🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Öklid ve Tales Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Öklid ve Tales Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende, dik kenarlar 6 cm ve 8 cm olduğuna göre, hipotenüs kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu soruyu Pisagor teoremini kullanarak çözebiliriz. Pisagor teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
- Dik kenarlarımız \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm olsun.
- Hipotenüsümüzü \( c \) ile gösterelim.
- Pisagor teoremine göre: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 100 = c^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{100} \)
- Sonuç: \( c = 10 \) cm.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde AB kenarı 12 cm, AC kenarı 18 cm ve A açısı 60 derecedir. BC kenarının uzunluğunu kosinüs teoremi ile hesaplayınız. (Kosinüs teoremi 9. Sınıf müfredatı için verilmiştir.) 📏
Çözüm:
Kosinüs teoremi, bir üçgenin iki kenarı ve bu kenarlar arasındaki açının bilindiği durumlarda üçüncü kenarı bulmamızı sağlar.
- Üçgenimiz ABC, kenarlarımız \( c = AB = 12 \) cm, \( b = AC = 18 \) cm ve aradaki açı \( A = 60^\circ \) olsun.
- Bulmak istediğimiz kenar \( a = BC \).
- Kosinüs teoremi formülü: \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \)
- Değerleri yerine koyalım: \( a^2 = 18^2 + 12^2 - 2 \times 18 \times 12 \times \cos(60^\circ) \)
- Kareleri ve \( \cos(60^\circ) \) değerini hesaplayalım (\( \cos(60^\circ) = 1/2 \)): \( a^2 = 324 + 144 - 2 \times 18 \times 12 \times \frac{1}{2} \)
- İşlemleri yapalım: \( a^2 = 468 - 216 \)
- Sonucu bulalım: \( a^2 = 252 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( a = \sqrt{252} \)
- Sadeleştirelim: \( a = \sqrt{36 \times 7} = 6\sqrt{7} \) cm.
Örnek 3:
Bir parkta bulunan iki ağacın boyları oranı 3/5'tir. Kısa ağacın boyu 9 metre olduğuna göre, uzun ağacın boyu kaç metredir? Bu durumu Tales teoremi ile ilişkilendirebiliriz. 🌳
Çözüm:
Bu problem, benzerlik ve oran kavramlarını içerir ve Tales teoreminin temel mantığıyla çözülebilir.
- Kısa ağacın boyu \( K \) ve uzun ağacın boyu \( U \) olsun.
- Verilen oran: \( \frac{K}{U} = \frac{3}{5} \)
- Kısa ağacın boyu \( K = 9 \) metre olarak verilmiş.
- Orantıda \( K \) yerine 9 yazalım: \( \frac{9}{U} = \frac{3}{5} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 9 \times 5 = 3 \times U \)
- Hesaplayalım: \( 45 = 3U \)
- Her iki tarafı 3'e bölelim: \( U = \frac{45}{3} \)
- Sonuç: \( U = 15 \) metre.
Örnek 4:
Bir harita üzerinde iki şehir arasındaki uzaklık 5 cm olarak gösterilmiştir. Haritanın ölçeği 1:200.000 olduğuna göre, bu iki şehir arasındaki gerçek uzaklık kaç kilometredir? 🗺️
Çözüm:
Harita ölçeği, harita üzerindeki bir uzunluğun gerçekteki uzunluğa oranını gösterir.
- Harita ölçeği: 1 birim (haritada) = 200.000 birim (gerçekte)
- Harita üzerindeki uzaklık: 5 cm
- Gerçek uzaklığı bulmak için ölçekle çarparız: \( 5 \text{ cm} \times 200.000 \)
- Gerçek uzaklık (cm olarak): \( 1.000.000 \) cm
- Bu uzaklığı kilometreye çevirmemiz gerekiyor. 1 km = 100.000 cm'dir.
- Gerçek uzaklık (km olarak): \( \frac{1.000.000 \text{ cm}}{100.000 \text{ cm/km}} \)
- Sonuç: 10 km.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde DE, BC'ye paraleldir. AD = 4 cm, DB = 6 cm ve DE = 5 cm olduğuna göre, BC uzunluğunu bulunuz. (Tales Teoremi - Benzer Üçgenler) 📐
Çözüm:
Bu soru, paralel doğrular ve kesenler arasındaki orantılılık ilkesini kullanan Tales teoremi ile çözülür. DE'nin BC'ye paralel olması, ABC ve ADE üçgenlerinin benzer olmasını sağlar.
