🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Öklid Teoremi Ve Pisagor Teoremi Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Öklid Teoremi Ve Pisagor Teoremi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
📏 Bir dik üçgenin dik kenar uzunlukları 3 cm ve 4 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. 💡
Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
Dik kenarlar \(a\) ve \(b\), hipotenüs \(c\) olmak üzere, formülümüz: \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
Dik kenarlar \(a\) ve \(b\), hipotenüs \(c\) olmak üzere, formülümüz: \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
- 👉 Verilen dik kenar uzunlukları: \(a = 3\) cm ve \(b = 4\) cm.
- 👉 Hipotenüsü \(c\) ile gösterelim.
- Şimdi formülde yerine koyalım: \[ 3^2 + 4^2 = c^2 \]
- Kareleri alalım: \[ 9 + 16 = c^2 \]
- Toplama işlemini yapalım: \[ 25 = c^2 \]
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \[ \sqrt{25} = \sqrt{c^2} \]
- Sonuç olarak: \[ c = 5 \]
Örnek 2:
📐 Bir ABC dik üçgeninde, B açısı 90 derecedir. AB kenarının uzunluğu 6 cm ve BC kenarının uzunluğu 8 cm ise, AC kenarının uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu soru da yine Pisagor Teoremi'nin doğrudan bir uygulamasıdır. 📌
ABC üçgeni B noktasında dik açılı olduğuna göre, AB ve BC dik kenarlar, AC ise hipotenüstür.
ABC üçgeni B noktasında dik açılı olduğuna göre, AB ve BC dik kenarlar, AC ise hipotenüstür.
- 👉 Dik kenarlar: \(AB = 6\) cm ve \(BC = 8\) cm.
- 👉 Hipotenüs: \(AC\) (Bunu bulmalıyız).
- Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: \[ AB^2 + BC^2 = AC^2 \]
- Değerleri yerine yazalım: \[ 6^2 + 8^2 = AC^2 \]
- Karelerini hesaplayalım: \[ 36 + 64 = AC^2 \]
- Toplayalım: \[ 100 = AC^2 \]
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \[ \sqrt{100} = \sqrt{AC^2} \]
- Sonuç: \[ AC = 10 \]
Örnek 3:
📏 Bir dik üçgende, dik açıdan hipotenüse çizilen yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunlukları 2 cm ve 8 cm'dir. Bu yüksekliğin uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Öklid Yükseklik Teoremi'ni kullanacağız. 💡
Öklid Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik açıdan hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunluklarının çarpımına eşittir.
Yükseklik \(h\), hipotenüs üzerindeki parçalar \(p\) ve \(k\) olmak üzere, formülümüz: \[ h^2 = p \cdot k \]
Öklid Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik açıdan hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunluklarının çarpımına eşittir.
Yükseklik \(h\), hipotenüs üzerindeki parçalar \(p\) ve \(k\) olmak üzere, formülümüz: \[ h^2 = p \cdot k \]
- 👉 Verilen parçaların uzunlukları: \(p = 2\) cm ve \(k = 8\) cm.
- 👉 Yüksekliği \(h\) ile gösterelim.
- Şimdi formülde yerine koyalım: \[ h^2 = 2 \cdot 8 \]
- Çarpma işlemini yapalım: \[ h^2 = 16 \]
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \[ \sqrt{h^2} = \sqrt{16} \]
- Sonuç olarak: \[ h = 4 \]
Örnek 4:
📐 Bir ABC dik üçgeninde, A açısı 90 derecedir. A köşesinden hipotenüs BC'ye indirilen dikmenin ayağı H'dir. BH uzunluğu 3 cm ve BC uzunluğu 12 cm ise, AB kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Öklid Dik Kenar Teoremi'ni kullanacağız. 📌
Öklid Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarın karesi, kendi tarafındaki hipotenüs parçasının uzunluğu ile tüm hipotenüs uzunluğunun çarpımına eşittir.
AB kenarını bulmak için \(AB^2 = BH \cdot BC\) formülünü kullanacağız.
Öklid Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarın karesi, kendi tarafındaki hipotenüs parçasının uzunluğu ile tüm hipotenüs uzunluğunun çarpımına eşittir.
AB kenarını bulmak için \(AB^2 = BH \cdot BC\) formülünü kullanacağız.
- 👉 Verilenler: \(BH = 3\) cm ve \(BC = 12\) cm.
