🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Öklid Teoremi Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Öklid Teoremi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC dik üçgeninde \(A\) açısı \(90^\circ\)'dir. \(A\) köşesinden \([BC]\) hipotenüsüne indirilen dikme ayağı \(D\) noktasıdır.
\(|BD| = 4\) cm ve \(|DC| = 9\) cm olduğuna göre, \(|AD| = h\) yüksekliği kaç cm'dir?
\(|BD| = 4\) cm ve \(|DC| = 9\) cm olduğuna göre, \(|AD| = h\) yüksekliği kaç cm'dir?
Çözüm:
- Öklid Teoremi'nin yükseklik bağıntısına göre, bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, bu yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunluklarının çarpımına eşittir.
- Kullanacağımız formül: \[h^2 = |BD| \cdot |DC|\]
- Verilen değerleri formülde yerine yazalım: \[h^2 = 4 \cdot 9\]
- \[h^2 = 36\]
- Her iki tarafın karekökünü aldığımızda: \[h = 6\] cm olarak bulunur.
Örnek 2:
Bir ABC dik üçgeninde \(A\) açısı \(90^\circ\)'dir. \([AD] \perp [BC]\) olacak şekilde \(D \in [BC]\) noktası belirleniyor.
\(|BD| = 2\) cm ve \(|DC| = 8\) cm olduğuna göre, \(|AB| = c\) dik kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
\(|BD| = 2\) cm ve \(|DC| = 8\) cm olduğuna göre, \(|AB| = c\) dik kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
- Öklid Teoremi'nin dik kenar bağıntısına göre, bir dik kenarın uzunluğunun karesi, o kenarın hipotenüs üzerindeki dik izdüşüm uzunluğu ile hipotenüsün tamamının uzunluğunun çarpımına eşittir.
- Öncelikle hipotenüsün tamamını bulalım: \[|BC| = |BD| + |DC| = 2 + 8 = 10\] cm'dir.
- İlgili formülümüz: \[|AB|^2 = |BD| \cdot |BC|\]
- Değerleri yerine yazalım: \[c^2 = 2 \cdot 10\]
- \[c^2 = 20\]
- Her iki tarafın karekökünü alırsak: \[c = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\] cm bulunur.
Örnek 3:
Bir ABC dik üçgeninde \(A\) açısı \(90^\circ\)'dir. \([AD] \perp [BC]\) ve \(D \in [BC]\)'dir.
\(|AD| = 12\) cm ve \(|BD| = 9\) cm olduğuna göre, \(|AC| = b\) dik kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
\(|AD| = 12\) cm ve \(|BD| = 9\) cm olduğuna göre, \(|AC| = b\) dik kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
- İlk olarak Öklid'in yükseklik bağıntısını kullanarak \(|DC|\) uzunluğunu hesaplayalım: \[|AD|^2 = |BD| \cdot |DC|\]
- Değerleri yerine yazalım: \[12^2 = 9 \cdot |DC|\]
- \[144 = 9 \cdot |DC|\]
- Her iki tarafı \(9\)'a bölersek: \[|DC| = 16\] cm bulunur.
- Şimdi \(|AC| = b\) dik kenarını bulmak için dik kenar bağıntısını uygulayalım. Hipotenüsün tamamı: \[|BC| = |BD| + |DC| = 9 + 16 = 25\] cm'dir.
- Formülümüz: \[|AC|^2 = |DC| \cdot |BC|\]
- \[b^2 = 16 \cdot 25\]
- \[b^2 = 400\]
- Her iki tarafın karekökünü aldığımızda: \[b = 20\] cm olarak bulunur.
Örnek 4:
Bir ABC dik üçgeninde \([AB] \perp [AC]\) ve \([AD] \perp [BC]\)'dir.
\(|BD| = x\) cm, \(|DC| = x + 5\) cm ve \(|AD| = 6\) cm olduğuna göre, hipotenüsün uzunluğu kaç cm'dir?
\(|BD| = x\) cm, \(|DC| = x + 5\) cm ve \(|AD| = 6\) cm olduğuna göre, hipotenüsün uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
- Öklid'in yükseklik bağıntısını uygulayalım: \[|AD|^2 = |BD| \cdot |DC|\]
- Değerleri yerine yazalım: \[6^2 = x \cdot (x + 5)\]
- \[36 = x^2 + 5x\]
- Denklemi düzenleyelim: \[x^2 + 5x - 36 = 0\]
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım: \[(x + 9)(x - 4) = 0\]
- Uzunluk negatif olamayacağı için \(x = 4\) olmalıdır.
- Bizden istenen hipotenüsün tamamı olan \(|BC|\) uzunluğudur: \[|BC| = |BD| + |DC| = x + (x + 5) = 2x + 5\]
- \(x = 4\) değerini yerine yazarsak: \[|BC| = 2 \cdot 4 + 5 = 13\] cm bulunur.
Örnek 5:
Bir ABC dik üçgeninde \([AB] \perp [AC]\) ve \([AD] \perp [BC]\)'dir.
\(|AB| = 15\) cm ve \(|AC| = 20\) cm olduğuna göre, hipotenüse ait \(|AD| = h\) yüksekliği kaç cm'dir?
\(|AB| = 15\) cm ve \(|AC| = 20\) cm olduğuna göre, hipotenüse ait \(|AD| = h\) yüksekliği kaç cm'dir?
Çözüm:
- Öncelikle \(ABC\) dik üçgeninde Pisagor teoremini kullanarak hipotenüsü bulalım: \[|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2\]
- \[|BC|^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625\]
- \[|BC| = 25\] cm (Bu üçgen \(3-4-5\) özel üçgeninin \(5\) katı olan \(15-20-25\) üçgenidir).
