Bir merdiven, duvara yaslanmıştır. Merdivenin yere değen ucu duvardan 3 metre, merdivenin tepesinin yere yüksekliği ise 4 metredir. Merdivenin uzunluğu kaç metredir? 🪜
Çözüm ve Açıklama
Bu durum, bir dik üçgen oluşturur. 💡
Duvarın yüksekliği (dik kenar): \( a = 4 \) metre
Yere olan uzaklık (diğer dik kenar): \( b = 3 \) metre
Paralel iki doğru, bir kesenle kesiliyor. Kesenin oluşturduğu açılardan biri 50 derecedir. Karşı durumlu açının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda Tales Teoremi'nin açılarla ilgili sonuçlarından yararlanacağız. 📌
Paralel doğrular ve kesen ilişkisinde:
Yöndeş Açılar birbirine eşittir.
İç Ters Açılar birbirine eşittir.
Dış Ters Açılar birbirine eşittir.
Karşı Durumlu Açılar birbirini 180 dereceye tamamlar.
Verilen açı 50 derece. Karşı durumlu açı, bu açıyla bütünlerdir.
Karşı durumlu açının ölçüsü = \( 180^\circ - 50^\circ \)
Karşı durumlu açının ölçüsü = \( 130^\circ \)
Dolayısıyla, karşı durumlu açının ölçüsü 130 derece'dir. ✅
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir ABC üçgeninde, AB kenarı 12 cm, AC kenarı 18 cm ve BC kenarı 24 cm'dir. Bu üçgenin kenarları orantılı olarak küçültülerek benzer bir üçgen oluşturulacaktır. Eğer oluşan yeni üçgenin en kısa kenarı 4 cm ise, bu yeni üçgenin diğer kenarlarının uzunluklarını bulunuz. 📏
Çözüm ve Açıklama
Bu soru Tales Teoremi'nin temel mantığı olan benzerlik üzerine kuruludur. 💡
Önce orijinal üçgenin kenar uzunluklarını ve en kısa kenarını belirleyelim:
En kısa kenar (AB): 12 cm
Orta kenar (AC): 18 cm
En uzun kenar (BC): 24 cm
Yeni oluşan benzer üçgenin en kısa kenarı 4 cm olarak verilmiş.
Benzerlik oranını bulmak için, yeni üçgenin en kısa kenarını orijinal üçgenin en kısa kenarına böleriz:
\[ Oran = \frac{Yeni \ Üçgen \ En \ Kısa \ Kenar }{Orijinal \ Üçgen \ En \ Kısa \ Kenar } = \frac{4 \ cm}{12 \ cm} \]
\[ Oran = \frac{1}{3} \]
Bu oran, yeni üçgenin tüm kenarlarının orijinal üçgenin karşılık gelen kenarlarının \( \frac{1}{3} \) katı olduğu anlamına gelir. 👉
Yeni üçgenin orta kenarı:
\[ Yeni \ Orta \ Kenar = Orijinal \ Orta \ Kenar \times Oran \]
\[ Yeni \ Orta \ Kenar = 18 \ cm \times \frac{1}{3} = 6 \ cm \]
Yeni üçgenin en uzun kenarı:
\[ Yeni \ En \ Uzun \ Kenar = Orijinal \ En \ Uzun \ Kenar \times Oran \]
\[ Yeni \ En \ Uzun \ Kenar = 24 \ cm \times \frac{1}{3} = 8 \ cm \]
Yeni üçgenin kenar uzunlukları 4 cm, 6 cm ve 8 cm'dir. ✅
5
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Bir dik üçgende, dik kenarlardan biri 5 cm ve hipotenüs 13 cm'dir. Bu dik üçgenin alanını bulunuz. 📐
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda öncelikle Pisagor Teoremi'ni kullanarak diğer dik kenarı bulmamız gerekiyor. 📌
\[ Alan = \frac{Dik \ Kenar \ 1 \times Dik \ Kenar \ 2}{2} \]
\[ Alan = \frac{5 \ cm \times 12 \ cm}{2} \]
\[ Alan = \frac{60 \ cm^2}{2} \]
\[ Alan = 30 \ cm^2 \]
Bu dik üçgenin alanı 30 cm²'dir. ✅
6
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Yüksekliği 12 metre olan bir binanın tepesinden, binanın tabanından 5 metre uzaklıktaki bir noktaya doğru bakıldığında oluşan görüş açısının tanjantı nedir? (Bu soru, dik üçgen oluşumunu ve trigonometriye giriş niteliğindedir, ancak 9. sınıf seviyesinde dik üçgen bilgisiyle çözülebilir.) 📐
Çözüm ve Açıklama
Bu soruyu bir dik üçgen çizerek veya zihnimizde canlandırarak çözebiliriz. 💡
Binanın yüksekliği, dik üçgenin bir dik kenarıdır: \( a = 12 \) metre
Binanın tabanından olan uzaklık, diğer dik kenardır: \( b = 5 \) metre
Görüş açısı, bu iki kenar arasındaki açıdır (genellikle \( \theta \) ile gösterilir).
