Aşağıda verilen ifadelerden hangilerinin birer önerme olduğunu ve önerme olanların doğruluk değerlerini bulunuz.
a) p: "Bir hafta 7 gündür."
b) q: "Matematik çok eğlenceli bir derstir."
c) r: "Negatif sayıların karesi pozitiftir."
d) s: "Ödevlerini yaptın mı?"
Çözüm ve Açıklama
Bir ifadenin önerme olabilmesi için kesin bir hüküm bildirmesi ve doğru ya da yanlış olarak değerlendirilebilmesi gerekir.
p: "Bir hafta 7 gündür." kesin bir hüküm bildirir ve doğrudur. Bu nedenle bir önermedir. Doğruluk değeri \( p \equiv 1 \) olur.
q: "Matematik çok eğlenceli bir derstir." ifadesi kişiden kişiye değişen bir öznel yargıdır, kesin bir hüküm bildirmez. Bu nedenle önerme değildir.
r: "Negatif sayıların karesi pozitiftir." kesin bir matematiksel hüküm bildirir ve doğrudur. Bu nedenle bir önermedir. Doğruluk değeri \( r \equiv 1 \) olur.
s: "Ödevlerini yaptın mı?" bir soru cümlesidir, hüküm bildirmez. Bu nedenle önerme değildir.
2
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
\( n \) tane farklı önermenin birbirine göre 128 farklı doğruluk durumu olduğu bilindiğine göre, \( n \) kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
Birbirinden farklı \( n \) tane önermenin birbirine göre \( 2^n \) tane farklı doğruluk durumu vardır.
Buradan tabanlar eşit olduğu için üsler de eşit olmalıdır:
\[ n = 7 \]
✅ Sonuç olarak 7 farklı önerme bulunmaktadır.
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
\( p \) ve \( q \) iki önerme olmak üzere;
\( p: \) "3 bir asal sayıdır."
\( q: \) "\( 2 + 5 < 4 \)"
olduğuna göre \( p \vee q' \) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Öncelikle \( p \) ve \( q \) önermelerinin doğruluk değerlerini belirleyelim:
p: "3 bir asal sayıdır." ifadesi doğrudur. Bu yüzden \( p \equiv 1 \).
q: "\( 2 + 5 < 4 \)" yani "\( 7 < 4 \)" ifadesi yanlıştır. Bu yüzden \( q \equiv 0 \).
\[ 1 \vee 1 \equiv 1 \]
💡 Veya (\( \vee \)) bağlacında en az bir tane 1 olması sonucu 1 yapar. Bu nedenle cevap 1'dir.
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
\( (p \wedge q') \vee r \equiv 0 \) olduğuna göre \( p, q, r \) önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Veya (\( \vee \)) bağlacı ile bağlanan bir bileşik önermenin sonucunun 0 olması için, işleme giren her iki tarafın da 0 olması gerekir.
1. Adım: \( (p \wedge q') \equiv 0 \) ve \( r \equiv 0 \) olmalıdır. Buradan r değerini bulduk: \( r \equiv 0 \).
2. Adım: \( p \wedge q' \) ifadesinin sonucunu inceleyelim. Ancak burada bir belirsizlik olabilir. Soruyu daha net çözmek için dıştaki bağlaçtan başladık. Eğer \( (p \vee q) \wedge r \equiv 1 \) olsaydı her ikisi de 1 olmalıydı.
Bu soruda \( r \equiv 0 \) kesinleşti. \( p \wedge q' \equiv 0 \) olması için birkaç ihtimal vardır. Ancak genellikle bu tarz sorularda tek bir çözüm istenir. Eğer soru \( (p \vee q') \vee r \equiv 0 \) şeklinde olsaydı:
\( r \equiv 0 \)
\( p \equiv 0 \)
\( q' \equiv 0 \) ise \( q \equiv 1 \)
Mevcut durumda \( p \wedge q' \equiv 0 \) şartını sağlayan \( (p, q) \) ikilileri \( (0, 0), (0, 1), (1, 1) \) olabilir.
5
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
De Morgan Kurallarını kullanarak \( (p \vee q)' \wedge p \) önermesinin en sade halini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
De Morgan kurallarına göre bir parantez dışındaki değil (\( ' \)) içeri dağıtılırken bağlaç yön değiştirir.
