💡 9. Sınıf Matematik: Olasılık ve istatistik Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Bir torbada 3 mavi, 5 kırmızı ve 2 yeşil top bulunmaktadır. Torbadan rastgele çekilen bir topun kırmızı olma olasılığı kaçtır? 🔴
Çözüm ve Açıklama
Bu problemi çözmek için olasılığın temel formülünü kullanacağız:
Olasılık = (İstenen Durum Sayısı) / (Tüm Olası Durum Sayısı)
Adım 1: Torbadaki toplam top sayısını bulalım.
Mavi toplar: 3
Kırmızı toplar: 5
Yeşil toplar: 2
Toplam top sayısı = 3 + 5 + 2 = 10
Adım 2: İstenen durumu belirleyelim. Bizim istediğimiz, çekilen topun kırmızı olmasıdır.
Kırmızı top sayısı = 5
Adım 3: Olasılık formülünü uygulayalım.
Kırmızı top çekme olasılığı = (Kırmızı top sayısı) / (Toplam top sayısı)
Kırmızı top çekme olasılığı = 5 / 10
Adım 4: Olasılığı sadeleştirelim.
5 / 10 = 1 / 2
Sonuç olarak, torbadan rastgele çekilen bir topun kırmızı olma olasılığı 1/2'dir. ✅
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir zar havaya atıldığında, üst yüze gelen sayının tek sayı olma olasılığı nedir? 🎲
Çözüm ve Açıklama
Zar atma deneyinde olası tüm sonuçları ve istenen sonuçları inceleyelim.
Adım 1: Bir zar atıldığında gelebilecek tüm olası sonuçları listeleyelim.
Olası sonuçlar: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Tüm olası durum sayısı = 6
Adım 2: İstenen durumu belirleyelim. Bizim istediğimiz, gelen sayının tek sayı olmasıdır.
Tek sayılar: {1, 3, 5}
İstenen durum sayısı = 3
Adım 3: Olasılık formülünü kullanarak sonucu hesaplayalım.
Tek sayı gelme olasılığı = (Tek sayıların sayısı) / (Toplam olası durum sayısı)
Tek sayı gelme olasılığı = 3 / 6
Adım 4: Olasılığı sadeleştirelim.
3 / 6 = 1 / 2
Dolayısıyla, bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının tek sayı olma olasılığı 1/2'dir. 👉
3
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir markette satılan 20 ürün arasından rastgele bir ürün seçildiğinde, bu ürünün meyve olma olasılığını hesaplamak istiyoruz. Eğer bu ürünlerden 8 tanesi meyve ise, seçilen ürünün meyve olma olasılığı nedir? 🍎
Çözüm ve Açıklama
Bu, günlük hayatta karşımıza çıkabilecek bir olasılık problemidir.
Adım 1: Toplam ürün sayısını belirleyelim.
Toplam ürün sayısı = 20
Adım 2: İstenen durumu (meyve olma) belirleyelim.
Meyve olan ürün sayısı = 8
Adım 3: Olasılık formülünü uygulayalım.
Meyve seçme olasılığı = (Meyve olan ürün sayısı) / (Toplam ürün sayısı)
Meyve seçme olasılığı = 8 / 20
Adım 4: Elde ettiğimiz olasılığı sadeleştirelim.
8 / 20 kesrini sadeleştirmek için her iki sayıyı da en büyük ortak bölenleri olan 4'e bölelim.
8 ÷ 4 = 2
20 ÷ 4 = 5
Sadeleşmiş olasılık = 2 / 5
Bu durumda, rastgele seçilen ürünün meyve olma olasılığı 2/5'tir. 🛒
4
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir sınıfta 24 öğrenci bulunmaktadır. Bu öğrencilerden 15'i kız, 9'u erkektir. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin erkek olma olasılığı ile kız olma olasılığının toplamı kaçtır? 🧑🤝🧑
Çözüm ve Açıklama
Bu soru, olasılığın temel özelliklerinden birini vurgulamaktadır.
Adım 1: Erkek öğrenci seçme olasılığını hesaplayalım.
