🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Öklid Üçgenler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Öklid Üçgenler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
📌 Dik açısı A olan bir ABC dik üçgeninde, A köşesinden hipotenüs BC'ye indirilen dikme ayağı D'dir.
Eğer BD uzunluğu 4 cm ve DC uzunluğu 9 cm ise, AD uzunluğu kaç cm'dir?
Eğer BD uzunluğu 4 cm ve DC uzunluğu 9 cm ise, AD uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
- 👉 Bir dik üçgende, dik köşeden hipotenüse indirilen yüksekliğin uzunluğunun karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunluklarının çarpımına eşittir. Bu bağıntıya Öklid'in Yükseklik Bağıntısı denir.
- ✅ Formül: \( AD^2 = BD \cdot DC \)
- Verilenleri yerine yazalım:
- \( AD^2 = 4 \cdot 9 \)
- \( AD^2 = 36 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım:
- \( AD = \sqrt{36} \)
- \( AD = 6 \) cm bulunur.
Örnek 2:
📌 Dik açısı A olan bir ABC dik üçgeninde, A köşesinden hipotenüs BC'ye indirilen dikme ayağı D'dir.
Eğer BD uzunluğu 3 cm ve BC uzunluğu 12 cm ise, AB uzunluğu kaç cm'dir?
Eğer BD uzunluğu 3 cm ve BC uzunluğu 12 cm ise, AB uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
- 👉 Bir dik üçgende, dik kenarın uzunluğunun karesi, hipotenüs üzerinde kendine yakın olan parçanın uzunluğu ile hipotenüsün tamamının uzunluğunun çarpımına eşittir. Bu bağıntıya Öklid'in Kenar Bağıntısı denir.
- ✅ Formül: \( AB^2 = BD \cdot BC \)
- Verilenleri yerine yazalım:
- \( AB^2 = 3 \cdot 12 \)
- \( AB^2 = 36 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım:
- \( AB = \sqrt{36} \)
- \( AB = 6 \) cm bulunur.
Örnek 3:
📌 Bir ABC dik üçgeninde A açısı 90 derecedir. A noktasından BC kenarına indirilen dikme D noktasıdır.
AD uzunluğu 6 cm ve BD uzunluğu 4 cm olduğuna göre, AC uzunluğu kaç cm'dir?
AD uzunluğu 6 cm ve BD uzunluğu 4 cm olduğuna göre, AC uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
- 👉 Öncelikle Öklid'in Yükseklik Bağıntısı'nı kullanarak DC uzunluğunu bulmalıyız.
- ✅ \( AD^2 = BD \cdot DC \)
- Verilenleri yerine yazalım:
- \( 6^2 = 4 \cdot DC \)
- \( 36 = 4 \cdot DC \)
- Her iki tarafı 4'e bölelim:
- \( DC = \frac{36}{4} \)
- \( DC = 9 \) cm.
- Şimdi de Öklid'in Kenar Bağıntısı'nı kullanarak AC uzunluğunu bulalım.
- Hipotenüs BC'nin tamamı \( BC = BD + DC = 4 + 9 = 13 \) cm'dir.
- ✅ \( AC^2 = DC \cdot BC \)
- Verilenleri yerine yazalım:
- \( AC^2 = 9 \cdot 13 \)
- \( AC^2 = 117 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım:
- \( AC = \sqrt{117} \)
- \( AC = \sqrt{9 \cdot 13} \)
- \( AC = 3\sqrt{13} \) cm bulunur.
Örnek 4:
📌 Dik açısı A olan bir ABC dik üçgeninde, A köşesinden hipotenüs BC'ye indirilen dikme ayağı D'dir.
AB uzunluğu 10 cm ve BD uzunluğu 5 cm ise, AD uzunluğu kaç cm'dir?
AB uzunluğu 10 cm ve BD uzunluğu 5 cm ise, AD uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
- 👉 Öncelikle Öklid'in Kenar Bağıntısı'nı kullanarak hipotenüs BC'nin tamamını bulmalıyız.
- ✅ \( AB^2 = BD \cdot BC \)
- Verilenleri yerine yazalım:
- \( 10^2 = 5 \cdot BC \)
- \( 100 = 5 \cdot BC \)
- Her iki tarafı 5'e bölelim:
- \( BC = \frac{100}{5} \)
- \( BC = 20 \) cm.
- Şimdi DC uzunluğunu bulalım:
- \( DC = BC - BD = 20 - 5 = 15 \) cm.
- Son olarak Öklid'in Yükseklik Bağıntısı'nı kullanarak AD uzunluğunu bulalım.
- ✅ \( AD^2 = BD \cdot DC \)
- Verilenleri yerine yazalım:
- \( AD^2 = 5 \cdot 15 \)
- \( AD^2 = 75 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım:
- \( AD = \sqrt{75} \)
- \( AD = \sqrt{25 \cdot 3} \)
- \( AD = 5\sqrt{3} \) cm bulunur.
Örnek 5:
📌 Dik açısı A olan bir ABC dik üçgeninde, AB kenarının uzunluğu 9 cm ve AC kenarının uzunluğu 12 cm'dir.
Bu üçgenin hipotenüsüne ait yüksekliği (AD) kaç cm'dir?
Bu üçgenin hipotenüsüne ait yüksekliği (AD) kaç cm'dir?
Çözüm:
- 👉 Öncelikle Pisagor Teoremi'ni kullanarak hipotenüs BC'nin uzunluğunu bulmalıyız.