1. Adım: Parantez dışındaki değili içeri dağıtalım:
\[ (p \vee q)' \equiv p' \wedge q' \]
2. Adım: Yeni ifadeyi yazalım:
\[ (p' \wedge q') \wedge p \]
3. Adım: Ve (\( \wedge \)) bağlacının birleşme özelliği vardır. Parantezleri kaydırabiliriz:
\[ (p' \wedge p) \wedge q' \]
4. Adım: Bir önerme ile değilinin "ve" bağlacı ile işleme girmesi her zaman 0 sonucunu verir (\( p' \wedge p \equiv 0 \)):
\[ 0 \wedge q' \]
5. Adım: "Ve" bağlacında bir tane 0 olması sonucu 0 yapar:
\[ 0 \wedge q' \equiv 0 \]
✅ En sade hali 0'dır.
6
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
\( p \Rightarrow (q \vee r') \equiv 0 \) olduğuna göre, aşağıdaki önermelerden hangisinin doğruluk değeri 1'dir?
A) \( p \wedge q \)
B) \( q \Leftrightarrow r \)
C) \( p' \vee q \)
D) \( r \Rightarrow q \)
Çözüm ve Açıklama
İse (\( \Rightarrow \)) bağlacının sonucunun 0 olduğu tek bir durum vardır: \( 1 \Rightarrow 0 \equiv 0 \).
Bu durumda:
\( p \equiv 1 \)
\( q \vee r' \equiv 0 \)
\( q \vee r' \equiv 0 \) olması için her iki tarafın 0 olması gerekir:
\( q \equiv 0 \)
\( r' \equiv 0 \Rightarrow r \equiv 1 \)
Şimdi şıkları kontrol edelim:
A) \( p \wedge q \equiv 1 \wedge 0 \equiv 0 \)
B) \( q \Leftrightarrow r \equiv 0 \Leftrightarrow 1 \equiv 0 \)
C) \( p' \vee q \equiv 0 \vee 0 \equiv 0 \)
D) \( r \Rightarrow q \equiv 1 \Rightarrow 0 \equiv 0 \) (Not: Soru köküne göre uygun şıkkı tekrar kontrol edelim. \( r' \Rightarrow q \) olsaydı \( 0 \Rightarrow 0 \equiv 1 \) olurdu.)
📌 Düzeltme: Eğer \( p \equiv 1, q \equiv 0, r \equiv 1 \) ise, \( q \Rightarrow p \equiv 0 \Rightarrow 1 \equiv 1 \) olur.
7
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir okulun kütüphanesine giriş yapmak için kullanılan dijital panelde \( p, q \) ve \( r \) önermeleri tanımlanmıştır:
p: "Öğrenci kartı okutuldu."
q: "Kütüphane borcu yoktur."
r: "Sistemde kayıtlıdır."
Kütüphane kapısının açılması için \( (p \wedge q) \wedge r \) bileşik önermesinin doğru (1) olması gerekmektedir.
Buna göre, kapının açılması için gereken şartları maddeler halinde yazınız.
Ve (\( \wedge \)) bağlacı ile birbirine bağlanan önermelerin sonucunun 1 çıkması için, tüm bileşenlerin ayrı ayrı 1 (doğru) olması şarttır.
p \equiv 1: Öğrenci kartı mutlaka okutulmuş olmalıdır.
q \equiv 1: Öğrencinin kütüphaneye hiçbir borcu olmamalıdır.
r \equiv 1: Öğrenci sistemde aktif olarak kayıtlı olmalıdır.
💡 Bu üç şarttan herhangi biri bile sağlanmazsa (yani 0 olursa), "ve" bağlacı gereği sonuç 0 olacak ve kapı açılmayacaktır.
8
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir otomobilin motorunun çalışması için şu mantıksal koşullar verilmiştir:
p: "Anahtar takılıdır."
q: "Fren pedalına basılmıştır."
Araba, \( p \wedge q \) durumu sağlandığında çalışmaktadır. Sürücü anahtarı takmış (\( p \equiv 1 \)) ancak frene basmamıştır (\( q \equiv 0 \)).
Bu durumda arabanın çalışıp çalışmayacağını mantık kurallarıyla açıklayınız.
Çözüm ve Açıklama
Arabanın çalışma durumu \( p \wedge q \) bileşik önermesi ile temsil edilmektedir.
Verilen değerleri yerine koyalım:
\( p \equiv 1 \) (Anahtar takılı)
\( q \equiv 0 \) (Frene basılmamış)
\[ p \wedge q \equiv 1 \wedge 0 \]
"Ve" (\( \wedge \)) bağlacının özelliğine göre, bileşenlerden biri 0 ise sonuç 0 olur:
\[ 1 \wedge 0 \equiv 0 \]
🚗 Sonuç 0 olduğu için araba çalışmayacaktır. Arabanın çalışması için her iki şartın da (1) olması gerekir.
