🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Öklid ve Pisagor Teoremleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Öklid ve Pisagor Teoremleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende, dik kenarların uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 🤔
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. 💡
- 👉 Pisagor Teoremi der ki: Bir dik üçgende, dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Yani, \( a^2 + b^2 = c^2 \) formülünü kullanırız.
- Burada dik kenarlar \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm'dir. Hipotenüs ise \( c \) olsun.
- Şimdi formülde yerine koyalım: \[ 6^2 + 8^2 = c^2 \]
- Karelerini alalım: \[ 36 + 64 = c^2 \]
- Toplama işlemini yapalım: \[ 100 = c^2 \]
- Her iki tarafın karekökünü alarak \( c \) değerini bulalım: \[ c = \sqrt{100} \] \[ c = 10 \]
- ✅ Sonuç olarak, bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 10 cm'dir.
Örnek 2:
Bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 13 cm ve dik kenarlarından birinin uzunluğu 5 cm'dir. Buna göre diğer dik kenarın uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Yine Pisagor Teoremi'ni kullanarak eksik kenarı bulacağız. 📌
- 👉 Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Bize hipotenüs \( c = 13 \) cm ve bir dik kenar \( a = 5 \) cm verilmiş. Diğer dik kenar \( b \) olsun.
- Formülde yerine koyalım: \[ 5^2 + b^2 = 13^2 \]
- Karelerini alalım: \[ 25 + b^2 = 169 \]
- \( b^2 \) yalnız bırakmak için 25'i eşitliğin diğer tarafına atalım: \[ b^2 = 169 - 25 \] \[ b^2 = 144 \]
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \[ b = \sqrt{144} \] \[ b = 12 \]
- ✅ Diğer dik kenarın uzunluğu 12 cm'dir.
Örnek 3:
Bir ABC dik üçgeninde, A açısı 90 derecedir. AB kenarının uzunluğu 9 cm ve AC kenarının uzunluğu 12 cm olduğuna göre, BC kenarının uzunluğu (hipotenüs) kaç cm'dir? Bu üçgenin kenarlarını kullanarak bir özel dik üçgen ilişkisi fark ettiniz mi? 🤔
Çözüm:
Bu problemde Pisagor Teoremi'ni uygulayacağız ve özel üçgen ilişkisini inceleyeceğiz. 🧐
- 👉 Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Verilenler: Dik kenarlar \( a = 9 \) cm ve \( b = 12 \) cm. Hipotenüs \( c \) (BC kenarı) olsun.
- Formülde yerine koyalım: \[ 9^2 + 12^2 = c^2 \]
- Karelerini alalım: \[ 81 + 144 = c^2 \]
- Toplama işlemini yapalım: \[ 225 = c^2 \]
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \[ c = \sqrt{225} \] \[ c = 15 \]
- ✅ BC kenarının uzunluğu 15 cm'dir.
- 💡 Özel Üçgen İlişkisi: Kenar uzunluklarına dikkat ederseniz (9, 12, 15), bu sayılar 3'ün katlarıdır: \( 3 \times 3 = 9 \), \( 3 \times 4 = 12 \), \( 3 \times 5 = 15 \). Bu, 3-4-5 özel dik üçgeninin bir katıdır. Bu tür özel üçgenleri bilmek, hesaplamaları hızlandırır!
Örnek 4:
Bir ABC dik üçgeninde, A köşesinden hipotenüs BC'ye indirilen yükseklik AH'tır. H noktası BC üzerindedir. BH uzunluğu 4 cm ve HC uzunluğu 9 cm olduğuna göre, AH yüksekliğinin uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Öklid'in Yükseklik Teoremi'ni kullanacağız. 💡
- 📌 Öklid'in Yükseklik Teoremi (h² = p . k): Bir dik üçgende, dik açıdan hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
- Burada yükseklik \( AH = h \), hipotenüs üzerindeki parçalar \( BH = p = 4 \) cm ve \( HC = k = 9 \) cm'dir.
