💡 9. Sınıf Matematik: Oran Ve Orantı Çözümlü Örnekler

• 👉 Erkek öğrenci sayısı: 12
• 👉 Kız öğrenci sayısı: 18
• ✅ Oran: Erkek öğrenci sayısı / Kız öğrenci sayısı
• Şimdi bu oranı yazalım ve sadeleştirelim:
• \[ \frac{\text{Erkek Öğrenci Sayısı}}{\text{Kız Öğrenci Sayısı}} = \frac{12}{18} \]
• Her iki sayıyı da en büyük ortak bölenleri olan 6 ile sadeleştirelim:
• \[ \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3} \]

Bu durumda, erkek öğrenci sayısının kız öğrenci sayısına oranı \( \frac{2}{3} \) veya 2:3'tür. Bu, her 2 erkek öğrenciye karşılık 3 kız öğrenci olduğu anlamına gelir. 💡

• 📌 Orantı sabiti: \( \frac{a}{b} = \frac{3}{5} \) ifadesinde, \( a \) ve \( b \) sayıları bir \( k \) orantı sabiti ile ifade edilebilir.
• Buna göre, \( a = 3k \) ve \( b = 5k \) yazabiliriz.
• Şimdi bu değerleri \( a+b=24 \) denkleminde yerine koyalım:
• \[ 3k + 5k = 24 \]
• Denklemi çözelim:
• \[ 8k = 24 \]
• Her iki tarafı 8'e bölelim:
• \[ k = \frac{24}{8} \]
• \[ k = 3 \]
• ✅ \( k \) değerini bulduğumuza göre, \( a \) ve \( b \)'yi hesaplayabiliriz:
• \( a = 3k = 3 \times 3 = 9 \)
• \( b = 5k = 5 \times 3 = 15 \)

Sonuç olarak, \( a=9 \) ve \( b=15 \) bulunur. Kontrol edelim: \( \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \) ve \( 9+15=24 \). Doğru! 👍

• 📌 Bilinenler:
• 3 dönüm tarla için süre = 6 saat
• 7 dönüm tarla için süre = \( x \) saat (bilinmeyen)
• ✅ Doğru orantı denklemi:
• Doğru orantıda, oran sabittir. Yani \( \frac{\text{tarla alanı}}{\text{süre}} \) oranı sabittir.
• \[ \frac{3 \text{ dönüm}}{6 \text{ saat}} = \frac{7 \text{ dönüm}}{x \text{ saat}} \]
• Şimdi içler dışlar çarpımı yaparak \( x \)'i bulalım:
• \( 3 \times x = 6 \times 7 \)
• \( 3x = 42 \)
• Her iki tarafı 3'e bölelim:
• \( x = \frac{42}{3} \)
• \( x = 14 \)

Çiftçi 7 dönümlük tarlasını 14 saatte sürer. 🌾

• 📌 Bilinenler:
• 6 işçi bir işi 10 günde bitiriyor.
• 4 işçi aynı işi \( x \) günde bitirir (bilinmeyen).
• ✅ Ters orantı denklemi:
• Ters orantıda, iki çokluğun çarpımı sabittir. Yani (işçi sayısı \( \times \) gün sayısı) sabittir.
• \[ 6 \text{ işçi} \times 10 \text{ gün} = 4 \text{ işçi} \times x \text{ gün} \]
• Denklemi çözelim:
• \( 60 = 4x \)
• Her iki tarafı 4'e bölelim:
• \( x = \frac{60}{4} \)
• \( x = 15 \)