Trigonometride, bir açının tanjantı karşı dik kenarın komşu dik kenara oranı olarak tanımlanır.
\[ \tan(\theta) = \frac{Karşı \ Dik \ Kenar}{Komşu \ Dik \ Kenar} \]
Bir parkta, birbirine paralel iki yürüyüş yolu bulunmaktadır. Bu yolları kesen bir bisiklet yolu, yollarla sırasıyla 70 derecelik ve \( x \) derecelik açılar yapmaktadır. \( x \) açısının değeri kaç derecedir? 🚴♀️
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda Tales Teoremi'nin paralel doğrular ve kesenler arasındaki açı ilişkilerini kullanacağız. 📌
Paralel iki doğru ve bunları kesen bir doğru olduğunda, oluşan açılar arasında belirli ilişkiler vardır.
Verilen ilk açı: \( 70^\circ \)
Diğer açı: \( x \)
Bu iki açı, paralel doğrular ile kesenin yaptığı açılardan iç ters açılar veya yöndeş açılar ile ilişkilidir. Eğer 70 derecelik açı, içte ve ters tarafta ise, \( x \) de iç tersi olur ve \( x = 70^\circ \) olur. Eğer 70 derecelik açı, dışta ve aynı yönde ise, \( x \) ile yöndeş olur ve \( x = 70^\circ \) olur.
Ancak soruda "sırasıyla" ifadesi, farklı konumlardaki açıları belirtir. Eğer 70 derecelik açı ile \( x \) açısı karşı durumlu açılar ise, toplamları 180 derece olmalıdır.
Bu durumda:
\[ 70^\circ + x = 180^\circ \]
\[ x = 180^\circ - 70^\circ \]
\[ x = 110^\circ \]
Eğer soruda belirtilen 70 derecelik açı ile \( x \) açısı yöndeş açılar ise, \( x = 70^\circ \) olurdu. Ancak "sırasıyla" ifadesi, bu iki açının farklı ilişkilerde olduğunu ima eder. En yaygın senaryo, bu açıların toplamının 180 derece olduğu durumdur.
Bu senaryoya göre \( x \) açısının değeri 110 derece'dir. 💡
8
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir inşaat mühendisi, bir binanın yüksekliğini ölçmek istiyor. Elinde bir açıölçer ve uzunluk ölçer var. Binanın tabanından belirli bir uzaklıkta durarak, binanın tepesine baktığında 45 derecelik bir yükseliş açısı ölçüyor. Eğer mühendisin durduğu nokta binanın tabanından 20 metre uzaktaysa, binanın yüksekliği kaç metredir? 🏗️
Çözüm ve Açıklama
Bu problem, Pisagor Teoremi ve temel trigonometri (tanım gereği) kullanılarak çözülebilir. 💡
Durumu bir dik üçgen olarak düşünelim:
Binanın yüksekliği (karşı dik kenar): \( h \)
Mühendisin durduğu nokta ile bina arasındaki uzaklık (komşu dik kenar): \( 20 \) metre
Yükseliş açısı: \( 45^\circ \)
Tanjant fonksiyonunu kullanacağız:
\[ \tan(\theta) = \frac{Karşı \ Dik \ Kenar}{Komşu \ Dik \ Kenar} \]
Burada \( \theta = 45^\circ \) ve komşu dik kenar \( 20 \) metredir.