- ✅ \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \)
- Verilenleri yerine yazalım:
- \( 9^2 + 12^2 = BC^2 \)
- \( 81 + 144 = BC^2 \)
- \( 225 = BC^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım:
- \( BC = \sqrt{225} \)
- \( BC = 15 \) cm.
- Şimdi dik üçgenin alan formülünü kullanarak yüksekliği bulabiliriz. Bir dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısı veya hipotenüs ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır.
- ✅ \( Alan(ABC) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD \)
- Bu durumda: \( AB \cdot AC = BC \cdot AD \)
- Verilenleri yerine yazalım:
- \( 9 \cdot 12 = 15 \cdot AD \)
- \( 108 = 15 \cdot AD \)
- Her iki tarafı 15'e bölelim:
- \( AD = \frac{108}{15} \)
- Sadeleştirelim (her iki tarafı 3'e bölelim):
- \( AD = \frac{36}{5} \)
- \( AD = 7.2 \) cm bulunur.
Örnek 6:
📌 Bir ABC dik üçgeninde A açısı 90 derecedir. A noktasından BC kenarına indirilen dikme D noktasıdır.
Eğer AB uzunluğu 6 cm ve AC uzunluğu 8 cm ise, BD uzunluğu kaç cm'dir?
Eğer AB uzunluğu 6 cm ve AC uzunluğu 8 cm ise, BD uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
- 👉 Öncelikle Pisagor Teoremi'ni kullanarak hipotenüs BC'nin uzunluğunu bulmalıyız.
- ✅ \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \)
- Verilenleri yerine yazalım:
- \( 6^2 + 8^2 = BC^2 \)
- \( 36 + 64 = BC^2 \)
- \( 100 = BC^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım:
- \( BC = \sqrt{100} \)
- \( BC = 10 \) cm.
- Şimdi Öklid'in Kenar Bağıntısı'nı kullanarak BD uzunluğunu bulabiliriz.
- ✅ \( AB^2 = BD \cdot BC \)
- Verilenleri yerine yazalım:
- \( 6^2 = BD \cdot 10 \)
- \( 36 = BD \cdot 10 \)
- Her iki tarafı 10'a bölelim:
- \( BD = \frac{36}{10} \)
- \( BD = 3.6 \) cm bulunur.
Örnek 7:
🌳 Bir şehir parkının krokisinde, dik üçgen biçiminde bir yürüyüş yolu gösterilmiştir. Bu üçgenin dik köşesi A, diğer köşeleri B ve C'dir. A noktasından hipotenüs BC üzerine dik olarak bir aydınlatma direği (AD) yerleştirilmiştir.
Eğer B noktasından D noktasına kadar olan mesafe 5 metre ve D noktasından C noktasına kadar olan mesafe 20 metre ise, aydınlatma direğinin (AD) yüksekliği kaç metredir?
Eğer B noktasından D noktasına kadar olan mesafe 5 metre ve D noktasından C noktasına kadar olan mesafe 20 metre ise, aydınlatma direğinin (AD) yüksekliği kaç metredir?
Çözüm:
- 💡 Bu problem, bir dik üçgende dik köşeden hipotenüse indirilen yüksekliği bulma problemidir. Öklid'in Yükseklik Bağıntısı'nı kullanacağız.
- AD: Aydınlatma direğinin yüksekliği (h)
- BD: Hipotenüs üzerindeki ilk parça (p) = 5 metre
- DC: Hipotenüs üzerindeki ikinci parça (k) = 20 metre
- ✅ Formül: \( AD^2 = BD \cdot DC \)
- Verilenleri yerine yazalım:
- \( AD^2 = 5 \cdot 20 \)
- \( AD^2 = 100 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım:
- \( AD = \sqrt{100} \)
- \( AD = 10 \) metre bulunur.
- Sonuç olarak, aydınlatma direğinin yüksekliği 10 metredir. ✅
Örnek 8:
🏗️ Bir inşaat mühendisi, dik açılı bir çatının destek yapısını inceliyor. Çatının en yüksek noktasından (A) zemine (BC hipotenüsü) dik bir destek direği (AD) inmektedir. Bu destek direğinin zemini ayırdığı parçalardan biri (BD) 4 metre, diğer parça (DC) ise 9 metredir. Mühendis, bu destek direğinin (AD) uzunluğunu hesaplamak istiyor.
Destek direğinin yüksekliği kaç metredir?
Destek direğinin yüksekliği kaç metredir?
Çözüm:
- 💡 Bu senaryo, bir dik üçgende dik köşeden hipotenüse indirilen yüksekliğin uzunluğunu bulma durumuyla birebir örtüşmektedir. Öklid'in Yükseklik Bağıntısı'nı kullanabiliriz.
- AD: Destek direğinin yüksekliği (h)
- BD: Hipotenüs üzerindeki birinci parça (p) = 4 metre
- DC: Hipotenüs üzerindeki ikinci parça (k) = 9 metre
- ✅ Formül: \( AD^2 = BD \cdot DC \)
- Verilen değerleri formülde yerine koyalım:
- \( AD^2 = 4 \cdot 9 \)
- \( AD^2 = 36 \)
- Her iki tarafın karekökünü alarak AD'yi bulalım:
- \( AD = \sqrt{36} \)
- \( AD = 6 \) metre bulunur.
- Yani, destek direğinin yüksekliği 6 metredir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-oklid-ucgenler/sorular