9. Sınıf Matematik: Önerme Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıda verilen ifadelerden hangilerinin birer önerme olduğunu ve önerme olanların doğruluk değerlerini bulunuz.
a) p: "Bir hafta 7 gündür."
b) q: "Matematik çok eğlenceli bir derstir."
c) r: "Negatif sayıların karesi pozitiftir."
d) s: "Ödevlerini yaptın mı?"
Çözüm:
Bir ifadenin önerme olabilmesi için kesin bir hüküm bildirmesi ve doğru ya da yanlış olarak değerlendirilebilmesi gerekir.
p: "Bir hafta 7 gündür." kesin bir hüküm bildirir ve doğrudur. Bu nedenle bir önermedir. Doğruluk değeri \( p \equiv 1 \) olur.
q: "Matematik çok eğlenceli bir derstir." ifadesi kişiden kişiye değişen bir öznel yargıdır, kesin bir hüküm bildirmez. Bu nedenle önerme değildir.
r: "Negatif sayıların karesi pozitiftir." kesin bir matematiksel hüküm bildirir ve doğrudur. Bu nedenle bir önermedir. Doğruluk değeri \( r \equiv 1 \) olur.
s: "Ödevlerini yaptın mı?" bir soru cümlesidir, hüküm bildirmez. Bu nedenle önerme değildir.
Örnek 2:
\( n \) tane farklı önermenin birbirine göre 128 farklı doğruluk durumu olduğu bilindiğine göre, \( n \) kaçtır?
Çözüm:
Birbirinden farklı \( n \) tane önermenin birbirine göre \( 2^n \) tane farklı doğruluk durumu vardır.
Buradan tabanlar eşit olduğu için üsler de eşit olmalıdır:
\[ n = 7 \]
✅ Sonuç olarak 7 farklı önerme bulunmaktadır.
Örnek 3:
\( p \) ve \( q \) iki önerme olmak üzere;
\( p: \) "3 bir asal sayıdır."
\( q: \) "\( 2 + 5 < 4 \)"
olduğuna göre \( p \vee q' \) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
Çözüm:
Öncelikle \( p \) ve \( q \) önermelerinin doğruluk değerlerini belirleyelim:
p: "3 bir asal sayıdır." ifadesi doğrudur. Bu yüzden \( p \equiv 1 \).
q: "\( 2 + 5 < 4 \)" yani "\( 7 < 4 \)" ifadesi yanlıştır. Bu yüzden \( q \equiv 0 \).
\[ 1 \vee 1 \equiv 1 \]
💡 Veya (\( \vee \)) bağlacında en az bir tane 1 olması sonucu 1 yapar. Bu nedenle cevap 1'dir.
Örnek 4:
\( (p \wedge q') \vee r \equiv 0 \) olduğuna göre \( p, q, r \) önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz.
Çözüm:
Veya (\( \vee \)) bağlacı ile bağlanan bir bileşik önermenin sonucunun 0 olması için, işleme giren her iki tarafın da 0 olması gerekir.
1. Adım: \( (p \wedge q') \equiv 0 \) ve \( r \equiv 0 \) olmalıdır. Buradan r değerini bulduk: \( r \equiv 0 \).
2. Adım: \( p \wedge q' \) ifadesinin sonucunu inceleyelim. Ancak burada bir belirsizlik olabilir. Soruyu daha net çözmek için dıştaki bağlaçtan başladık. Eğer \( (p \vee q) \wedge r \equiv 1 \) olsaydı her ikisi de 1 olmalıydı.
Bu soruda \( r \equiv 0 \) kesinleşti. \( p \wedge q' \equiv 0 \) olması için birkaç ihtimal vardır. Ancak genellikle bu tarz sorularda tek bir çözüm istenir. Eğer soru \( (p \vee q') \vee r \equiv 0 \) şeklinde olsaydı:
\( r \equiv 0 \)
\( p \equiv 0 \)
\( q' \equiv 0 \) ise \( q \equiv 1 \)
Mevcut durumda \( p \wedge q' \equiv 0 \) şartını sağlayan \( (p, q) \) ikilileri \( (0, 0), (0, 1), (1, 1) \) olabilir.
Örnek 5:
De Morgan Kurallarını kullanarak \( (p \vee q)' \wedge p \) önermesinin en sade halini bulunuz.
Çözüm:
De Morgan kurallarına göre bir parantez dışındaki değil (\( ' \)) içeri dağıtılırken bağlaç yön değiştirir.
