💡 9. Sınıf Matematik: Öklid Çözümlü Örnekler

• 👉 Yükseklik bağıntısı, bir dik üçgende dik açıdan hipotenüse çizilen yüksekliğin karesinin, hipotenüsü ayırdığı parçaların çarpımına eşit olduğunu söyler.
• Verilenler: Hipotenüs üzerindeki parçalar \( p = 4 \) cm ve \( k = 9 \) cm. Yüksekliği \( h \) ile gösterelim.
• ✅ Formül: \( h^2 = p \cdot k \)
• Hesaplama: \[ h^2 = 4 \cdot 9 \] \[ h^2 = 36 \] \[ h = \sqrt{36} \] \[ h = 6 \]

Sonuç olarak, yüksekliğin uzunluğu \( 6 \) cm'dir. ✅

• Verilenler: Yükseklik \( h = 8 \) cm. Hipotenüs üzerindeki bir parça \( p = 16 \) cm. Diğer parçayı \( k \) ile gösterelim.
• ✅ Formül: \( h^2 = p \cdot k \)
• Hesaplama: \[ 8^2 = 16 \cdot k \] \[ 64 = 16 \cdot k \] Her iki tarafı \( 16 \) ile bölelim: \[ k = \frac{64}{16} \] \[ k = 4 \]

Diğer parçanın uzunluğu \( 4 \) cm'dir. ✅

• 👉 Dik kenar bağıntısı, bir dik üçgende bir dik kenarın karesinin, hipotenüsün tamamı ile o dik kenara ait hipotenüs üzerindeki iz düşümünün (parçanın) çarpımına eşit olduğunu söyler.
• Verilenler: \( BH = 2 \) cm, \( HC = 6 \) cm. AB kenarına \( c \) diyelim. AB kenarının hipotenüs üzerindeki iz düşümü BH'dir.
• Hipotenüsün tamamı \( BC = BH + HC = 2 + 6 = 8 \) cm'dir.
• ✅ Formül: \( c^2 = BH \cdot BC \)
• Hesaplama: \[ c^2 = 2 \cdot 8 \] \[ c^2 = 16 \] \[ c = \sqrt{16} \] \[ c = 4 \]

AB kenarının uzunluğu \( 4 \) cm'dir. ✅

• 1. Adım: Yüksekliği Bulma
  • Verilenler: Hipotenüs üzerindeki parçalar \( p = 3 \) cm ve \( k = 12 \) cm. Yüksekliği \( h \) ile gösterelim.
  • ✅ Formül: \( h^2 = p \cdot k \)
  • Hesaplama: \[ h^2 = 3 \cdot 12 \] \[ h^2 = 36 \] \[ h = \sqrt{36} \] \[ h = 6 \]
  • Yüksekliğin uzunluğu \( 6 \) cm'dir.
• 2. Adım: Hipotenüsü Bulma
  • Hipotenüs, hipotenüs üzerindeki parçaların toplamıdır.
  • Hipotenüs \( a = p + k \)
  • Hesaplama: \[ a = 3 + 12 \] \[ a = 15 \]
  • Hipotenüsün uzunluğu \( 15 \) cm'dir.

Yüksekliğin uzunluğu \( 6 \) cm, hipotenüsün uzunluğu \( 15 \) cm'dir. ✅

• 1. Adım: \( x \) Değerini Bulma
  • Verilenler: Yükseklik \( BH = 6 \) cm. Hipotenüs üzerindeki parçalar \( AH = x \) cm ve \( HC = 3x \) cm.
  • ✅ Formül: \( BH^2 = AH \cdot HC \)
  • Hesaplama: \[ 6^2 = x \cdot (3x) \] \[ 36 = 3x^2 \] Her iki tarafı \( 3 \) ile bölelim: \[ x^2 = \frac{36}{3} \] \[ x^2 = 12 \] \[ x = \sqrt{12} \] \[ x = \sqrt{4 \cdot 3} \] \[ x = 2\sqrt{3} \]
  • \( x \) değeri \( 2\sqrt{3} \) cm'dir.
• 2. Adım: AC Kenarının Uzunluğunu Bulma
  • AC kenarı, hipotenüs üzerindeki parçaların toplamıdır.
  • \( AC = AH + HC \)
  • Hesaplama: \[ AC = x + 3x \] \[ AC = 4x \] Bulduğumuz \( x \) değerini yerine koyalım: \[ AC = 4 \cdot (2\sqrt{3}) \] \[ AC = 8\sqrt{3} \]

