🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Öklit Bağıntıları Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Öklit Bağıntıları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende, dik kenarların uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu soruyu Pisagor teoremini kullanarak çözebiliriz.
- Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Formülü \( a^2 + b^2 = c^2 \) şeklindedir.
- Verilenler: Dik kenarlar \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm.
- Uygulama: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- Hesaplama: \( 36 + 64 = c^2 \)
- Sonuç: \( 100 = c^2 \Rightarrow c = \sqrt{100} = 10 \) cm.
Örnek 2:
Dik kenarları 5 birim ve 12 birim olan bir dik üçgenin yüksekliği, hipotenüse ait olarak çizildiğinde kaç birim olur? 🤔
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için önce hipotenüsü bulmalı, sonra alan formülünü kullanmalıyız.
- 1. Adım: Hipotenüsü Bulma
Pisagor teoremini kullanarak hipotenüsü bulalım: \( 5^2 + 12^2 = c^2 \Rightarrow 25 + 144 = c^2 \Rightarrow 169 = c^2 \Rightarrow c = 13 \) birim. - 2. Adım: Alanı Hesaplama
Dik üçgenin alanı, dik kenarlar çarpımının yarısıdır: Alan = \( \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30 \) birim kare. - 3. Adım: Yüksekliği Bulma
Aynı alan, hipotenüs ile hipotenüse ait yüksekliğin çarpımının yarısına da eşittir. Alan = \( \frac{1}{2} \times c \times h_c \). - 4. Adım: Yüksekliği Hesaplama
\( 30 = \frac{1}{2} \times 13 \times h_c \Rightarrow 60 = 13 \times h_c \Rightarrow h_c = \frac{60}{13} \) birim.
Örnek 3:
Bir dik üçgende, dik kenarlar \(a\) ve \(b\), hipotenüs \(c\) ve hipotenüse ait yükseklik \(h\) olsun. Eğer \(a = 9\) birim ve \(b = 12\) birim ise, \(h\) kaç birimdir? 📏
Çözüm:
Bu problemde Öklit bağıntılarından alan ile ilgili olanı kullanacağız.
- 1. Adım: Hipotenüsü Hesaplama
Pisagor teoremi ile hipotenüsü bulalım: \( c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow c^2 = 9^2 + 12^2 \Rightarrow c^2 = 81 + 144 \Rightarrow c^2 = 225 \Rightarrow c = 15 \) birim. - 2. Adım: Alanı Dik Kenarlar Cinsinden Hesaplama
Alan = \( \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54 \) birim kare. - 3. Adım: Alanı Hipotenüs ve Yükseklik Cinsinden Hesaplama
Alan = \( \frac{1}{2} \times c \times h \). - 4. Adım: Yüksekliği Bulma
\( 54 = \frac{1}{2} \times 15 \times h \Rightarrow 108 = 15 \times h \Rightarrow h = \frac{108}{15} = \frac{36}{5} \) birim.
Örnek 4:
Bir dik üçgende, hipotenüse ait yükseklik \(h\), hipotenüsü \(p\) ve \(q\) olmak üzere iki parçaya ayırmaktadır. Eğer \(p = 4\) birim ve \(q = 9\) birim ise, dik kenarların uzunlukları toplamı kaç birim olur? ➕
Çözüm:
Bu soruda Öklit'in yükseklik bağıntısını ve dik kenar bağıntısını kullanacağız.
- 1. Adım: Yüksekliği Hesaplama
Öklit'in yükseklik bağıntısına göre: \( h^2 = p \times q \Rightarrow h^2 = 4 \times 9 \Rightarrow h^2 = 36 \Rightarrow h = 6 \) birim. - 2. Adım: Dik Kenarları Hesaplama
Öklit'in dik kenar bağıntılarına göre:- \( a^2 = p \times c \). Hipotenüs \( c = p + q = 4 + 9 = 13 \) birim.
