💡 9. Sınıf Matematik: Öklid teoremi, Pisagor ve Tales teoremleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Öklid teoremi, Pisagor ve Tales teoremleri Çözümlü Örnekler
Pisagor Teoremi'ne göre, dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
- Dik kenarlarımız: \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm
- Hipotenüs: \( c \)
Teoremi uygulayalım:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \] \[ 6^2 + 8^2 = c^2 \] \[ 36 + 64 = c^2 \] \[ 100 = c^2 \]Her iki tarafın karekökünü alırsak:
\[ c = \sqrt{100} \] \[ c = 10 \]Sonuç olarak, hipotenüs uzunluğu 10 cm'dir. ✅
- Duvarın yüksekliği (dik kenar): \( a = 4 \) metre
- Yere olan uzaklık (diğer dik kenar): \( b = 3 \) metre
- Merdivenin uzunluğu (hipotenüs): \( c \)
Yine Pisagor Teoremi'ni kullanıyoruz:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \] \[ 4^2 + 3^2 = c^2 \] \[ 16 + 9 = c^2 \] \[ 25 = c^2 \]Karekök alırsak:
\[ c = \sqrt{25} \] \[ c = 5 \]Merdivenin uzunluğu 5 metre'dir. 👉
Paralel doğrular ve kesen ilişkisinde:
- Yöndeş Açılar birbirine eşittir.
- İç Ters Açılar birbirine eşittir.
- Dış Ters Açılar birbirine eşittir.
- Karşı Durumlu Açılar birbirini 180 dereceye tamamlar.
Verilen açı 50 derece. Karşı durumlu açı, bu açıyla bütünlerdir.
Karşı durumlu açının ölçüsü = \( 180^\circ - 50^\circ \)
Karşı durumlu açının ölçüsü = \( 130^\circ \)
Dolayısıyla, karşı durumlu açının ölçüsü 130 derece'dir. ✅
Önce orijinal üçgenin kenar uzunluklarını ve en kısa kenarını belirleyelim:
- En kısa kenar (AB): 12 cm
- Orta kenar (AC): 18 cm
- En uzun kenar (BC): 24 cm
Yeni oluşan benzer üçgenin en kısa kenarı 4 cm olarak verilmiş.
Benzerlik oranını bulmak için, yeni üçgenin en kısa kenarını orijinal üçgenin en kısa kenarına böleriz:
\[ Oran = \frac{Yeni \ Üçgen \ En \ Kısa \ Kenar }{Orijinal \ Üçgen \ En \ Kısa \ Kenar } = \frac{4 \ cm}{12 \ cm} \] \[ Oran = \frac{1}{3} \]Bu oran, yeni üçgenin tüm kenarlarının orijinal üçgenin karşılık gelen kenarlarının \( \frac{1}{3} \) katı olduğu anlamına gelir. 👉
Yeni üçgenin orta kenarı:
\[ Yeni \ Orta \ Kenar = Orijinal \ Orta \ Kenar \times Oran \] \[ Yeni \ Orta \ Kenar = 18 \ cm \times \frac{1}{3} = 6 \ cm \]Yeni üçgenin en uzun kenarı:
\[ Yeni \ En \ Uzun \ Kenar = Orijinal \ En \ Uzun \ Kenar \times Oran \] \[ Yeni \ En \ Uzun \ Kenar = 24 \ cm \times \frac{1}{3} = 8 \ cm \]Yeni üçgenin kenar uzunlukları 4 cm, 6 cm ve 8 cm'dir. ✅
- Dik kenar \( a = 5 \) cm
- Hipotenüs \( c = 13 \) cm
- Diğer dik kenar \( b = ? \)
Pisagor Teoremi:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \] \[ 5^2 + b^2 = 13^2 \] \[ 25 + b^2 = 169 \] \[ b^2 = 169 - 25 \] \[ b^2 = 144 \] \[ b = \sqrt{144} \] \[ b = 12 \ cm \]Şimdi dik kenarları biliyoruz: 5 cm ve 12 cm. 💡
Bir dik üçgenin alanı şu formülle bulunur:
\[ Alan = \frac{Dik \ Kenar \ 1 \times Dik \ Kenar \ 2}{2} \] \[ Alan = \frac{5 \ cm \times 12 \ cm}{2} \] \[ Alan = \frac{60 \ cm^2}{2} \] \[ Alan = 30 \ cm^2 \]Bu dik üçgenin alanı 30 cm²'dir. ✅
- Binanın yüksekliği, dik üçgenin bir dik kenarıdır: \( a = 12 \) metre
- Binanın tabanından olan uzaklık, diğer dik kenardır: \( b = 5 \) metre
- Görüş açısı, bu iki kenar arasındaki açıdır (genellikle \( \theta \) ile gösterilir).