Aynı işi 4 işçi 15 günde bitirir. 🛠️

• 📌 Kesim Sayısı:
• 3 eşit parçaya ayırmak için \( 3-1=2 \) kesim yapılır.
• 5 metrelik tahta için 2 kesim \( \rightarrow \) 12 dakika.
• 5 eşit parçaya ayırmak için \( 5-1=4 \) kesim yapılır.
• ✅ Adım 1: Kesim sayısı ve süre arasındaki ilişki (Doğru Orantı):
• Kesim sayısı arttıkça süre de artar, bu yüzden doğru orantı vardır.
• 2 kesim \( \rightarrow \) 12 dakika
• 4 kesim \( \rightarrow \) \( x \) dakika
• \[ \frac{2}{12} = \frac{4}{x} \]
• \( 2x = 12 \times 4 \)
• \( 2x = 48 \)
• \( x = 24 \) dakika.
• Yani, 4 kesim yapmak 24 dakika sürer.
• 👉 Tahtanın uzunluğu ile süre arasındaki ilişki:
• Burada önemli bir nokta var: Kesim süresi, tahtanın uzunluğuna değil, yapılan kesim sayısına bağlıdır. Yani ister 5 metrelik tahtayı 4 parçaya ayırın, ister 15 metrelik tahtayı 4 parçaya ayırın, kesim sayısı aynı olduğu sürece harcanan toplam kesim süresi aynı olacaktır. Tahtanın uzunluğu, sadece her bir parçanın uzunluğunu etkiler, kesim sayısını veya toplam kesim süresini doğrudan etkilemez.
• Soruda "15 metrelik bir tahtayı 5 eşit parçaya" denmiş. Bu durumda 5 eşit parça için 4 kesim yapılacaktır. Daha önce 5 metrelik tahta için 2 kesim yapılmıştı.

Sonuç olarak, marangoz 15 metrelik tahtayı 5 eşit parçaya (yani 4 kesim yaparak) 24 dakikada ayırır. ⏳

• 📌 Verilen oranlar:
• Domates salçası : Biber salçası : Zeytinyağı = 2 : 3 : 1
• Bu oranları bir \( k \) orantı sabiti ile ifade edebiliriz:
• Domates salçası = \( 2k \) gram
• Biber salçası = \( 3k \) gram
• Zeytinyağı = \( 1k \) gram
• ✅ Bilinen miktar: 120 gram domates salçası var.
• Domates salçası için \( 2k = 120 \) gram denklemini kurarız.
• Şimdi \( k \) değerini bulalım:
• \( k = \frac{120}{2} \)
• \( k = 60 \)
• 👉 Diğer malzemelerin miktarını hesaplayalım:
• Biber salçası: \( 3k = 3 \times 60 = 180 \) gram
• Zeytinyağı: \( 1k = 1 \times 60 = 60 \) gram

Aşçı, 180 gram biber salçası ve 60 gram zeytinyağı kullanmalıdır. 👨‍🍳

• 📌 Bilinenler:
• 3 saatte alınan yol = 210 km
• 5 saatte alınan yol = \( x \) km (bilinmeyen)
• ✅ Doğru orantı denklemi:
• Yol ve zaman doğru orantılıdır, yani \( \frac{\text{yol}}{\text{zaman}} \) oranı sabittir (bu oran bize hızı verir).
• \[ \frac{210 \text{ km}}{3 \text{ saat}} = \frac{x \text{ km}}{5 \text{ saat}} \]
• Şimdi içler dışlar çarpımı yaparak \( x \)'i bulalım:
• \( 210 \times 5 = 3 \times x \)
• \( 1050 = 3x \)
• Her iki tarafı 3'e bölelim:
• \( x = \frac{1050}{3} \)
• \( x = 350 \)

Bu araç, aynı sabit hızla 5 saatte 350 kilometre yol alır. 🛣️

• 📌 Adım 1: Bugünkü yaşlarını ifade edelim.
• Oğlunun bugünkü yaşı \( x \) olsun.
• Babanın bugünkü yaşı oğlunun yaşının 3 katı olduğu için, babanın bugünkü yaşı \( 3x \) olur.
• ✅ Adım 2: 5 yıl sonraki yaşlarını ifade edelim.
• 5 yıl sonra oğlunun yaşı \( x+5 \) olur.
• 5 yıl sonra babanın yaşı \( 3x+5 \) olur.
• 👉 Adım 3: 5 yıl sonraki yaşları arasındaki ilişkiyi denkleme dökelim.
• 5 yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 2 katı olacağına göre:
• \[ 3x+5 = 2 \times (x+5) \]
• Denklemi çözelim:
• \( 3x+5 = 2x+10 \)
• \( x \)'li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:
• \( 3x - 2x = 10 - 5 \)
• \( x = 5 \)
• 💡 Adım 4: Babanın bugünkü yaşını bulalım.
• Oğlunun bugünkü yaşı \( x=5 \) yıldır.
• Babanın bugünkü yaşı \( 3x \) idi.
• Babanın bugünkü yaşı = \( 3 \times 5 = 15 \) yıldır.

Babanın bugünkü yaşı 15'tir. (Kontrol: Baba 15, Oğul 5. 5 yıl sonra Baba 20, Oğul 10. Baba oğlunun 2 katı olur.) ✅