- \( a^2 = 4 \times 13 = 52 \Rightarrow a = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \) birim.
- \( b^2 = q \times c \)
- \( b^2 = 9 \times 13 = 117 \Rightarrow b = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} \) birim.
- 3. Adım: Dik Kenarların Toplamını Hesaplama
Dik kenarların toplamı = \( a + b = 2\sqrt{13} + 3\sqrt{13} = 5\sqrt{13} \) birim.
Örnek 5:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın temelini tasarlarken dik üçgen şeklinde bir alan kullanacaktır. Bu alanın dik kenarlarından biri 9 metre, diğeri ise 12 metredir. Mühendis, bu alanın tam ortasına, dik açının olduğu köşeden başlayarak karşı kenara dik bir yol yapmayı planlamaktadır. Bu yolun uzunluğu kaç metre olacaktır? 🏗️
Çözüm:
Bu problem, dik üçgenlerde hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğunu bulma becerisini ölçmektedir.
- 1. Adım: Hipotenüsü Bulma
Pisagor teoremi ile hipotenüs uzunluğunu bulalım: \( c^2 = 9^2 + 12^2 \Rightarrow c^2 = 81 + 144 \Rightarrow c^2 = 225 \Rightarrow c = 15 \) metre. - 2. Adım: Üçgenin Alanını Hesaplama
Dik kenarlar kullanılarak alan: Alan = \( \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54 \) metrekare. - 3. Adım: Hipotenüse Ait Yüksekliği (Yolun Uzunluğunu) Hesaplama
Alan aynı zamanda \( \frac{1}{2} \times \text{hipotenüs} \times \text{yükseklik} \) formülüyle de bulunur. - 4. Adım: Yüksekliği Bulma
\( 54 = \frac{1}{2} \times 15 \times h \Rightarrow 108 = 15 \times h \Rightarrow h = \frac{108}{15} = \frac{36}{5} = 7.2 \) metre.
Örnek 6:
Bir televizyon ekranının boyutu, köşeden köşeye olan mesafesiyle ölçülür. Bir televizyonun ekranı 16:9 oranında ve 32 inç boyutundadır. Bu televizyonun ekranının genişliği ve yüksekliği kaç inçtir? 📺
Çözüm:
Bu soru, dik üçgenlerde Pisagor teoreminin günlük hayattaki bir uygulamasıdır. Ekran oranları, dik kenarlar arasındaki ilişkiyi verir.
- 1. Adım: Ekran Oranını Anlama
16:9 oranı, ekranın genişliğinin 16 birim ve yüksekliğinin 9 birim olduğunu ifade eder. Yani, genişlik \( 16x \) ve yükseklik \( 9x \) olarak alınabilir. - 2. Adım: Pisagor Teoremini Uygulama
Ekranın köşegen uzunluğu (32 inç), dik kenarlar \( 16x \) ve \( 9x \) olan bir dik üçgenin hipotenüsüdür. Pisagor teoremi: \( (16x)^2 + (9x)^2 = 32^2 \) - 3. Adım: Denklemi Çözme
\( 256x^2 + 81x^2 = 1024 \) - 4. Adım: \( x \) Değerini Bulma
\( 337x^2 = 1024 \Rightarrow x^2 = \frac{1024}{337} \Rightarrow x = \sqrt{\frac{1024}{337}} \approx \sqrt{3.038} \approx 1.74 \) - 5. Adım: Genişlik ve Yüksekliği Hesaplama
Genişlik = \( 16x \approx 16 \times 1.74 \approx 27.84 \) inç.
Yükseklik = \( 9x \approx 9 \times 1.74 \approx 15.66 \) inç.
Örnek 7:
Bir dik üçgende, dik kenarlar \(a\) ve \(b\), hipotenüs \(c\) ve hipotenüse ait yükseklik \(h\) olsun. Eğer \(a \cdot b = 60\) birim kare ve \(c = 13\) birim ise, \(h\) kaç birimdir? ❓
Çözüm:
Bu soruda, dik üçgenin alanını iki farklı şekilde ifade ederek \(h\) değerini bulacağız.
