🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Öklid Teoremi Kısa Sorular Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Öklid Teoremi Kısa Sorular Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
📌 Bir ABC dik üçgeninde, A köşesi dik açıdır. A noktasından hipotenüs BC üzerine indirilen dikmenin ayağı D olsun.
Eğer BD uzunluğu \(4\) birim ve DC uzunluğu \(9\) birim ise, AD yüksekliğinin (\(h\)) uzunluğu kaç birimdir?
Eğer BD uzunluğu \(4\) birim ve DC uzunluğu \(9\) birim ise, AD yüksekliğinin (\(h\)) uzunluğu kaç birimdir?
Çözüm:
Bu bir Öklid Teoremi uygulamasıdır. Dik üçgende dik köşeden hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
- 💡 Verilenler:
- BD (\(p\)) = \(4\) birim
- DC (\(k\)) = \(9\) birim
- 👉 İstenen: AD (\(h\)) yüksekliği.
- ✅ Formül: \(h^2 = p \cdot k\)
- Hesaplama:
- \(h^2 = 4 \cdot 9\)
- \(h^2 = 36\)
- \(h = \sqrt{36}\)
- \(h = 6\) birim
Örnek 2:
📐 Bir KLM dik üçgeninde, K köşesi dik açıdır. K noktasından hipotenüs LM üzerine indirilen dikmenin ayağı N olsun.
Eğer LN uzunluğu \(3\) birim ve LM hipotenüsünün tamamı \(12\) birim ise, KL dik kenarının (\(c\)) uzunluğu kaç birimdir?
Eğer LN uzunluğu \(3\) birim ve LM hipotenüsünün tamamı \(12\) birim ise, KL dik kenarının (\(c\)) uzunluğu kaç birimdir?
Çözüm:
Bu da bir Öklid Teoremi bağıntısıdır. Bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerindeki kendi tarafındaki parçanın uzunluğu ile tüm hipotenüsün çarpımına eşittir.
- 💡 Verilenler:
- LN (\(p\)) = \(3\) birim
- LM (\(a\)) = \(12\) birim
- 👉 İstenen: KL (\(c\)) dik kenarının uzunluğu.
- ✅ Formül: \(c^2 = p \cdot a\) (Burada \(p\) hipotenüsün KL kenarına yakın olan parçasıdır.)
- Hesaplama:
- \(c^2 = 3 \cdot 12\)
- \(c^2 = 36\)
- \(c = \sqrt{36}\)
- \(c = 6\) birim
Örnek 3:
📏 Bir PRT dik üçgeninde, P köşesi dik açıdır. P noktasından hipotenüs RT üzerine indirilen dikmenin ayağı S olsun.
PS yüksekliği \(8\) birim ve RS uzunluğu \(16\) birim ise, ST uzunluğu (\(x\)) kaç birimdir?
PS yüksekliği \(8\) birim ve RS uzunluğu \(16\) birim ise, ST uzunluğu (\(x\)) kaç birimdir?
Çözüm:
Bu problemde, yüksekliğin karesi bağıntısını kullanarak bilinmeyen hipotenüs parçasını bulacağız.
- 💡 Verilenler:
- PS (\(h\)) = \(8\) birim
- RS (\(p\)) = \(16\) birim
- 👉 İstenen: ST (\(x\) veya \(k\)) uzunluğu.
- ✅ Formül: \(h^2 = p \cdot k\)
- Hesaplama:
- \(8^2 = 16 \cdot x\)
- \(64 = 16x\)
- \(x = \frac{64}{16}\)
- \(x = 4\) birim
Örnek 4:
➕ Bir XYZ dik üçgeninde, X köşesi dik açıdır. X noktasından hipotenüs YZ üzerine indirilen dikmenin ayağı T olsun.
YT uzunluğu \(x\) birim, TZ uzunluğu \(x+5\) birim ve XT yüksekliği \(6\) birim olduğuna göre, \(x\) değeri kaçtır?
YT uzunluğu \(x\) birim, TZ uzunluğu \(x+5\) birim ve XT yüksekliği \(6\) birim olduğuna göre, \(x\) değeri kaçtır?
Çözüm:
Bu problemde, hipotenüs parçaları cebirsel ifade olarak verilmiştir. Öklid'in yükseklik bağıntısını kullanarak \(x\) değerini bulacağız.
- 💡 Verilenler:
- YT (\(p\)) = \(x\) birim
- TZ (\(k\)) = \(x+5\) birim
- XT (\(h\)) = \(6\) birim
- 👉 İstenen: \(x\) değeri.
- ✅ Formül: \(h^2 = p \cdot k\)
- Hesaplama:
- \(6^2 = x \cdot (x+5)\)
- \(36 = x^2 + 5x\)
- Denklemi düzenleyelim: \(x^2 + 5x - 36 = 0\)
- Bu ikinci derece denklemi çarpanlarına ayıralım: \((x+9)(x-4) = 0\)
- Buradan \(x = -9\) veya \(x = 4\) bulunur.
- Uzunluk negatif olamayacağı için \(x\) değeri 4 birimdir.
Örnek 5:
🌟 Bir DEF dik üçgeninde, D köşesi dik açıdır. D noktasından hipotenüs EF üzerine indirilen dikmenin ayağı K olsun.
EK uzunluğu \(2\) birim ve KF uzunluğu \(8\) birim ise, DK yüksekliğini (\(h\)) ve DF dik kenarını (\(b\)) bulunuz.