\[ \tan(45^\circ) = \frac{h}{20 \ m} \]
Bildiğimiz gibi, \( \tan(45^\circ) = 1 \)'dir. 📌
\[ 1 = \frac{h}{20} \]
Denklemi \( h \) için çözersek:
\[ h = 1 \times 20 \]
\[ h = 20 \ m \]
Binanın yüksekliği 20 metre'dir. ✅
9
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Bir dik üçgenin dik kenarlarından biri \( x \) cm, diğeri \( y \) cm ve hipotenüsü \( z \) cm'dir. Eğer \( x = 2y \) ise, \( z \) uzunluğunu \( y \) cinsinden ifade ediniz. 📏
Çözüm ve Açıklama
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. 📌
Pisagor Teoremi'ne göre:
\[ x^2 + y^2 = z^2 \]
Soruda bize \( x = 2y \) olduğu verilmiş. Bu bilgiyi denklemde yerine koyalım:
\[ (2y)^2 + y^2 = z^2 \]
Kareleri alalım:
\[ 4y^2 + y^2 = z^2 \]
Terimleri toplayalım:
\[ 5y^2 = z^2 \]
Şimdi \( z \) uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:
\[ z = \sqrt{5y^2} \]
Karekök dışına alabileceğimiz terimleri çıkaralım:
\[ z = \sqrt{5} \times \sqrt{y^2} \]
\[ z = y\sqrt{5} \]
Sonuç olarak, hipotenüs \( z \), \( y \) cinsinden \( y\sqrt{5} \) olarak ifade edilir. 👉
9. Sınıf Matematik: Öklid teoremi, Pisagor ve Tales teoremleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende dik kenarlar 6 cm ve 8 cm uzunluğundadır. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soruda Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. 📌
Pisagor Teoremi'ne göre, dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
Dik kenarlarımız: \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm
Bir merdiven, duvara yaslanmıştır. Merdivenin yere değen ucu duvardan 3 metre, merdivenin tepesinin yere yüksekliği ise 4 metredir. Merdivenin uzunluğu kaç metredir? 🪜
Çözüm:
Bu durum, bir dik üçgen oluşturur. 💡
Duvarın yüksekliği (dik kenar): \( a = 4 \) metre
Yere olan uzaklık (diğer dik kenar): \( b = 3 \) metre
Paralel iki doğru, bir kesenle kesiliyor. Kesenin oluşturduğu açılardan biri 50 derecedir. Karşı durumlu açının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Bu soruda Tales Teoremi'nin açılarla ilgili sonuçlarından yararlanacağız. 📌
Paralel doğrular ve kesen ilişkisinde:
Yöndeş Açılar birbirine eşittir.
İç Ters Açılar birbirine eşittir.
Dış Ters Açılar birbirine eşittir.
Karşı Durumlu Açılar birbirini 180 dereceye tamamlar.
Verilen açı 50 derece. Karşı durumlu açı, bu açıyla bütünlerdir.
Karşı durumlu açının ölçüsü = \( 180^\circ - 50^\circ \)
Karşı durumlu açının ölçüsü = \( 130^\circ \)
Dolayısıyla, karşı durumlu açının ölçüsü 130 derece'dir. ✅
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde, AB kenarı 12 cm, AC kenarı 18 cm ve BC kenarı 24 cm'dir. Bu üçgenin kenarları orantılı olarak küçültülerek benzer bir üçgen oluşturulacaktır. Eğer oluşan yeni üçgenin en kısa kenarı 4 cm ise, bu yeni üçgenin diğer kenarlarının uzunluklarını bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soru Tales Teoremi'nin temel mantığı olan benzerlik üzerine kuruludur. 💡
Önce orijinal üçgenin kenar uzunluklarını ve en kısa kenarını belirleyelim:
En kısa kenar (AB): 12 cm
Orta kenar (AC): 18 cm
En uzun kenar (BC): 24 cm
Yeni oluşan benzer üçgenin en kısa kenarı 4 cm olarak verilmiş.