- 1. Adım: Alanı Dik Kenarlar Cinsinden Hesaplama
Dik üçgenin alanı \( A = \frac{1}{2} \times a \times b \) formülüyle verilir. Bize \( a \cdot b = 60 \) verildiği için, alan \( A = \frac{1}{2} \times 60 = 30 \) birim kare olur. - 2. Adım: Alanı Hipotenüs ve Yükseklik Cinsinden Hesaplama
Aynı alan, hipotenüs \(c\) ve hipotenüse ait yükseklik \(h\) kullanılarak \( A = \frac{1}{2} \times c \times h \) formülüyle de ifade edilebilir. - 3. Adım: Yüksekliği Bulma
Elimizdeki değerleri formülde yerine koyalım: \( 30 = \frac{1}{2} \times 13 \times h \). - 4. Adım: Denklemi Çözme
\( 60 = 13 \times h \Rightarrow h = \frac{60}{13} \) birim.
Örnek 8:
Bir dik üçgenin hipotenüsü 10 birimdir. Hipotenüse ait yükseklik 6 birimdir. Bu üçgenin dik kenarlarının çarpımı kaç birim karedir? ✖️
Çözüm:
Bu soruda, dik üçgenin alanını iki farklı şekilde ifade ederek dik kenarların çarpımını bulacağız.
- 1. Adım: Alanı Hipotenüs ve Yükseklik Cinsinden Hesaplama
Üçgenin alanı \( A = \frac{1}{2} \times \text{hipotenüs} \times \text{yükseklik} \) formülüyle bulunur. - 2. Adım: Alanı Hesaplama
Verilen değerlerle alanı hesaplayalım: \( A = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30 \) birim kare. - 3. Adım: Alanı Dik Kenarlar Cinsinden Hesaplama
Dik üçgenin alanı aynı zamanda \( A = \frac{1}{2} \times a \times b \) formülüyle de verilir, burada \(a\) ve \(b\) dik kenarlardır. - 4. Adım: Dik Kenarların Çarpımını Bulma
Alan formülünde \( A = 30 \) ve \( \frac{1}{2} \times a \times b \) eşitliğini kullanarak: \( 30 = \frac{1}{2} \times a \times b \). - 5. Adım: Denklemi Çözme
\( a \times b = 2 \times 30 = 60 \) birim kare.
Örnek 9:
Bir dik üçgende, hipotenüsü bölen yükseklik, hipotenüsü 4 birim ve 9 birim uzunluğundaki iki parçaya ayırıyor. Bu dik üçgenin çevresi kaç birimdir? 🌳
Çözüm:
Bu soruda Öklit bağıntılarını kullanarak dik kenarları ve hipotenüsü bulup çevreyi hesaplayacağız.
- 1. Adım: Hipotenüsü Bulma
Hipotenüs, yükseklik tarafından ayrılan parçaların toplamıdır: \( c = 4 + 9 = 13 \) birim. - 2. Adım: Yüksekliği Bulma
Öklit'in yükseklik bağıntısı: \( h^2 = 4 \times 9 = 36 \Rightarrow h = 6 \) birim. - 3. Adım: Dik Kenarları Bulma
Öklit'in dik kenar bağıntıları:- \( a^2 = 4 \times c = 4 \times 13 = 52 \Rightarrow a = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \) birim.
- \( b^2 = 9 \times c = 9 \times 13 = 117 \Rightarrow b = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} \) birim.
- 4. Adım: Çevreyi Hesaplama
Çevre = \( a + b + c = 2\sqrt{13} + 3\sqrt{13} + 13 = 5\sqrt{13} + 13 \) birim.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-oklit-bagintilari/sorular