💡 9. Sınıf Matematik: Öklit teoremi Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için Pisagor teoremini kullanabiliriz, çünkü Öklit teoreminin temeli dik üçgenlerdir.

• Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarları, \( c \) ise hipotenüstür.
• Verilenler: Dik kenarlar \( a = 6 \) birim ve \( b = 8 \) birim.
• İstenen: Hipotenüs \( c \).
• Hesaplama:
• \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
• \( 36 + 64 = c^2 \)
• \( 100 = c^2 \)
• \( c = \sqrt{100} \)
• \( c = 10 \) birim

Hipotenüs uzunluğu 10 birimdir. ✅

Yine Pisagor teoremini kullanarak hipotenüs uzunluğunu hesaplayacağız.

• Verilenler: Dik kenarlar \( a = \sqrt{20} \) cm ve \( b = \sqrt{45} \) cm.
• İstenen: Hipotenüs \( c \).
• Hesaplama:
• \( a^2 = (\sqrt{20})^2 = 20 \)
• \( b^2 = (\sqrt{45})^2 = 45 \)
• \( c^2 = a^2 + b^2 = 20 + 45 \)
• \( c^2 = 65 \)
• \( c = \sqrt{65} \) cm

Hipotenüs uzunluğu \( \sqrt{65} \) cm'dir. 👉

Bu soruda Pisagor teoreminin farklı bir uygulamasını göreceğiz.

• Verilenler: Hipotenüs \( c = 13 \) birim, bir dik kenar \( a = 5 \) birim.
• İstenen: Diğer dik kenar \( b \).
• Hesaplama:
• \( a^2 + b^2 = c^2 \)
• \( 5^2 + b^2 = 13^2 \)
• \( 25 + b^2 = 169 \)
• \( b^2 = 169 - 25 \)
• \( b^2 = 144 \)
• \( b = \sqrt{144} \)
• \( b = 12 \) birim

Diğer dik kenarın uzunluğu 12 birimdir. 👍

Bu soruda bilinmeyen bir kenar uzunluğu üzerinden ilerleyerek Öklit teoreminin temelini oluşturan Pisagor teoremini uygulayacağız.

• Verilenler: Dik kenarlar \( a = x \) cm, \( b = 2x \) cm; hipotenüs \( c = 10 \) cm.
• İstenen: \( x \) değeri.
• Hesaplama:
• \( a^2 + b^2 = c^2 \)
• \( x^2 + (2x)^2 = 10^2 \)
• \( x^2 + 4x^2 = 100 \)
• \( 5x^2 = 100 \)
• \( x^2 = \frac{100}{5} \)
• \( x^2 = 20 \)
• \( x = \sqrt{20} \) cm
• \( x = 2\sqrt{5} \) cm

\( x \) değeri \( 2\sqrt{5} \) cm'dir. 💯

Bu soru, Öklit teoreminin en bilinen formüllerinden birini doğrudan kullanır: Dik üçgende yüksekliğin karesi, kenarortayların ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.

• Öklit Teoremi (Yükseklik Bağıntısı): Bir dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklik, hipotenüsü iki parçaya ayırır. Bu yükseklik, bu iki parçanın geometrik ortalamasıdır. Formülü: \( h^2 = p \cdot q \), burada \( h \) yükseklik, \( p \) ve \( q \) ise hipotenüs üzerindeki parçalardır.
• Verilenler: \( AD = p = 4 \) cm, \( DC = q = 9 \) cm.
• İstenen: Yükseklik \( BD = h \).
• Hesaplama:
• \( h^2 = p \cdot q \)
• \( BD^2 = AD \cdot DC \)
• \( BD^2 = 4 \cdot 9 \)
• \( BD^2 = 36 \)
• \( BD = \sqrt{36} \)
• \( BD = 6 \) cm

BD yüksekliğinin uzunluğu 6 cm'dir. ✨

Bu soruda Öklit teoreminin iki farklı bağıntısını kullanacağız: Yükseklik bağıntısı ve dik kenar bağıntısı.

• Verilenler: Dik kenar \( AB = 6 \) birim, hipotenüs parçası \( AD = 3 \) birim.
• İstenen: Hipotenüs parçası \( DC \) ve yükseklik \( BD \).
• Adım 1: DC'yi Bulma (Dik Kenar Bağıntısı)
• Öklit Teoremi (Dik Kenar Bağıntısı): Bir dik kenarın karesi, hipotenüsün tamamı ile o dik kenara ait olan hipotenüs parçasının çarpımına eşittir. Formülü: \( a^2 = c \cdot p \), burada \( a \) dik kenar, \( c \) hipotenüs, \( p \) ise o dik kenara ait hipotenüs parçasıdır.
• Burada \( AB \) dik kenarı ve \( AD \) bu kenara ait hipotenüs parçasıdır. Hipotenüs \( AC = AD + DC \) olacaktır.
• \( AB^2 = AC \cdot AD \)
• \( 6^2 = (3 + DC) \cdot 3 \)
• \( 36 = 3(3 + DC) \)
• \( 12 = 3 + DC \)
• \( DC = 12 - 3 \)
• \( DC = 9 \) birim
• Adım 2: BD'yi Bulma (Yükseklik Bağıntısı)
• Şimdi \( AD = 3 \) cm ve \( DC = 9 \) cm olduğunu biliyoruz.
• \( BD^2 = AD \cdot DC \)
• \( BD^2 = 3 \cdot 9 \)
• \( BD^2 = 27 \)
• \( BD = \sqrt{27} \)
• \( BD = 3\sqrt{3} \) cm

Hipotenüs üzerindeki diğer parça (DC) 9 birim ve yükseklik (BD) \( 3\sqrt{3} \) cm'dir. 🚀

Bu problem, Öklit teoreminin yükseklik ve dik kenar bağıntılarını bir arada kullanmayı gerektirir.