- Öklid alan bağıntısına göre (dik kenarların çarpımı, hipotenüs ile yüksekliğin çarpımına eşittir): \[|AB| \cdot |AC| = |BC| \cdot |AD|\]
- Değerleri yerine yazalım: \[15 \cdot 20 = 25 \cdot h\]
- \[300 = 25 \cdot h\]
- Her iki tarafı \(25\)'e bölersek yüksekliği: \[h = 12\] cm olarak buluruz.
Örnek 6:
💡 Bir parkta kaydırak tasarlayan bir mühendis, kaydırağın merdiven desteğini güvenli hale getirmek için dik üçgen modelinden yararlanıyor.
Kaydırağın tepe noktasındaki açı \(90^\circ\) olup, bu noktadan yere inen dik destek direği yerdeki iki sabitleme noktası arasını dik olarak kesmektedir. Destek direğinin sol tarafında kalan zemin mesafesi \(3\) metre, sağ tarafında kalan zemin mesafesi ise \(12\) metredir.
Buna göre, bu dik destek direğinin yüksekliği kaç metredir?
Kaydırağın tepe noktasındaki açı \(90^\circ\) olup, bu noktadan yere inen dik destek direği yerdeki iki sabitleme noktası arasını dik olarak kesmektedir. Destek direğinin sol tarafında kalan zemin mesafesi \(3\) metre, sağ tarafında kalan zemin mesafesi ise \(12\) metredir.
Buna göre, bu dik destek direğinin yüksekliği kaç metredir?
Çözüm:
- Kaydırağın yapısı bir dik üçgen oluşturmaktadır ve tepe açısı \(90^\circ\)'dir.
- Tepe noktasından yere indirilen dik destek direği, Öklid teoreminin yükseklik bağıntısını uygulamamızı sağlar.
- Yerdeki sol parça \(p = 3\) metre ve sağ parça \(k = 12\) metredir.
- Yükseklik formülünü uygulayalım: \[h^2 = p \cdot k\]
- \[h^2 = 3 \cdot 12\]
- \[h^2 = 36\]
- Her iki tarafın karekökünü aldığımızda destek direğinin yüksekliği: \[h = 6\] metre olarak bulunur.
Örnek 7:
🛠️ Bir marangoz, dik üçgen şeklinde şık bir kitaplık rafı tasarlıyor. Rafın dik köşesinden karşı kenara bir destek çıtası yerleştiriyor.
Bu destek çıtası, karşı kenarı \(8\) cm ve \(18\) cm uzunluğunda iki parçaya ayırıyor ve bu çıta karşı kenara dik konumdadır.
Marangozun kullandığı bu destek çıtasının uzunluğu kaç cm'dir?
Bu destek çıtası, karşı kenarı \(8\) cm ve \(18\) cm uzunluğunda iki parçaya ayırıyor ve bu çıta karşı kenara dik konumdadır.
Marangozun kullandığı bu destek çıtasının uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
- Marangozun tasarladığı raf bir dik üçgen oluşturmaktadır.
- Dik köşeden indirilen destek çıtası, hipotenüse ait yükseklik görevini görür.
- Öklid'in yükseklik teoremini kullanabiliriz: \[h^2 = p \cdot k\]
- Burada \(p = 8\) cm ve \(k = 18\) cm'dir.
- Değerleri yerine koyalım: \[h^2 = 8 \cdot 18\]
- \[h^2 = 144\]
- Her iki tarafın karekökünü aldığımızda destek çıtasının uzunluğu: \[h = 12\] cm olarak hesaplanır.
Örnek 8:
📱 Bir akıllı telefon standı, yandan bakıldığında bir dik üçgen oluşturacak şekilde tasarlanmıştır.
Standın dik açılı köşesinden zemine indirilen dikme, standın tabanını \(x\) cm ve \(x + 9\) cm uzunluğunda iki parçaya ayırmaktadır.
İndirilen dikmenin uzunluğu \(6\) cm olduğuna göre, standın taban uzunluğu toplam kaç cm'dir?
Standın dik açılı köşesinden zemine indirilen dikme, standın tabanını \(x\) cm ve \(x + 9\) cm uzunluğunda iki parçaya ayırmaktadır.
İndirilen dikmenin uzunluğu \(6\) cm olduğuna göre, standın taban uzunluğu toplam kaç cm'dir?
Çözüm:
- Standın yan kesiti bir dik üçgen olup, dik köşeden tabana indirilen dikme Öklid teoremini uygulamamızı sağlar.
- Yükseklik \(h = 6\) cm'dir.
- Tabanda ayrılan parçalar \(p = x\) cm ve \(k = x + 9\) cm'dir.
- Öklid yükseklik formülünü yazalım: \[h^2 = p \cdot k\]
- \[6^2 = x \cdot (x + 9)\]
- \[36 = x^2 + 9x\]
- Denklemi sıfıra eşitleyelim: \[x^2 + 9x - 36 = 0\]
- Çarpanlarına ayıralım: \[(x + 12)(x - 3) = 0\]
- Uzunluk değeri negatif olamayacağı için \(x = 3\) olmalıdır.
- Standın taban uzunluğu bu iki parçanın toplamıdır: \[Taban = x + (x + 9) = 2x + 9\]
- \(x = 3\) değerini yerine yazalım: \[Taban = 2 \cdot 3 + 9 = 15\] cm olarak bulunur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-oklid-teoremi/sorular