Toplam öğrenci sayısı = 24
Erkek öğrenci sayısı = 9
Erkek öğrenci seçme olasılığı = 9 / 24
Bu olasılığı sadeleştirelim: 9 / 24 = 3 / 8
Adım 2: Kız öğrenci seçme olasılığını hesaplayalım.
Toplam öğrenci sayısı = 24
Kız öğrenci sayısı = 15
Kız öğrenci seçme olasılığı = 15 / 24
Bu olasılığı sadeleştirelim: 15 / 24 = 5 / 8
Adım 3: İki olasılığın toplamını hesaplayalım.
Toplam olasılık = (Erkek öğrenci olasılığı) + (Kız öğrenci olasılığı)
Toplam olasılık = (3 / 8) + (5 / 8)
Toplam olasılık = (3 + 5) / 8
Toplam olasılık = 8 / 8
Toplam olasılık = 1
Sonuç olarak, sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin erkek veya kız olma olasılıklarının toplamı 1'dir. Bu, olası tüm durumların gerçekleşme olasılığının her zaman 1 olduğunu gösterir. 💯
5
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Bir madeni para 3 kez havaya atılıyor. Bu atışlarda en az bir kez yazı gelme olasılığı kaçtır? 🪙
Çözüm ve Açıklama
Bu tür "en az bir" içeren olasılık sorularında, tüm olası durumları saymak yerine, istenmeyen durumu (hiç yazı gelmemesi) hesaplayıp toplam olasılıktan çıkarmak daha kolaydır.
Adım 1: Bir madeni paranın bir atışında kaç olası sonuç olduğunu belirleyelim.
Olası sonuçlar: Yazı (Y) veya Tura (T)
Bir atışta olası durum sayısı = 2
Adım 2: Madeni para 3 kez atıldığında toplam olası durum sayısını hesaplayalım.
Toplam olası durum sayısı = 2 × 2 × 2 = 2³ = 8
Bu 8 durum şunlardır: YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT.
Adım 3: İstenmeyen durumu (hiç yazı gelmemesi) belirleyelim.
Hiç yazı gelmemesi demek, her atışın Tura gelmesi demektir.
Bu durum sadece 1 tanedir: TTT
Adım 4: Hiç yazı gelmeme olasılığını hesaplayalım.
Hiç yazı gelmeme olasılığı = (İstenmeyen durum sayısı) / (Toplam olası durum sayısı)
Hiç yazı gelmeme olasılığı = 1 / 8
Adım 5: En az bir kez yazı gelme olasılığını hesaplayalım.
En az bir kez yazı gelme olasılığı = 1 - (Hiç yazı gelmeme olasılığı)
En az bir kez yazı gelme olasılığı = 1 - (1 / 8)
En az bir kez yazı gelme olasılığı = 8/8 - 1/8
En az bir kez yazı gelme olasılığı = 7 / 8
Dolayısıyla, madeni para 3 kez atıldığında en az bir kez yazı gelme olasılığı 7/8'dir. 💡
6
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir deste 52 kartlık iskambil oyununda, rastgele çekilen bir kartın As olma olasılığı kaçtır? 🃏
Çözüm ve Açıklama
İskambil kartları ile ilgili olasılık soruları oldukça yaygındır.
Adım 1: Destedeki toplam kart sayısını belirleyelim.
Toplam kart sayısı = 52
Adım 2: Destedeki As kartlarının sayısını belirleyelim.
Bir destede 4 farklı türde As kartı bulunur (Maça Ası, Kupa Ası, Karo Ası, Sinek Ası).
As kartı sayısı = 4
Adım 3: Olasılık formülünü uygulayarak sonucu hesaplayalım.
As çekme olasılığı = (As kartı sayısı) / (Toplam kart sayısı)
As çekme olasılığı = 4 / 52
Adım 4: Elde edilen olasılığı sadeleştirelim.
4 / 52 kesrini sadeleştirmek için her iki sayıyı da en büyük ortak bölenleri olan 4'e bölelim.