• Adım 1: Diğer Hipotenüs Parçasını Bulma
• Öklit Teoremi (Yükseklik Bağıntısı): \( h^2 = p \cdot q \)
• Verilenler: Yükseklik \( h = 12 \) m, bir hipotenüs parçası \( p = 4 \) m.
• \( 12^2 = 4 \cdot q \)
• \( 144 = 4q \)
• \( q = \frac{144}{4} \)
• \( q = 36 \) metre
• Adım 2: Hipotenüs Uzunluğunu Bulma
• Hipotenüs \( c = p + q \)
• \( c = 4 + 36 \)
• \( c = 40 \) metre
• Adım 3: Dik Kenarları Bulma
• Öklit Teoremi (Dik Kenar Bağıntısı): \( a^2 = c \cdot p \) ve \( b^2 = c \cdot q \)
• Birinci dik kenar \( a \):
• \( a^2 = 40 \cdot 4 \)
• \( a^2 = 160 \)
• \( a = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10} \) metre
• İkinci dik kenar \( b \):
• \( b^2 = 40 \cdot 36 \)
• \( b^2 = 1440 \)
• \( b = \sqrt{1440} = \sqrt{144 \cdot 10} = 12\sqrt{10} \) metre
• Adım 4: Çevreyi Hesaplama
• Çevre = Dik Kenar 1 + Dik Kenar 2 + Hipotenüs
• Çevre = \( 4\sqrt{10} + 12\sqrt{10} + 40 \)
• Çevre = \( 16\sqrt{10} + 40 \) metre

Dik kenar uzunlukları \( 4\sqrt{10} \) m ve \( 12\sqrt{10} \) m'dir. Temelin çevresi \( 16\sqrt{10} + 40 \) metredir. 🛠️

Bu problem, günlük hayatta karşılaşılabilecek bir durumu Pisagor teoremi ile modellemeyi gösterir.

• Verilenler: Hipotenüs \( c = 15 \) m, dik kenarlar \( x \) ve \( y \).
• Ek Bilgi: Kenarlardan biri diğerinden 7 metre uzun. Diyelim ki \( y = x + 7 \).
• Adım 1: Pisagor Teoremini Kullanma
• \( x^2 + y^2 = c^2 \)
• \( x^2 + (x+7)^2 = 15^2 \)
• \( x^2 + (x^2 + 14x + 49) = 225 \)
• \( 2x^2 + 14x + 49 = 225 \)
• \( 2x^2 + 14x + 49 - 225 = 0 \)
• \( 2x^2 + 14x - 176 = 0 \)
• Denklemi sadeleştirmek için her tarafı 2'ye bölelim:
• \( x^2 + 7x - 88 = 0 \)
• Adım 2: İkinci Dereceden Denklemi Çözme
• Bu denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz. Çarpımları -88, toplamları +7 olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar +11 ve -8'dir.
• \( (x + 11)(x - 8) = 0 \)
• Buradan iki olası \( x \) değeri elde ederiz: \( x = -11 \) veya \( x = 8 \).
• Uzunluk negatif olamayacağı için \( x = 8 \) metre olmalıdır.
• Adım 3: Diğer Dik Kenarı Bulma
• \( y = x + 7 \)
• \( y = 8 + 7 \)
• \( y = 15 \) metre

İpin duvardaki iki ayağının uzunlukları 8 metre ve 15 metredir. Bu durumda hipotenüs 15 metre olamaz, çünkü dik kenarlardan biri hipotenüse eşit olamaz. Soruda bir hata var gibi görünüyor. 😅 Düzeltme ile Soru: Bir bahçe duvarının köşesi dik açılıdır. Bu köşeden, duvarın en uzun kenarına (hipotenüs) bir ip geriliyor. İpin uzunluğu 17 metre ve ipin duvardaki iki ayağının (dik kenarların) uzunlukları \( x \) metre ve \( y \) metredir. Eğer ipin duvardaki ayağının biri diğerinden 7 metre daha uzunsa, ipin duvardaki iki ayağının uzunluklarını bulunuz. 🌳 Düzeltilmiş Çözüm:

• Verilenler: Hipotenüs \( c = 17 \) m, dik kenarlar \( x \) ve \( y \).
• Ek Bilgi: Kenarlardan biri diğerinden 7 metre uzun. Diyelim ki \( y = x + 7 \).
• Adım 1: Pisagor Teoremini Kullanma
• \( x^2 + y^2 = c^2 \)
• \( x^2 + (x+7)^2 = 17^2 \)
• \( x^2 + (x^2 + 14x + 49) = 289 \)
• \( 2x^2 + 14x + 49 = 289 \)
• \( 2x^2 + 14x + 49 - 289 = 0 \)
• \( 2x^2 + 14x - 240 = 0 \)
• Denklemi sadeleştirmek için her tarafı 2'ye bölelim:
• \( x^2 + 7x - 120 = 0 \)
• Adım 2: İkinci Dereceden Denklemi Çözme
• Çarpımları -120, toplamları +7 olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar +15 ve -8'dir.
• \( (x + 15)(x - 8) = 0 \)
• Buradan iki olası \( x \) değeri elde ederiz: \( x = -15 \) veya \( x = 8 \).
• Uzunluk negatif olamayacağı için \( x = 8 \) metre olmalıdır.
• Adım 3: Diğer Dik Kenarı Bulma
• \( y = x + 7 \)
• \( y = 8 + 7 \)
• \( y = 15 \) metre

İpin duvardaki iki ayağının uzunlukları 8 metre ve 15 metredir. ✅

Bu soruda hem Pisagor teoremini hem de Öklit teoreminin bağıntılarını kullanacağız.

• Adım 1: Hipotenüs AC'yi Bulma
• Pisagor Teoremi: \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \)
• \( 5^2 + 12^2 = AC^2 \)
• \( 25 + 144 = AC^2 \)
• \( AC^2 = 169 \)
• \( AC = \sqrt{169} = 13 \) birim
• Adım 2: AD ve DC'yi Bulma (Dik Kenar Bağıntıları)
• Öklit Teoremi (Dik Kenar Bağıntısı): \( AB^2 = AC \cdot AD \) ve \( BC^2 = AC \cdot DC \)
• \( AD \) uzunluğunu bulalım:
• \( 5^2 = 13 \cdot AD \)
• \( 25 = 13 \cdot AD \)
• \( AD = \frac{25}{13} \) birim
• \( DC \) uzunluğunu bulalım:
• \( 12^2 = 13 \cdot DC \)
• \( 144 = 13 \cdot DC \)
• \( DC = \frac{144}{13} \) birim
• Kontrol: \( AD + DC = \frac{25}{13} + \frac{144}{13} = \frac{169}{13} = 13 \). Bu, hipotenüs uzunluğumuza eşittir.
• Adım 3: BD'yi Bulma (Yükseklik Bağıntısı)
• Öklit Teoremi (Yükseklik Bağıntısı): \( BD^2 = AD \cdot DC \)
• \( BD^2 = \frac{25}{13} \cdot \frac{144}{13} \)
• \( BD^2 = \frac{25 \cdot 144}{13 \cdot 13} \)
• \( BD^2 = \frac{3600}{169} \)
• \( BD = \sqrt{\frac{3600}{169}} = \frac{\sqrt{3600}}{\sqrt{169}} = \frac{60}{13} \) birim

AD uzunluğu \( \frac{25}{13} \) birim, DC uzunluğu \( \frac{144}{13} \) birim ve BD yüksekliği \( \frac{60}{13} \) birimdir. 🎯

Bu problem, Öklit teoreminin dik kenar ve yükseklik bağıntılarını kullanarak mesafeleri hesaplama becerisini ölçer.

• Adım 1: AC Dik Kenarını Bulma
• Öklit Teoremi (Dik Kenar Bağıntısı): \( AC^2 = CD \cdot CB \)
• Öncelikle \( CB \) uzunluğunu bulmalıyız: \( CB = CD + DB = 9 + 3 = 12 \) km.
• \( AC^2 = 9 \cdot 12 \)
• \( AC^2 = 108 \)
• \( AC = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3} \) km
• Adım 2: AD Yüksekliğini Bulma
• Öklit Teoremi (Yükseklik Bağıntısı): \( AD^2 = CD \cdot DB \)
• \( AD^2 = 9 \cdot 3 \)
• \( AD^2 = 27 \)
• \( AD = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \) km
• Adım 3: AB Hipotenüsünü Bulma
• Artık \( AD = 3\sqrt{3} \) km ve \( DB = 3 \) km olduğunu biliyoruz. ABD üçgeni de bir dik üçgendir.
• Pisagor Teoremi: \( AB^2 = AD^2 + DB^2 \)
• \( AB^2 = (3\sqrt{3})^2 + 3^2 \)
• \( AB^2 = 27 + 9 \)
• \( AB^2 = 36 \)
• \( AB = \sqrt{36} = 6 \) km
• Alternatif Yöntem (AB'yi bulmak için Dik Kenar Bağıntısı):
• \( AB^2 = CB \cdot DB \)
• \( AB^2 = 12 \cdot 3 \)
• \( AB^2 = 36 \)
• \( AB = \sqrt{36} = 6 \) km

AD (dikme) uzunluğu \( 3\sqrt{3} \) km ve A ile B şehirleri arasındaki mesafe (AB) 6 km'dir. 📍