🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Öklid Ve Pisagor Teoremi Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Öklid Ve Pisagor Teoremi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgenin dik kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
- Dik kenar uzunlukları a = 6 cm ve b = 8 cm olsun.
- Hipotenüs uzunluğu c olsun.
- Pisagor Teoremi formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 100 = c^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{100} \)
- Hipotenüs uzunluğunu bulalım: \( c = 10 \) cm ✅
Örnek 2:
Bir dik üçgenin hipotenüsü 13 cm ve bir dik kenarı 5 cm'dir. Diğer dik kenarın uzunluğunu bulunuz. 🤔
Çözüm:
Yine Pisagor Teoremi'ni kullanarak bu soruyu çözeceğiz.
- Hipotenüs c = 13 cm ve bir dik kenar a = 5 cm olsun.
- Diğer dik kenar b olsun.
- Pisagor Teoremi formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 5^2 + b^2 = 13^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 25 + b^2 = 169 \)
- \( b^2 \) yalnız bırakalım: \( b^2 = 169 - 25 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 144 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( b = \sqrt{144} \)
- Diğer dik kenar uzunluğunu bulalım: \( b = 12 \) cm ✅
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde AB kenarı 7 cm, BC kenarı 9 cm ve AC kenarı 11 cm'dir. Bu üçgenin hangi tür bir üçgen olduğunu (dar açılı, dik açılı, geniş açılı) belirleyiniz. 📐
Çözüm:
Bir üçgenin açılarının türünü belirlemek için Öklid'in Genel Teoremi'nin bir uygulaması olan şu kuralı kullanırız: En uzun kenarın karesi, diğer iki kenarın karelerinin toplamına göre karşılaştırılır.
- Üçgenin kenar uzunlukları: a = 9 cm, b = 11 cm, c = 7 cm.
- En uzun kenar b = 11 cm'dir.
- En uzun kenarın karesini hesaplayalım: \( b^2 = 11^2 = 121 \)
- Diğer iki kenarın karelerinin toplamını hesaplayalım: \( a^2 + c^2 = 9^2 + 7^2 = 81 + 49 = 130 \)
- Karşılaştırmayı yapalım: \( b^2 \) vs \( a^2 + c^2 \)
- \( 121 < 130 \)
Örnek 4:
Bir duvara dayalı 5 metre uzunluğunda bir merdiven bulunmaktadır. Merdivenin alt ucu duvardan 3 metre uzaklıktadır. Merdivenin duvarda ulaştığı yüksekliği bulunuz. 🪜
Çözüm:
Bu durum, bir dik üçgen oluşturur. Merdiven, duvar ve zemin bu dik üçgenin kenarlarını oluşturur.
- Merdivenin uzunluğu (hipotenüs) c = 5 m'dir.
- Duvar ile merdivenin alt ucu arasındaki mesafe (bir dik kenar) a = 3 m'dir.
- Merdivenin duvarda ulaştığı yükseklik (diğer dik kenar) b olsun.
- Pisagor Teoremi'ni kullanalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 3^2 + b^2 = 5^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 9 + b^2 = 25 \)
- \( b^2 \) yalnız bırakalım: \( b^2 = 25 - 9 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 16 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( b = \sqrt{16} \)
- Yüksekliği bulalım: \( b = 4 \) metre ✅
Örnek 5:
Bir parkta, A noktasından B noktasına giden düz bir yol vardır. Bu yol, bir göletin kenarından geçmektedir. A noktasından gölete en yakın nokta C, B noktasından gölete en yakın nokta D'dir. AC = 50 metre, CD = 120 metre ve DB = 60 metredir. C ve D noktaları göletin aynı tarafında ve AC ile DB yolları CD yoluna diktir. A noktasından B noktasına gölete uğramadan düz bir yolla gidilirse, bu yolun uzunluğu kaç metre olur? 🗺️
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Soruda verilen durum, bir dik üçgen oluşturmaktadır.
- A noktasından B noktasına düz bir yol çizdiğimizde, bu yol göletin kenarından geçmektedir. Ancak soruda "gölete uğramadan düz bir yolla gidilirse" denildiği için, A ve B noktalarını birleştiren bir doğru parçası düşünmeliyiz.
- AC ve DB yolları CD yoluna dik olduğuna göre, AC ve DB birbirine paraleldir.
- Bu durumda, A noktasından B noktasına giden düz yol, bir dik yamuğun köşegenine benzer bir yapı oluşturur.
- Bu yamuğun yüksekliği CD = 120 metre'dir.
- Yamuğun paralel kenarları ise AC = 50 metre ve DB = 60 metre'dir.
- A noktasından B noktasına düz bir yol çizmek için, A noktasından DB kenarına paralel bir doğru çizerek bir dikdörtgen ve bir dik üçgen oluşturabiliriz.
- Oluşan dik üçgenin bir dik kenarı CD = 120 metre'dir.
- Diğer dik kenarı ise DB ile AC arasındaki farktır: \( 60 - 50 = 10 \) metre.
- Hipotenüs ise A noktasından B noktasına giden düz yoldur.
- Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: \( (\text{dik kenar 1})^2 + (\text{dik kenar 2})^2 = (\text{hipotenüs})^2 \)
- \( 120^2 + 10^2 = (\text{yol uzunluğu})^2 \)
- \( 14400 + 100 = (\text{yol uzunluğu})^2 \)
- \( 14500 = (\text{yol uzunluğu})^2 \)
- Yol uzunluğunu bulalım: \( \text{yol uzunluğu} = \sqrt{14500} \)
- \( \text{yol uzunluğu} = \sqrt{100 \times 145} = 10\sqrt{145} \) metre ✅
Örnek 6:
Bir çiftçi, tarlasının köşelerine tel çekmek istiyor. Tarlası dikdörtgen şeklinde ve kenar uzunlukları 80 metre ve 150 metredir. Çiftçi, tarlanın köşegenleri boyunca tel çekerse, toplam kaç metre tel kullanması gerekir? 🌾
Çözüm:
Bu soruda, çiftçinin kullanacağı telin uzunluğunu bulmak için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Dikdörtgenin köşegenleri, kenarlarıyla birlikte bir dik üçgen oluşturur.
- Dikdörtgenin kenar uzunlukları a = 80 metre ve b = 150 metre'dir.
- Köşegen uzunluğu c olsun.
- Pisagor Teoremi formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 80^2 + 150^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 6400 + 22500 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 28900 = c^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{28900} \)
- Köşegen uzunluğunu bulalım: \( c = 170 \) metre.
- Dikdörtgenin iki köşegeni vardır ve bu köşegenler eşit uzunluktadır.
- Toplam tel uzunluğu: \( 2 \times c = 2 \times 170 = 340 \) metre ✅
Örnek 7:
Bir ABC üçgeninde, \( \angle B = 90^\circ \) ve \( AB = 5 \) birim, \( BC = 12 \) birimdir. Bu üçgenin kenarortayları tarafından oluşturulan yeni bir üçgenin alanını bulunuz. 🔺
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için öncelikle Pisagor Teoremi ile hipotenüsü bulacağız, ardından kenarortayların özelliklerini ve alan ilişkilerini kullanacağız.
- ABC dik üçgeninde hipotenüs AC'yi bulalım: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \). Dolayısıyla \( AC = \sqrt{169} = 13 \) birimdir.
- Bir üçgenin kenarortayları, üçgeni alanları eşit altı küçük üçgene böler. Kenarortayların kesişim noktası olan ağırlık merkezi (G), bu kenarortayları 2:1 oranında böler.
- Kenarortaylar tarafından oluşturulan üçgenin alanı, orijinal üçgenin alanının \( \frac{1}{3} \) 'ü kadardır.
- ABC üçgeninin alanı: \( \text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30 \) birimkaredir.
- Kenarortaylar tarafından oluşturulan üçgenin alanı: \( \frac{1}{3} \times \text{Alan}(ABC) = \frac{1}{3} \times 30 = 10 \) birimkare ✅
Örnek 8:
Bir teknoloji mağazasında, bir televizyonun ekran boyutu köşegen uzunluğu ile belirtilir. Bir televizyonun ekranının genişliği 48 cm ve yüksekliği 36 cm'dir. Bu televizyonun ekranının köşegen uzunluğu kaç cm'dir? 📺
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Televizyon ekranı bir dikdörtgen olduğu için, genişlik, yükseklik ve köşegen bir dik üçgen oluşturur.
- Dikdörtgenin dik kenarları: genişlik = 48 cm ve yükseklik = 36 cm.
- Köşegen uzunluğu (hipotenüs) c olsun.
- Pisagor Teoremi formülü: \( (\text{genişlik})^2 + (\text{yükseklik})^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 48^2 + 36^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 2304 + 1296 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 3600 = c^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{3600} \)
- Köşegen uzunluğunu bulalım: \( c = 60 \) cm ✅
Örnek 9:
Bir harita üzerinde, iki şehir arasındaki mesafenin kuş uçuşu 150 km olduğu gösterilmektedir. Ancak, bu iki şehir arasında düz bir yol bulunmamaktadır. Yol, bir dağlık bölgeden geçmektedir ve haritada bu yolun iki farklı bölümü verilmiştir: 90 km ve 120 km. Bu yolun toplam uzunluğu, kuş uçuşu mesafesinden ne kadar fazladır? ⛰️
Çözüm:
Bu soruda, Öklid'in Genel Teoremi'nin bir uygulaması olan Pisagor Teoremi'ni kullanarak yolun uzunluğunu hesaplayacağız. Kuş uçuşu mesafe, iki nokta arasındaki en kısa mesafedir ve genellikle bir dik üçgenin hipotenüsü ile ilişkilendirilebilir. Ancak burada verilen yol uzunlukları, dik üçgenin dik kenarlarını oluşturmaktadır.
- Kuş uçuşu mesafe (hipotenüs olarak düşünelim): \( c = 150 \) km.
- Yolun iki bölümü (dik kenarlar olarak düşünelim): \( a = 90 \) km ve \( b = 120 \) km.
- Bu yolun toplam uzunluğu: \( a + b = 90 + 120 = 210 \) km.
- Kuş uçuşu mesafesi ile yolun toplam uzunluğu arasındaki farkı bulalım: \( (\text{Yolun Toplam Uzunluğu}) - (\text{Kuş Uçuşu Mesafe}) \)
- Fark = \( 210 \) km - \( 150 \) km = \( 60 \) km ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-oklid-ve-pisagor-teoremi/sorular