- 👉 AB kenarını bulmalıyız.
- Formülü uygulayalım: \[ AB^2 = BH \cdot BC \]
- Değerleri yerine yazalım: \[ AB^2 = 3 \cdot 12 \]
- Çarpma işlemini yapalım: \[ AB^2 = 36 \]
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \[ \sqrt{AB^2} = \sqrt{36} \]
- Sonuç: \[ AB = 6 \]
Örnek 5:
🏗️ Bir ABC dik üçgeninde, A açısı 90 derecedir. A köşesinden hipotenüs BC'ye indirilen dikmenin ayağı H'dir. AH yüksekliği 6 cm'dir. BH uzunluğu 4 cm ise, HC uzunluğu ve AC kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Bu soruda hem Öklid Yükseklik hem de Öklid Dik Kenar Teoremi'ni kullanacağız. ✨
1. Adım: HC uzunluğunu bulma (Öklid Yükseklik Teoremi)
- 👉 Yükseklik \(AH = 6\) cm, hipotenüs parçası \(BH = 4\) cm.
- Öklid Yükseklik Teoremi: \(AH^2 = BH \cdot HC\)
- Değerleri yerine yazalım: \[ 6^2 = 4 \cdot HC \]
- Hesaplayalım: \[ 36 = 4 \cdot HC \]
- HC'yi bulmak için her iki tarafı 4'e bölelim: \[ HC = \frac{36}{4} \]
- Sonuç: \[ HC = 9 \]
2. Adım: AC kenarının uzunluğunu bulma (Öklid Dik Kenar Teoremi)
- 👉 HC uzunluğunu 9 cm olarak bulduk. Tüm hipotenüs \(BC = BH + HC = 4 + 9 = 13\) cm.
- Öklid Dik Kenar Teoremi: \(AC^2 = HC \cdot BC\)
- Değerleri yerine yazalım: \[ AC^2 = 9 \cdot 13 \]
- Çarpma işlemini yapalım: \[ AC^2 = 117 \]
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \[ AC = \sqrt{117} \]
- Karekökü sadeleştirelim (\(117 = 9 \cdot 13\)): \[ AC = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13} \]
Örnek 6:
🪜 Bir itfaiye merdiveni, düz bir duvara dayanmıştır. Merdivenin alt ucu duvardan 5 metre uzakta ve merdivenin üst ucu yerden 12 metre yükseklikte bir pencereye ulaşıyor. Bu merdivenin uzunluğu kaç metredir?
Çözüm:
Bu problem, duvar, yer ve merdiven arasında bir dik üçgen oluşturduğu için Pisagor Teoremi ile çözülebilir. 🚒
- 👉 Duvar ve yer birbirine diktir, dolayısıyla aralarındaki açı 90 derecedir.
- 👉 Merdivenin alt ucunun duvara uzaklığı (dik kenar) \(a = 5\) metre.
- 👉 Merdivenin üst ucunun yerden yüksekliği (diğer dik kenar) \(b = 12\) metre.
- 👉 Merdivenin uzunluğu (hipotenüs) \(c\) ile gösterilir.
- Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
- Değerleri yerine yazalım: \[ 5^2 + 12^2 = c^2 \]
- Karelerini hesaplayalım: \[ 25 + 144 = c^2 \]
- Toplayalım: \[ 169 = c^2 \]
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \[ \sqrt{169} = \sqrt{c^2} \]
- Sonuç: \[ c = 13 \]
Örnek 7:
🛣️ Düz bir yolda ilerleyen bir araç, A noktasından B noktasına gitmek istiyor. A noktasından yola dik olarak çıkan bir köprü ayağı C noktasındadır. Köprü ayağının uzunluğu (AC) 20 metredir. A noktasından C noktasına olan uzaklık, C noktasından B noktasına olan uzaklığın 4 katıdır. (Yani \(AC^2 = AD \cdot AB\) benzeri bir durum, ancak burada dik üçgeni belirginleştirelim).
Daha net bir geometri kuralım: Bir ABC dik üçgeni düşünün, A açısı 90 derecedir. A noktasından hipotenüs BC'ye indirilen dikmenin ayağı D olsun. AD yüksekliği 10 metredir. BD uzunluğu 5 metre ise, AB kenarının uzunluğu kaç metredir?