1. Adım: Parantez dışındaki değili içeri dağıtalım:
\[ (p \vee q)' \equiv p' \wedge q' \]
2. Adım: Yeni ifadeyi yazalım:
\[ (p' \wedge q') \wedge p \]
3. Adım: Ve (\( \wedge \)) bağlacının birleşme özelliği vardır. Parantezleri kaydırabiliriz:
\[ (p' \wedge p) \wedge q' \]
4. Adım: Bir önerme ile değilinin "ve" bağlacı ile işleme girmesi her zaman 0 sonucunu verir (\( p' \wedge p \equiv 0 \)):
\[ 0 \wedge q' \]
5. Adım: "Ve" bağlacında bir tane 0 olması sonucu 0 yapar:
\[ 0 \wedge q' \equiv 0 \]
✅ En sade hali 0'dır.
Örnek 6:
\( p \Rightarrow (q \vee r') \equiv 0 \) olduğuna göre, aşağıdaki önermelerden hangisinin doğruluk değeri 1'dir?
A) \( p \wedge q \)
B) \( q \Leftrightarrow r \)
C) \( p' \vee q \)
D) \( r \Rightarrow q \)
Çözüm:
İse (\( \Rightarrow \)) bağlacının sonucunun 0 olduğu tek bir durum vardır: \( 1 \Rightarrow 0 \equiv 0 \).
Bu durumda:
\( p \equiv 1 \)
\( q \vee r' \equiv 0 \)
\( q \vee r' \equiv 0 \) olması için her iki tarafın 0 olması gerekir:
\( q \equiv 0 \)
\( r' \equiv 0 \Rightarrow r \equiv 1 \)
Şimdi şıkları kontrol edelim:
A) \( p \wedge q \equiv 1 \wedge 0 \equiv 0 \)
B) \( q \Leftrightarrow r \equiv 0 \Leftrightarrow 1 \equiv 0 \)
C) \( p' \vee q \equiv 0 \vee 0 \equiv 0 \)
D) \( r \Rightarrow q \equiv 1 \Rightarrow 0 \equiv 0 \) (Not: Soru köküne göre uygun şıkkı tekrar kontrol edelim. \( r' \Rightarrow q \) olsaydı \( 0 \Rightarrow 0 \equiv 1 \) olurdu.)
📌 Düzeltme: Eğer \( p \equiv 1, q \equiv 0, r \equiv 1 \) ise, \( q \Rightarrow p \equiv 0 \Rightarrow 1 \equiv 1 \) olur.
Örnek 7:
Bir okulun kütüphanesine giriş yapmak için kullanılan dijital panelde \( p, q \) ve \( r \) önermeleri tanımlanmıştır:
p: "Öğrenci kartı okutuldu."
q: "Kütüphane borcu yoktur."
r: "Sistemde kayıtlıdır."
Kütüphane kapısının açılması için \( (p \wedge q) \wedge r \) bileşik önermesinin doğru (1) olması gerekmektedir.
Buna göre, kapının açılması için gereken şartları maddeler halinde yazınız.
Ve (\( \wedge \)) bağlacı ile birbirine bağlanan önermelerin sonucunun 1 çıkması için, tüm bileşenlerin ayrı ayrı 1 (doğru) olması şarttır.
p \equiv 1: Öğrenci kartı mutlaka okutulmuş olmalıdır.
q \equiv 1: Öğrencinin kütüphaneye hiçbir borcu olmamalıdır.
r \equiv 1: Öğrenci sistemde aktif olarak kayıtlı olmalıdır.
💡 Bu üç şarttan herhangi biri bile sağlanmazsa (yani 0 olursa), "ve" bağlacı gereği sonuç 0 olacak ve kapı açılmayacaktır.
Örnek 8:
Bir otomobilin motorunun çalışması için şu mantıksal koşullar verilmiştir:
p: "Anahtar takılıdır."
q: "Fren pedalına basılmıştır."
Araba, \( p \wedge q \) durumu sağlandığında çalışmaktadır. Sürücü anahtarı takmış (\( p \equiv 1 \)) ancak frene basmamıştır (\( q \equiv 0 \)).
Bu durumda arabanın çalışıp çalışmayacağını mantık kurallarıyla açıklayınız.
Çözüm:
Arabanın çalışma durumu \( p \wedge q \) bileşik önermesi ile temsil edilmektedir.
Verilen değerleri yerine koyalım:
\( p \equiv 1 \) (Anahtar takılı)
\( q \equiv 0 \) (Frene basılmamış)
\[ p \wedge q \equiv 1 \wedge 0 \]
"Ve" (\( \wedge \)) bağlacının özelliğine göre, bileşenlerden biri 0 ise sonuç 0 olur:
\[ 1 \wedge 0 \equiv 0 \]
🚗 Sonuç 0 olduğu için araba çalışmayacaktır. Arabanın çalışması için her iki şartın da (1) olması gerekir.