4 ÷ 4 = 1
52 ÷ 4 = 13
Sadeleşmiş olasılık = 1 / 13
Bu durumda, desteden rastgele çekilen bir kartın As olma olasılığı 1/13'tür. ♠️♥️♦️♣️
7
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir hedef tahtasına atılan 10 atışın 7'si isabetli olmuştur. Bu atıcının bir sonraki atışının isabetli olma olasılığı, geçmiş verilere göre nasıl tahmin edilir? 🎯
Çözüm ve Açıklama
Bu tür durumlarda, geçmiş deneyimlere dayalı olasılık (ampirik olasılık) kullanılır.
Geçmiş verilere göre, atıcının bir sonraki atışının isabetli olma olasılığı 7/10 olarak tahmin edilir. Bu, atıcının %70'lik bir isabet oranına sahip olduğunu gösterir. 📈
8
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Bir sınıfta 30 öğrenci vardır. Bu öğrencilerden 12'si gözlüklü, 18'i gözlüksüzdür. Rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olma olasılığı nedir? 👓
Çözüm ve Açıklama
Bu basit olasılık sorusunu adım adım çözelim.
Adım 1: Sınıftaki toplam öğrenci sayısını not edelim.
Toplam öğrenci sayısı = 30
Adım 2: İstenen durumu (gözlüklü öğrenci olma) belirleyelim.
Gözlüklü öğrenci sayısı = 12
Adım 3: Olasılık formülünü kullanarak sonucu hesaplayalım.
Gözlüklü öğrenci seçme olasılığı = (Gözlüklü öğrenci sayısı) / (Toplam öğrenci sayısı)
Gözlüklü öğrenci seçme olasılığı = 12 / 30
Adım 4: Elde ettiğimiz olasılığı sadeleştirelim.
12 / 30 kesrini sadeleştirmek için her iki sayıyı da en büyük ortak bölenleri olan 6'ya bölelim.
12 ÷ 6 = 2
30 ÷ 6 = 5
Sadeleşmiş olasılık = 2 / 5
Sonuç olarak, rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olma olasılığı 2/5'tir. 👍
9. Sınıf Matematik: Olasılık ve istatistik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir torbada 3 mavi, 5 kırmızı ve 2 yeşil top bulunmaktadır. Torbadan rastgele çekilen bir topun kırmızı olma olasılığı kaçtır? 🔴
Çözüm:
Bu problemi çözmek için olasılığın temel formülünü kullanacağız:
Olasılık = (İstenen Durum Sayısı) / (Tüm Olası Durum Sayısı)
Adım 1: Torbadaki toplam top sayısını bulalım.
Mavi toplar: 3
Kırmızı toplar: 5
Yeşil toplar: 2
Toplam top sayısı = 3 + 5 + 2 = 10
Adım 2: İstenen durumu belirleyelim. Bizim istediğimiz, çekilen topun kırmızı olmasıdır.
Kırmızı top sayısı = 5
Adım 3: Olasılık formülünü uygulayalım.
Kırmızı top çekme olasılığı = (Kırmızı top sayısı) / (Toplam top sayısı)
Kırmızı top çekme olasılığı = 5 / 10
Adım 4: Olasılığı sadeleştirelim.
5 / 10 = 1 / 2
Sonuç olarak, torbadan rastgele çekilen bir topun kırmızı olma olasılığı 1/2'dir. ✅
Örnek 2:
Bir zar havaya atıldığında, üst yüze gelen sayının tek sayı olma olasılığı nedir? 🎲
Çözüm:
Zar atma deneyinde olası tüm sonuçları ve istenen sonuçları inceleyelim.
Adım 1: Bir zar atıldığında gelebilecek tüm olası sonuçları listeleyelim.
Olası sonuçlar: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Tüm olası durum sayısı = 6
Adım 2: İstenen durumu belirleyelim. Bizim istediğimiz, gelen sayının tek sayı olmasıdır.
Tek sayılar: {1, 3, 5}
İstenen durum sayısı = 3
Adım 3: Olasılık formülünü kullanarak sonucu hesaplayalım.