Daha net bir geometri kuralım: Bir ABC dik üçgeni düşünün, A açısı 90 derecedir. A noktasından hipotenüs BC'ye indirilen dikmenin ayağı D olsun. AD yüksekliği 10 metredir. BD uzunluğu 5 metre ise, AB kenarının uzunluğu kaç metredir?
Çözüm:
Bu problem, bir dik üçgende yükseklik ve dik kenar bağıntılarını içeren bir Öklid Teoremi uygulamasıdır. 🗺️
- 👉 Üçgenimiz ABC dik üçgeni ve D noktası hipotenüs üzerindeki dikme ayağıdır.
- 👉 Verilenler: Yükseklik \(AD = 10\) metre, hipotenüsün bir parçası \(BD = 5\) metre.
1. Adım: Hipotenüsün diğer parçasını (DC) bulalım.
- Öklid Yükseklik Teoremi: \(AD^2 = BD \cdot DC\)
- Değerleri yerine yazalım: \[ 10^2 = 5 \cdot DC \]
- Hesaplayalım: \[ 100 = 5 \cdot DC \]
- DC'yi bulmak için her iki tarafı 5'e bölelim: \[ DC = \frac{100}{5} \]
- Sonuç: \[ DC = 20 \] metre.
2. Adım: AB kenarının uzunluğunu bulalım.
- Öklid Dik Kenar Teoremi: \(AB^2 = BD \cdot BC\)
- Önce tüm hipotenüs \(BC = BD + DC = 5 + 20 = 25\) metre.
- Şimdi AB'yi bulalım: \[ AB^2 = 5 \cdot 25 \]
- Çarpma işlemini yapalım: \[ AB^2 = 125 \]
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \[ AB = \sqrt{125} \]
- Karekökü sadeleştirelim (\(125 = 25 \cdot 5\)): \[ AB = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5} \]
Örnek 8:
🌳 Bir ABC dik üçgeninde, A açısı 90 derecedir. A köşesinden hipotenüs BC'ye indirilen dikmenin ayağı H'dir. AB kenarının uzunluğu \(2\sqrt{5}\) cm ve BH uzunluğu 2 cm olduğuna göre, üçgenin alanı kaç \(cm^2\)'dir?
Çözüm:
Bu problemde, Öklid Teoremi ve Pisagor Teoremi'ni kullanarak üçgenin alanını bulacağız. 📐
1. Adım: Hipotenüs BC'nin tamamını bulalım.
- AB dik kenarı ve BH hipotenüs parçası verildiği için Öklid Dik Kenar Teoremi'ni kullanabiliriz: \(AB^2 = BH \cdot BC\).
- Değerleri yerine yazalım: \[ (2\sqrt{5})^2 = 2 \cdot BC \]
- Kare alma işlemini yapalım: \[ (2^2 \cdot (\sqrt{5})^2) = 2 \cdot BC \]
- \[ (4 \cdot 5) = 2 \cdot BC \]
- \[ 20 = 2 \cdot BC \]
- BC'yi bulmak için her iki tarafı 2'ye bölelim: \[ BC = 10 \] cm.
2. Adım: HC uzunluğunu bulalım.
- Hipotenüs \(BC = 10\) cm ve \(BH = 2\) cm olduğundan, \(HC = BC - BH\).
- \[ HC = 10 - 2 = 8 \] cm.
3. Adım: Yükseklik AH'yi bulalım.
- Öklid Yükseklik Teoremi'ni kullanalım: \(AH^2 = BH \cdot HC\).
- Değerleri yerine yazalım: \[ AH^2 = 2 \cdot 8 \]
- Çarpma işlemini yapalım: \[ AH^2 = 16 \]
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \[ AH = 4 \] cm.
4. Adım: Üçgenin alanını bulalım.
- Bir dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısıdır. Ancak burada AH yüksekliğini ve BC tabanını biliyoruz.
- Alan = \(\frac{\text{taban} \cdot \text{yükseklik}}{2}\)
- Alan = \(\frac{BC \cdot AH}{2}\)
- Değerleri yerine yazalım: \[ \text{Alan} = \frac{10 \cdot 4}{2} \]
- Hesaplayalım: \[ \text{Alan} = \frac{40}{2} \]
- Sonuç: \[ \text{Alan} = 20 \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-oklid-teoremi-ve-pisagor-teoremi/sorular