AC kenarının uzunluğu \( 8\sqrt{3} \) cm'dir. ✅

• 👉 Binanın dik köşesi, dik üçgenin dik açısını temsil eder. Direk ise bu dik açıdan hipotenüse (zemine) indirilen yüksekliği temsil eder.
• Verilenler: Yüksekliğin hipotenüsü ayırdığı parçalar \( p = 5 \) metre ve \( k = 20 \) metredir. Direğin yüksekliğini \( h \) ile gösterelim.
• ✅ Formül: \( h^2 = p \cdot k \)
• Hesaplama: \[ h^2 = 5 \cdot 20 \] \[ h^2 = 100 \] \[ h = \sqrt{100} \] \[ h = 10 \]

Bu direğin yüksekliği \( 10 \) metredir. ✅ Bu tür yapılar, mühendislikte denge ve sağlamlık hesaplamalarında kullanılır.

• Bir dik üçgen şeklinde tasarlanan raf desteğinde, rafın köşesi dik açıyı oluşturur. Bu köşeden zemine (hipotenüse) indirilen dikme, desteğin ana yüksekliğini temsil eder.
• Eğer marangoz, desteğin zemine değdiği noktanın, duvarın zemine değdiği noktaya olan uzaklığını (hipotenüs üzerindeki bir parça) ve desteğin ucunun duvara olan uzaklığını (diğer parça) biliyorsa:
  • 👉 Yükseklik Bağıntısı: Desteğin yüksekliğinin karesi, zemindeki iki parçanın çarpımına eşittir. Yani, \( h^2 = p \cdot k \). Bu sayede desteğin optimum yüksekliğini bulabilir.
  • 👉 Dik Kenar Bağıntısı: Desteğin duvara yaslanan kısmının (bir dik kenar) karesi, tüm zeminin (hipotenüs) uzunluğu ile o dik kenara ait zemindeki iz düşümünün çarpımına eşittir. Aynı şekilde diğer dik kenar (zemine uzanan kısım) için de bu bağıntı geçerlidir. Örneğin, \( c^2 = p \cdot a \). Bu, desteğin duvara ne kadar uzanması gerektiğini veya zemine ne kadar oturması gerektiğini hesaplamasına yardımcı olur.

Bu bağıntılar sayesinde marangoz, malzemeyi en verimli şekilde kullanarak hem estetik hem de sağlam bir raf desteği tasarlayabilir. ✅

• 1. Adım: Hipotenüs Uzunluğunu Bulma (Pisagor Teoremi)
  • Verilenler: Dik kenarlar \( b = 8 \) cm ve \( c = 6 \) cm. Hipotenüs \( a \) olsun.
  • ✅ Formül: \( a^2 = b^2 + c^2 \)
  • Hesaplama: \[ a^2 = 8^2 + 6^2 \] \[ a^2 = 64 + 36 \] \[ a^2 = 100 \] \[ a = \sqrt{100} \] \[ a = 10 \]
  • Hipotenüsün uzunluğu \( 10 \) cm'dir.
• 2. Adım: Yüksekliği Bulma (Öklid'in Alan Bağıntısı)
  • Bir dik üçgenin alanı iki farklı şekilde ifade edilebilir: \( \frac{1}{2} \cdot \text{dik kenarların çarpımı} \) veya \( \frac{1}{2} \cdot \text{hipotenüs} \cdot \text{yükseklik} \).
  • Bu iki ifadeyi eşitleyebiliriz: \( \frac{1}{2} \cdot b \cdot c = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \)
  • İki tarafı da \( \frac{1}{2} \) ile sadeleştirirsek: \( b \cdot c = a \cdot h \)
  • Hesaplama: \[ 8 \cdot 6 = 10 \cdot h \] \[ 48 = 10 \cdot h \] Her iki tarafı \( 10 \) ile bölelim: \[ h = \frac{48}{10} \] \[ h = 4.8 \]

Hipotenüse indirilen yüksekliğin uzunluğu \( 4.8 \) cm'dir. ✅