- Paralellikten dolayı \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) olur.
- Benzer üçgenlerin karşılıklı kenarları orantılıdır.
- AD kenarı \( \triangle ADE \) için, AB kenarı ise \( \triangle ABC \) için karşılıklı kenarlardır.
- DE kenarı \( \triangle ADE \) için, BC kenarı ise \( \triangle ABC \) için karşılıklı kenarlardır.
- Orantı yazalım: \( \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \)
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( AD = 4 \) cm, \( DB = 6 \) cm. Bu durumda \( AB = AD + DB = 4 + 6 = 10 \) cm.
- Ayrıca \( DE = 5 \) cm.
- Orantı denklemi: \( \frac{4}{10} = \frac{5}{BC} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 4 \times BC = 10 \times 5 \)
- Hesaplayalım: \( 4 \times BC = 50 \)
- BC'yi bulmak için her iki tarafı 4'e bölelim: \( BC = \frac{50}{4} \)
- Sonuç: \( BC = 12.5 \) cm.
Örnek 6:
Bir dik üçgenin dik kenarlarından biri 5 cm ve hipotenüsü 13 cm'dir. Diğer dik kenarın uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Yine Pisagor teoremini kullanacağız.
- Dik kenarlardan birine \( a = 5 \) cm, hipotenüse \( c = 13 \) cm diyelim.
- Diğer dik kenarı \( b \) ile gösterelim.
- Pisagor teoremine göre: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 5^2 + b^2 = 13^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 25 + b^2 = 169 \)
- \( b^2 \) yalnız bırakalım: \( b^2 = 169 - 25 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 144 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( b = \sqrt{144} \)
- Sonuç: \( b = 12 \) cm.
Örnek 7:
Bir ABC üçgeninde A açısı 30 derece, B açısı 70 derece ve AB kenarı 10 cm'dir. AC kenarının uzunluğunu sinüs teoremi ile hesaplayınız. (Sinüs teoremi 9. Sınıf müfredatı için verilmiştir.) 📐
Çözüm:
Sinüs teoremi, bir üçgenin kenarları ile bu kenarların karşısındaki açıların sinüsleri arasındaki ilişkiyi kurar.
- Üçgenimiz ABC, \( A = 30^\circ \), \( B = 70^\circ \) ve \( c = AB = 10 \) cm olsun.
- Üçüncü açıyı bulalım: \( C = 180^\circ - (A + B) = 180^\circ - (30^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).
- Bulmak istediğimiz kenar \( b = AC \).
- Sinüs teoremi formülü: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \)
- \( b \) kenarını bulmak için \( \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \) oranını kullanabiliriz.
- Değerleri yerine koyalım: \( \frac{b}{\sin 70^\circ} = \frac{10}{\sin 80^\circ} \)
- \( b \) için denklemi düzenleyelim: \( b = \frac{10 \times \sin 70^\circ}{\sin 80^\circ} \)
- Bu değeri hesap makinesi yardımıyla yaklaşık olarak bulabiliriz. \( \sin 70^\circ \approx 0.94 \) ve \( \sin 80^\circ \approx 0.98 \).
- Yaklaşık değer: \( b \approx \frac{10 \times 0.94}{0.98} \approx \frac{9.4}{0.98} \approx 9.59 \) cm.
Örnek 8:
Bir merdiven, eğimli bir duvara dayanmıştır. Merdivenin uzunluğu 5 metre ve duvara olan uzaklığı (tabanından) 3 metredir. Merdivenin duvara değdiği noktanın yerden yüksekliği kaç metredir? Bu bir dik üçgen problemi olup Pisagor teoremi ile çözülür. 🪜
Çözüm:
Bu senaryo, dik kenarları ve hipotenüsü olan bir dik üçgen oluşturur.
- Merdivenin uzunluğu hipotenüs olur: \( c = 5 \) metre.
- Merdivenin duvara olan uzaklığı (yerdeki tabanı) bir dik kenar olur: \( a = 3 \) metre.
- Merdivenin duvara değdiği noktanın yerden yüksekliği diğer dik kenar olur: \( b \).
- Pisagor teoremine göre: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 3^2 + b^2 = 5^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 9 + b^2 = 25 \)
- \( b^2 \) yalnız bırakalım: \( b^2 = 25 - 9 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 16 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( b = \sqrt{16} \)
- Sonuç: \( b = 4 \) metre.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-oklid-ve-tales/sorular