Tek sayı gelme olasılığı = (Tek sayıların sayısı) / (Toplam olası durum sayısı)
Tek sayı gelme olasılığı = 3 / 6
Adım 4: Olasılığı sadeleştirelim.
3 / 6 = 1 / 2
Dolayısıyla, bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının tek sayı olma olasılığı 1/2'dir. 👉
Örnek 3:
Bir markette satılan 20 ürün arasından rastgele bir ürün seçildiğinde, bu ürünün meyve olma olasılığını hesaplamak istiyoruz. Eğer bu ürünlerden 8 tanesi meyve ise, seçilen ürünün meyve olma olasılığı nedir? 🍎
Çözüm:
Bu, günlük hayatta karşımıza çıkabilecek bir olasılık problemidir.
Adım 1: Toplam ürün sayısını belirleyelim.
Toplam ürün sayısı = 20
Adım 2: İstenen durumu (meyve olma) belirleyelim.
Meyve olan ürün sayısı = 8
Adım 3: Olasılık formülünü uygulayalım.
Meyve seçme olasılığı = (Meyve olan ürün sayısı) / (Toplam ürün sayısı)
Meyve seçme olasılığı = 8 / 20
Adım 4: Elde ettiğimiz olasılığı sadeleştirelim.
8 / 20 kesrini sadeleştirmek için her iki sayıyı da en büyük ortak bölenleri olan 4'e bölelim.
8 ÷ 4 = 2
20 ÷ 4 = 5
Sadeleşmiş olasılık = 2 / 5
Bu durumda, rastgele seçilen ürünün meyve olma olasılığı 2/5'tir. 🛒
Örnek 4:
Bir sınıfta 24 öğrenci bulunmaktadır. Bu öğrencilerden 15'i kız, 9'u erkektir. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin erkek olma olasılığı ile kız olma olasılığının toplamı kaçtır? 🧑🤝🧑
Çözüm:
Bu soru, olasılığın temel özelliklerinden birini vurgulamaktadır.
Adım 1: Erkek öğrenci seçme olasılığını hesaplayalım.
Toplam öğrenci sayısı = 24
Erkek öğrenci sayısı = 9
Erkek öğrenci seçme olasılığı = 9 / 24
Bu olasılığı sadeleştirelim: 9 / 24 = 3 / 8
Adım 2: Kız öğrenci seçme olasılığını hesaplayalım.
Toplam öğrenci sayısı = 24
Kız öğrenci sayısı = 15
Kız öğrenci seçme olasılığı = 15 / 24
Bu olasılığı sadeleştirelim: 15 / 24 = 5 / 8
Adım 3: İki olasılığın toplamını hesaplayalım.
Toplam olasılık = (Erkek öğrenci olasılığı) + (Kız öğrenci olasılığı)
Toplam olasılık = (3 / 8) + (5 / 8)
Toplam olasılık = (3 + 5) / 8
Toplam olasılık = 8 / 8
Toplam olasılık = 1
Sonuç olarak, sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin erkek veya kız olma olasılıklarının toplamı 1'dir. Bu, olası tüm durumların gerçekleşme olasılığının her zaman 1 olduğunu gösterir. 💯
Örnek 5:
Bir madeni para 3 kez havaya atılıyor. Bu atışlarda en az bir kez yazı gelme olasılığı kaçtır? 🪙
Çözüm:
Bu tür "en az bir" içeren olasılık sorularında, tüm olası durumları saymak yerine, istenmeyen durumu (hiç yazı gelmemesi) hesaplayıp toplam olasılıktan çıkarmak daha kolaydır.
Adım 1: Bir madeni paranın bir atışında kaç olası sonuç olduğunu belirleyelim.
Olası sonuçlar: Yazı (Y) veya Tura (T)
Bir atışta olası durum sayısı = 2
Adım 2: Madeni para 3 kez atıldığında toplam olası durum sayısını hesaplayalım.
Toplam olası durum sayısı = 2 × 2 × 2 = 2³ = 8
Bu 8 durum şunlardır: YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT.
Adım 3: İstenmeyen durumu (hiç yazı gelmemesi) belirleyelim.