Benzerlik oranını bulmak için, yeni üçgenin en kısa kenarını orijinal üçgenin en kısa kenarına böleriz:
\[ Oran = \frac{Yeni \ Üçgen \ En \ Kısa \ Kenar }{Orijinal \ Üçgen \ En \ Kısa \ Kenar } = \frac{4 \ cm}{12 \ cm} \]
\[ Oran = \frac{1}{3} \]
Bu oran, yeni üçgenin tüm kenarlarının orijinal üçgenin karşılık gelen kenarlarının \( \frac{1}{3} \) katı olduğu anlamına gelir. 👉
Yeni üçgenin orta kenarı:
\[ Yeni \ Orta \ Kenar = Orijinal \ Orta \ Kenar \times Oran \]
\[ Yeni \ Orta \ Kenar = 18 \ cm \times \frac{1}{3} = 6 \ cm \]
Yeni üçgenin en uzun kenarı:
\[ Yeni \ En \ Uzun \ Kenar = Orijinal \ En \ Uzun \ Kenar \times Oran \]
\[ Yeni \ En \ Uzun \ Kenar = 24 \ cm \times \frac{1}{3} = 8 \ cm \]
Yeni üçgenin kenar uzunlukları 4 cm, 6 cm ve 8 cm'dir. ✅
Örnek 5:
Bir dik üçgende, dik kenarlardan biri 5 cm ve hipotenüs 13 cm'dir. Bu dik üçgenin alanını bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu soruda öncelikle Pisagor Teoremi'ni kullanarak diğer dik kenarı bulmamız gerekiyor. 📌
\[ Alan = \frac{Dik \ Kenar \ 1 \times Dik \ Kenar \ 2}{2} \]
\[ Alan = \frac{5 \ cm \times 12 \ cm}{2} \]
\[ Alan = \frac{60 \ cm^2}{2} \]
\[ Alan = 30 \ cm^2 \]
Bu dik üçgenin alanı 30 cm²'dir. ✅
Örnek 6:
Yüksekliği 12 metre olan bir binanın tepesinden, binanın tabanından 5 metre uzaklıktaki bir noktaya doğru bakıldığında oluşan görüş açısının tanjantı nedir? (Bu soru, dik üçgen oluşumunu ve trigonometriye giriş niteliğindedir, ancak 9. sınıf seviyesinde dik üçgen bilgisiyle çözülebilir.) 📐
Çözüm:
Bu soruyu bir dik üçgen çizerek veya zihnimizde canlandırarak çözebiliriz. 💡
Binanın yüksekliği, dik üçgenin bir dik kenarıdır: \( a = 12 \) metre
Binanın tabanından olan uzaklık, diğer dik kenardır: \( b = 5 \) metre
Görüş açısı, bu iki kenar arasındaki açıdır (genellikle \( \theta \) ile gösterilir).
Trigonometride, bir açının tanjantı karşı dik kenarın komşu dik kenara oranı olarak tanımlanır.
\[ \tan(\theta) = \frac{Karşı \ Dik \ Kenar}{Komşu \ Dik \ Kenar} \]
Bir parkta, birbirine paralel iki yürüyüş yolu bulunmaktadır. Bu yolları kesen bir bisiklet yolu, yollarla sırasıyla 70 derecelik ve \( x \) derecelik açılar yapmaktadır. \( x \) açısının değeri kaç derecedir? 🚴♀️
Çözüm:
Bu soruda Tales Teoremi'nin paralel doğrular ve kesenler arasındaki açı ilişkilerini kullanacağız. 📌
Paralel iki doğru ve bunları kesen bir doğru olduğunda, oluşan açılar arasında belirli ilişkiler vardır.
