=0 \) ise, veri grubu \( 1, 0, -2, 5 \) olur. Sıralanmış hali: \( -2, 0, 1, 5 \). Ortanca = \( \frac{0+1}{2} = 0.5 \).
• Ancak bize verilen ortanca \( x+3 \) idi. \( 0+3 = 3 \). \( 0.5 \neq 3 \). Bu varsayım yanlış.
• Diğer olası ortadaki iki eleman \( x \) ve \( 2x+1 \) olsaydı:
• Ortanca = \( \frac{x + (2x+1)}{2} \)
• \( \frac{3x+1}{2} = x+3 \)
• \( 3x+1 = 2(x+3) \)
• \( 3x+1 = 2x+6 \)
• \( 3x - 2x = 6 - 1 \)
• \( x = 5 \)
• Şimdi \( x=5 \) değerini kontrol edelim.
• Veri grubu: \( 2(5)+1=11, 5, 3(5)-2=13, 5+5=10 \)
• Sıralanmış hali: \( 5, 10, 11, 13 \)
• Ortadaki iki eleman 10 ve 11.
• Ortanca = \( \frac{10+11}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 \)
• Bize verilen ortanca \( x+3 \) idi. \( 5+3 = 8 \). \( 10.5 \neq 8 \). Bu varsayım da yanlış.
• Diğer olası ortadaki iki eleman \( 2x+1 \) ve \( x+5 \) olamaz çünkü bu \( x \) pozitifken sıralamayı bozar.
• En doğru yaklaşım, bu ifadeleri \( x \) cinsinden sıralamayı deneyip, ortadaki iki terimi bulmaktır.
• İfadeler: \( x, x+5, 2x+1, 3x-2 \)
• Eğer \( x \) pozitifse, \( x \) en küçük olabilir.
• \( 3x-2 \) ile \( x+5 \) karşılaştırması: \( 3x-2 < x+5 \implies 2x < 7 \implies x < 3.5 \)
• \( 2x+1 \) ile \( x+5 \) karşılaştırması: \( 2x+1 < x+5 \implies x < 4 \)
• Eğer \( x < 3.5 \) ise, sıralama \( x, 2x+1, 3x-2, x+5 \) olabilir.
• Bu durumda ortadaki iki eleman \( 2x+1 \) ve \( 3x-2 \) olur.
• Ortanca = \( \frac{(2x+1) + (3x-2)}{2} \)
• \( \frac{5x-1}{2} = x+3 \)
• \( 5x-1 = 2(x+3) \)
• \( 5x-1 = 2x+6 \)
• \( 5x - 2x = 6 + 1 \)
• \( 3x = 7 \)
• \( x = \frac{7}{3} \)
• Şimdi \( x = \frac{7}{3} \approx 2.33 \) değerini kontrol edelim. Bu değer \( x < 3.5 \) koşulunu sağlar.
• Veri grubu:
• \( x = \frac{7}{3} \)
• \( x+5 = \frac{7}{3} + 5 = \frac{7+15}{3} = \frac{22}{3} \)
• \( 2x+1 = 2(\frac{7}{3}) + 1 = \frac{14}{3} + 1 = \frac{14+3}{3} = \frac{17}{3} \)
• \( 3x-2 = 3(\frac{7}{3}) - 2 = 7 - 2 = 5 = \frac{15}{3} \)
• Sıralanmış hali: \( \frac{7}{3}, \frac{15}{3}, \frac{17}{3}, \frac{22}{3} \) yani \( \frac{7}{3}, 5, \frac{17}{3}, \frac{22}{3} \)
• Ortadaki iki eleman \( 5 \) ve \( \frac{17}{3} \).
• Ortanca = \( \frac{5 + \frac{17}{3}}{2} = \frac{\frac{15+17}{3}}{2} = \frac{\frac{32}{3}}{2} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3} \)
• Bize verilen ortanca \( x+3 \) idi. \( \frac{7}{3} + 3 = \frac{7+9}{3} = \frac{16}{3} \).
• ✅ \( \frac{16}{3} = \frac{16}{3} \). Bu nedenle \( x = \frac{7}{3} \) olmalıdır.

Öncelikle arkadaşların harcamalarını küçükten büyüğe sıralayalım:

• Sıralanmış harcamalar: \( 18, 20, 22, 25, 30 \)
• Bu dizide 5 eleman olduğu için ortanca, ortadaki sayıdır: 22 TL.
• Şimdi toplam harcama miktarını bulalım:
• Toplam harcama = \( 18 + 20 + 22 + 25 + 30 = 115 \) TL
• Ortancanın (22) toplam harcamaya (115) oranını bulalım:
• Oran = \( \frac{22}{115} \)

👉 Bu harcamaların ortancası, toplam harcama miktarının \( \frac{22}{115} \) katıdır.