Hiç yazı gelmemesi demek, her atışın Tura gelmesi demektir.
Bu durum sadece 1 tanedir: TTT
Adım 4: Hiç yazı gelmeme olasılığını hesaplayalım.
Hiç yazı gelmeme olasılığı = (İstenmeyen durum sayısı) / (Toplam olası durum sayısı)
Hiç yazı gelmeme olasılığı = 1 / 8
Adım 5: En az bir kez yazı gelme olasılığını hesaplayalım.
En az bir kez yazı gelme olasılığı = 1 - (Hiç yazı gelmeme olasılığı)
En az bir kez yazı gelme olasılığı = 1 - (1 / 8)
En az bir kez yazı gelme olasılığı = 8/8 - 1/8
En az bir kez yazı gelme olasılığı = 7 / 8
Dolayısıyla, madeni para 3 kez atıldığında en az bir kez yazı gelme olasılığı 7/8'dir. 💡
Örnek 6:
Bir deste 52 kartlık iskambil oyununda, rastgele çekilen bir kartın As olma olasılığı kaçtır? 🃏
Çözüm:
İskambil kartları ile ilgili olasılık soruları oldukça yaygındır.
Adım 1: Destedeki toplam kart sayısını belirleyelim.
Toplam kart sayısı = 52
Adım 2: Destedeki As kartlarının sayısını belirleyelim.
Bir destede 4 farklı türde As kartı bulunur (Maça Ası, Kupa Ası, Karo Ası, Sinek Ası).
As kartı sayısı = 4
Adım 3: Olasılık formülünü uygulayarak sonucu hesaplayalım.
As çekme olasılığı = (As kartı sayısı) / (Toplam kart sayısı)
As çekme olasılığı = 4 / 52
Adım 4: Elde edilen olasılığı sadeleştirelim.
4 / 52 kesrini sadeleştirmek için her iki sayıyı da en büyük ortak bölenleri olan 4'e bölelim.
4 ÷ 4 = 1
52 ÷ 4 = 13
Sadeleşmiş olasılık = 1 / 13
Bu durumda, desteden rastgele çekilen bir kartın As olma olasılığı 1/13'tür. ♠️♥️♦️♣️
Örnek 7:
Bir hedef tahtasına atılan 10 atışın 7'si isabetli olmuştur. Bu atıcının bir sonraki atışının isabetli olma olasılığı, geçmiş verilere göre nasıl tahmin edilir? 🎯
Çözüm:
Bu tür durumlarda, geçmiş deneyimlere dayalı olasılık (ampirik olasılık) kullanılır.
Geçmiş verilere göre, atıcının bir sonraki atışının isabetli olma olasılığı 7/10 olarak tahmin edilir. Bu, atıcının %70'lik bir isabet oranına sahip olduğunu gösterir. 📈
Örnek 8:
Bir sınıfta 30 öğrenci vardır. Bu öğrencilerden 12'si gözlüklü, 18'i gözlüksüzdür. Rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olma olasılığı nedir? 👓
Çözüm:
Bu basit olasılık sorusunu adım adım çözelim.
Adım 1: Sınıftaki toplam öğrenci sayısını not edelim.
Toplam öğrenci sayısı = 30
Adım 2: İstenen durumu (gözlüklü öğrenci olma) belirleyelim.
Gözlüklü öğrenci sayısı = 12
Adım 3: Olasılık formülünü kullanarak sonucu hesaplayalım.
Gözlüklü öğrenci seçme olasılığı = (Gözlüklü öğrenci sayısı) / (Toplam öğrenci sayısı)
Gözlüklü öğrenci seçme olasılığı = 12 / 30
Adım 4: Elde ettiğimiz olasılığı sadeleştirelim.
12 / 30 kesrini sadeleştirmek için her iki sayıyı da en büyük ortak bölenleri olan 6'ya bölelim.
12 ÷ 6 = 2
30 ÷ 6 = 5
Sadeleşmiş olasılık = 2 / 5
Sonuç olarak, rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olma olasılığı 2/5'tir. 👍