Verilen ilk açı: \( 70^\circ \)
Diğer açı: \( x \)
Bu iki açı, paralel doğrular ile kesenin yaptığı açılardan iç ters açılar veya yöndeş açılar ile ilişkilidir. Eğer 70 derecelik açı, içte ve ters tarafta ise, \( x \) de iç tersi olur ve \( x = 70^\circ \) olur. Eğer 70 derecelik açı, dışta ve aynı yönde ise, \( x \) ile yöndeş olur ve \( x = 70^\circ \) olur.
Ancak soruda "sırasıyla" ifadesi, farklı konumlardaki açıları belirtir. Eğer 70 derecelik açı ile \( x \) açısı karşı durumlu açılar ise, toplamları 180 derece olmalıdır.
Bu durumda:
\[ 70^\circ + x = 180^\circ \]
\[ x = 180^\circ - 70^\circ \]
\[ x = 110^\circ \]
Eğer soruda belirtilen 70 derecelik açı ile \( x \) açısı yöndeş açılar ise, \( x = 70^\circ \) olurdu. Ancak "sırasıyla" ifadesi, bu iki açının farklı ilişkilerde olduğunu ima eder. En yaygın senaryo, bu açıların toplamının 180 derece olduğu durumdur.
Bu senaryoya göre \( x \) açısının değeri 110 derece'dir. 💡
Örnek 8:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın yüksekliğini ölçmek istiyor. Elinde bir açıölçer ve uzunluk ölçer var. Binanın tabanından belirli bir uzaklıkta durarak, binanın tepesine baktığında 45 derecelik bir yükseliş açısı ölçüyor. Eğer mühendisin durduğu nokta binanın tabanından 20 metre uzaktaysa, binanın yüksekliği kaç metredir? 🏗️
Çözüm:
Bu problem, Pisagor Teoremi ve temel trigonometri (tanım gereği) kullanılarak çözülebilir. 💡
Durumu bir dik üçgen olarak düşünelim:
Binanın yüksekliği (karşı dik kenar): \( h \)
Mühendisin durduğu nokta ile bina arasındaki uzaklık (komşu dik kenar): \( 20 \) metre
Yükseliş açısı: \( 45^\circ \)
Tanjant fonksiyonunu kullanacağız:
\[ \tan(\theta) = \frac{Karşı \ Dik \ Kenar}{Komşu \ Dik \ Kenar} \]
Burada \( \theta = 45^\circ \) ve komşu dik kenar \( 20 \) metredir.
\[ \tan(45^\circ) = \frac{h}{20 \ m} \]
Bildiğimiz gibi, \( \tan(45^\circ) = 1 \)'dir. 📌
\[ 1 = \frac{h}{20} \]
Denklemi \( h \) için çözersek:
\[ h = 1 \times 20 \]
\[ h = 20 \ m \]
Binanın yüksekliği 20 metre'dir. ✅
Örnek 9:
Bir dik üçgenin dik kenarlarından biri \( x \) cm, diğeri \( y \) cm ve hipotenüsü \( z \) cm'dir. Eğer \( x = 2y \) ise, \( z \) uzunluğunu \( y \) cinsinden ifade ediniz. 📏
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. 📌
Pisagor Teoremi'ne göre:
\[ x^2 + y^2 = z^2 \]
Soruda bize \( x = 2y \) olduğu verilmiş. Bu bilgiyi denklemde yerine koyalım:
\[ (2y)^2 + y^2 = z^2 \]
Kareleri alalım:
\[ 4y^2 + y^2 = z^2 \]
Terimleri toplayalım:
\[ 5y^2 = z^2 \]
Şimdi \( z \) uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:
\[ z = \sqrt{5y^2} \]
Karekök dışına alabileceğimiz terimleri çıkaralım:
\[ z = \sqrt{5} \times \sqrt{y^2} \]
\[ z = y\sqrt{5} \]
Sonuç olarak, hipotenüs \( z \), \( y \) cinsinden \( y\sqrt{5} \) olarak ifade edilir. 👉