- Formülde yerine koyalım: \[ h^2 = p \cdot k \] \[ h^2 = 4 \cdot 9 \]
- Çarpma işlemini yapalım: \[ h^2 = 36 \]
- Her iki tarafın karekökünü alarak \( h \) değerini bulalım: \[ h = \sqrt{36} \] \[ h = 6 \]
- ✅ AH yüksekliğinin uzunluğu 6 cm'dir.
Örnek 5:
Bir dik üçgen olan ABC'de, A köşesi dik açıdır. A'dan hipotenüs BC'ye indirilen yükseklik AH'tır. BH uzunluğu 3 cm ve hipotenüs BC'nin tamamı 12 cm'dir. Buna göre AB dik kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu problemde Öklid'in Dik Kenar Teoremi'ni kullanacağız. 🤓
- 📌 Öklid'in Dik Kenar Teoremi (b² = p . a veya c² = k . a): Bir dik üçgende, bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerindeki kendi tarafındaki parçası ile tüm hipotenüsün çarpımına eşittir.
- Burada \( AB \) dik kenarı \( c \) ile gösterelim. \( BH = p = 3 \) cm ve tüm hipotenüs \( BC = a = 12 \) cm'dir.
- Formülde yerine koyalım: \[ c^2 = p \cdot a \] \[ c^2 = 3 \cdot 12 \]
- Çarpma işlemini yapalım: \[ c^2 = 36 \]
- Her iki tarafın karekökünü alarak \( c \) değerini bulalım: \[ c = \sqrt{36} \] \[ c = 6 \]
- ✅ AB dik kenarının uzunluğu 6 cm'dir.
Örnek 6:
Bir ABC dik üçgeninde, A açısı 90 derecedir. A köşesinden hipotenüs BC'ye indirilen yükseklik AH'tır. BH uzunluğu 2 cm ve HC uzunluğu 8 cm'dir. Buna göre AC kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 🎯
Çözüm:
Bu problemi çözmek için önce Öklid'in Yükseklik Teoremi'ni, sonra Öklid'in Dik Kenar Teoremi'ni veya Pisagor Teoremi'ni kullanabiliriz. Hadi adım adım ilerleyelim! 👣
- 1️⃣ AH yüksekliğini bulalım (Öklid Yükseklik Teoremi):
- \( h^2 = p \cdot k \)
- \( h^2 = BH \cdot HC \)
- \( h^2 = 2 \cdot 8 \)
- \( h^2 = 16 \)
- \( h = \sqrt{16} \)
- \( AH = 4 \) cm.
- 2️⃣ AC kenarını bulalım (Öklid Dik Kenar Teoremi):
- \( AC^2 = HC \cdot BC \)
- Hipotenüs \( BC = BH + HC = 2 + 8 = 10 \) cm.
- \( AC^2 = 8 \cdot 10 \)
- \( AC^2 = 80 \)
- \( AC = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5} \) cm.
- ✅ AC kenarının uzunluğu \( 4\sqrt{5} \) cm'dir.
- 💡 Alternatif Çözüm (Pisagor Teoremi ile):
- AH yüksekliğini 4 cm bulduktan sonra, AHC dik üçgenine odaklanabiliriz.
- Bu üçgende dik kenarlar AH = 4 cm ve HC = 8 cm'dir. Hipotenüs ise AC'dir.
- \( AC^2 = AH^2 + HC^2 \)
- \( AC^2 = 4^2 + 8^2 \)
- \( AC^2 = 16 + 64 \)
- \( AC^2 = 80 \)
- \( AC = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \) cm.