Trigonometride, bir açının tanjantı karşı dik kenarın komşu dik kenara oranı olarak tanımlanır.
\[ \tan(\theta) = \frac{Karşı \ Dik \ Kenar}{Komşu \ Dik \ Kenar} \]Bu durumda:
\[ \tan(\theta) = \frac{Binanın \ Yüksekliği}{Binanın \ Tabanından \ Uzaklık} \] \[ \tan(\theta) = \frac{12 \ m}{5 \ m} \] \[ \tan(\theta) = \frac{12}{5} \]Görüş açısının tanjantı 12/5'tir. 👉
Paralel iki doğru ve bunları kesen bir doğru olduğunda, oluşan açılar arasında belirli ilişkiler vardır.
- Verilen ilk açı: \( 70^\circ \)
- Diğer açı: \( x \)
Bu iki açı, paralel doğrular ile kesenin yaptığı açılardan iç ters açılar veya yöndeş açılar ile ilişkilidir. Eğer 70 derecelik açı, içte ve ters tarafta ise, \( x \) de iç tersi olur ve \( x = 70^\circ \) olur. Eğer 70 derecelik açı, dışta ve aynı yönde ise, \( x \) ile yöndeş olur ve \( x = 70^\circ \) olur.
Ancak soruda "sırasıyla" ifadesi, farklı konumlardaki açıları belirtir. Eğer 70 derecelik açı ile \( x \) açısı karşı durumlu açılar ise, toplamları 180 derece olmalıdır.
Bu durumda:
\[ 70^\circ + x = 180^\circ \] \[ x = 180^\circ - 70^\circ \] \[ x = 110^\circ \]Eğer soruda belirtilen 70 derecelik açı ile \( x \) açısı yöndeş açılar ise, \( x = 70^\circ \) olurdu. Ancak "sırasıyla" ifadesi, bu iki açının farklı ilişkilerde olduğunu ima eder. En yaygın senaryo, bu açıların toplamının 180 derece olduğu durumdur.
Bu senaryoya göre \( x \) açısının değeri 110 derece'dir. 💡
Durumu bir dik üçgen olarak düşünelim:
- Binanın yüksekliği (karşı dik kenar): \( h \)
- Mühendisin durduğu nokta ile bina arasındaki uzaklık (komşu dik kenar): \( 20 \) metre
- Yükseliş açısı: \( 45^\circ \)
Tanjant fonksiyonunu kullanacağız:
\[ \tan(\theta) = \frac{Karşı \ Dik \ Kenar}{Komşu \ Dik \ Kenar} \]Burada \( \theta = 45^\circ \) ve komşu dik kenar \( 20 \) metredir.
\[ \tan(45^\circ) = \frac{h}{20 \ m} \]Bildiğimiz gibi, \( \tan(45^\circ) = 1 \)'dir. 📌
\[ 1 = \frac{h}{20} \]Denklemi \( h \) için çözersek:
\[ h = 1 \times 20 \] \[ h = 20 \ m \]Binanın yüksekliği 20 metre'dir. ✅
Pisagor Teoremi'ne göre:
\[ x^2 + y^2 = z^2 \]Soruda bize \( x = 2y \) olduğu verilmiş. Bu bilgiyi denklemde yerine koyalım:
\[ (2y)^2 + y^2 = z^2 \]Kareleri alalım:
\[ 4y^2 + y^2 = z^2 \]Terimleri toplayalım:
\[ 5y^2 = z^2 \]Şimdi \( z \) uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:
\[ z = \sqrt{5y^2} \]Karekök dışına alabileceğimiz terimleri çıkaralım:
\[ z = \sqrt{5} \times \sqrt{y^2} \] \[ z = y\sqrt{5} \]Sonuç olarak, hipotenüs \( z \), \( y \) cinsinden \( y\sqrt{5} \) olarak ifade edilir. 👉
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-oklid-teoremi-pisagor-ve-tales-teoremleri/sorular