Örnek 7:
Bir inşaat firması, dik bir duvara dayayacağı bir merdivenin güvenli kullanımı için merdivenin alt ucunun duvardan uzaklığının, merdiven boyunun yarısından fazla olmamasını şart koşmuştur. Merdivenin boyu 10 metre ve merdivenin üst ucu duvarda yerden 8 metre yükseklikte bir noktaya değmektedir. 🪜
Bu merdiven güvenli bir şekilde kullanılıyor mudur? Açıklayınız. 🤔
Bu merdiven güvenli bir şekilde kullanılıyor mudur? Açıklayınız. 🤔
Çözüm:
Bu problemde, merdiven, duvar ve yer bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgenin kenarlarını Pisagor Teoremi ile inceleyelim. 🏗️
- 1️⃣ Merdivenin alt ucunun duvardan uzaklığını bulalım:
- Merdiven boyu hipotenüs \( c = 10 \) metre.
- Duvardaki yükseklik bir dik kenar \( a = 8 \) metre.
- Merdivenin alt ucunun duvardan uzaklığı diğer dik kenar \( b \) olsun.
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- \( 8^2 + b^2 = 10^2 \)
- \( 64 + b^2 = 100 \)
- \( b^2 = 100 - 64 \)
- \( b^2 = 36 \)
- \( b = \sqrt{36} \)
- \( b = 6 \) metre.
- Yani, merdivenin alt ucu duvardan 6 metre uzaktadır.
- 2️⃣ Güvenlik şartını kontrol edelim:
- Şart: Merdivenin alt ucunun duvardan uzaklığı, merdiven boyunun yarısından fazla olmamalı.
- Merdiven boyu 10 metre. Yarısı \( 10 \div 2 = 5 \) metredir.
- Bulduğumuz uzaklık 6 metre.
- Karşılaştırma: \( 6 \text{ metre} > 5 \text{ metre} \).
- ✅ Sonuç: Merdivenin alt ucunun duvardan uzaklığı (6 metre), merdiven boyunun yarısından (5 metre) daha fazladır. Bu nedenle, merdiven güvenli bir şekilde kullanılmamaktadır. ⚠️
Örnek 8:
Bir mühendis, bir köprü inşaatında, nehrin iki yakası arasındaki mesafeyi ölçmek istemektedir. Nehrin bir tarafında A noktası, diğer tarafında B noktası vardır. Mühendis, A noktasından nehir kenarı boyunca 120 metre ilerleyerek C noktasına geliyor. C noktasından B noktasına dik bir açı (90 derece) ile baktığında, CB mesafesini 50 metre olarak ölçüyor. 🌉
Buna göre, A ve B noktaları arasındaki kuş uçuşu mesafe (nehrin genişliği) kaç metredir? Bu ölçümde hangi matematiksel prensip kullanılmıştır? 🤔
Buna göre, A ve B noktaları arasındaki kuş uçuşu mesafe (nehrin genişliği) kaç metredir? Bu ölçümde hangi matematiksel prensip kullanılmıştır? 🤔
Çözüm:
Bu senaryoda, A, B ve C noktaları bir dik üçgen oluşturmaktadır. A noktasından C noktasına nehir kenarı boyunca ilerlendiği ve C noktasından B noktasına dik bakıldığı için, C açısı 90 derecedir. 🏞️
- 1️⃣ Üçgenin kenarlarını belirleyelim:
- AC mesafesi (bir dik kenar) = 120 metre.
- CB mesafesi (diğer dik kenar) = 50 metre.
- AB mesafesi (kuş uçuşu, hipotenüs) \( x \) olsun. Bu, nehrin genişliğidir.
- 2️⃣ Hangi prensibi kullanacağız?
- Bir dik üçgende kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi bulmak için Pisagor Teoremi'ni kullanırız.
- Formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- 3️⃣ Hesaplamayı yapalım:
- \( 120^2 + 50^2 = x^2 \)
- \( 14400 + 2500 = x^2 \)
- \( 16900 = x^2 \)
- \( x = \sqrt{16900} \)
- \( x = 130 \)
- ✅ Sonuç olarak, A ve B noktaları arasındaki kuş uçuşu mesafe (nehrin genişliği) 130 metredir. Bu ölçümde Pisagor Teoremi kullanılmıştır. 👷♂️
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-oklid-ve-pisagor-teoremleri/sorular