EK uzunluğu \(2\) birim ve KF uzunluğu \(8\) birim ise, DK yüksekliğini (\(h\)) ve DF dik kenarını (\(b\)) bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda hem yükseklik hem de bir dik kenar için Öklid bağıntılarını kullanacağız.
- 💡 Verilenler:
- EK (\(p\)) = \(2\) birim
- KF (\(k\)) = \(8\) birim
- 👉 İstenen: DK (\(h\)) yüksekliği ve DF (\(b\)) dik kenarı.
- ✅ Adım 1: DK yüksekliğini bulalım.
- Formül: \(h^2 = p \cdot k\)
- \(h^2 = 2 \cdot 8\)
- \(h^2 = 16\)
- \(h = \sqrt{16}\)
- \(h = 4\) birim
- ✅ Adım 2: DF dik kenarını bulalım.
- DF kenarının hipotenüse yakın olan parçası KF'dir. Tüm hipotenüs EF ise \(p+k\) yani \(2+8 = 10\) birimdir.
- Formül: \(b^2 = k \cdot (p+k)\) (Burada \(b\) DF kenarı, \(k\) KF parçasıdır)
- \(b^2 = 8 \cdot (2+8)\)
- \(b^2 = 8 \cdot 10\)
- \(b^2 = 80\)
- \(b = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}\) birim
Örnek 6:
🏞️ Bir GHI dik üçgeninde, G köşesi dik açıdır. G noktasından hipotenüs HI üzerine indirilen dikmenin ayağı J olsun.
GJ yüksekliği \(10\) birim ve HJ uzunluğu \(5\) birim ise, GHI üçgeninin alanını kaç birimkaredir?
GJ yüksekliği \(10\) birim ve HJ uzunluğu \(5\) birim ise, GHI üçgeninin alanını kaç birimkaredir?
Çözüm:
Üçgenin alanını bulmak için taban ve yüksekliğe ihtiyacımız var. Hipotenüs (taban) ve ona ait yüksekliği bularak alanı hesaplayabiliriz.
- 💡 Verilenler:
- GJ (\(h\)) = \(10\) birim
- HJ (\(p\)) = \(5\) birim
- 👉 İstenen: GHI üçgeninin alanı.
- ✅ Adım 1: Hipotenüsün diğer parçasını (JI) bulalım.
- Formül: \(h^2 = p \cdot k\)
- \(10^2 = 5 \cdot k\)
- \(100 = 5k\)
- \(k = \frac{100}{5} = 20\) birim (JI uzunluğu)
- ✅ Adım 2: Hipotenüsün tamamını (HI) bulalım.
- HI = HJ + JI = \(5 + 20 = 25\) birim.
- ✅ Adım 3: Üçgenin alanını hesaplayalım.
- Alan = \(\frac{\text{taban} \cdot \text{yükseklik}}{2}\)
- Alan = \(\frac{HI \cdot GJ}{2}\)
- Alan = \(\frac{25 \cdot 10}{2}\)
- Alan = \(\frac{250}{2}\)
- Alan = \(125\) birimkare
Örnek 7:
🏗️ Bir mimar, bir binanın çatısının destek yapısını tasarlıyor. Çatı, zemine dik bir duvara yaslanıyor ve diğer ucu zeminde bir noktaya sabitleniyor, böylece bir dik üçgen oluşuyor.
Duvarın üzerindeki çatının başladığı noktadan, zemindeki sabitleme noktasına kadar olan kısım \(10\) birim uzunluğundadır. Çatının en yüksek noktasından zemine düşey olarak indirilen bir destek direği, zemini \(2\) birim ve \(8\) birim olmak üzere iki parçaya ayırıyor.
Bu destek direğinin uzunluğu kaç birimdir?
Duvarın üzerindeki çatının başladığı noktadan, zemindeki sabitleme noktasına kadar olan kısım \(10\) birim uzunluğundadır. Çatının en yüksek noktasından zemine düşey olarak indirilen bir destek direği, zemini \(2\) birim ve \(8\) birim olmak üzere iki parçaya ayırıyor.
Bu destek direğinin uzunluğu kaç birimdir?
Çözüm:
Bu problem, mimari bir tasarım üzerinden Öklid Teoremi'nin yükseklik bağıntısını kullanmamızı istiyor. Çatı, dik üçgenin hipotenüsü; duvar ve zemin dik kenarlar; en yüksek noktadan indirilen destek direği ise hipotenüse ait yüksekliktir.
- 💡 Verilenler:
- Destek direğinin ayırdığı parçalar (\(p\) ve \(k\)) = \(2\) birim ve \(8\) birim.
- 👉 İstenen: Destek direğinin uzunluğu (\(h\)).
- ✅ Formül: \(h^2 = p \cdot k\)
- Hesaplama:
- \(h^2 = 2 \cdot 8\)
- \(h^2 = 16\)
- \(h = \sqrt{16}\)
- \(h = 4\) birim
Örnek 8:
🌉 Bir mühendis, bir köprünün altındaki destek yapısının dayanıklılığını kontrol ediyor. Bu destek yapısı, zemine dik bir direk ve bu direği köprü zeminine bağlayan iki eğik demir çubuktan oluşuyor. Bu yapı, direğin köprü zeminine dik olduğu bir dik üçgen modelidir.
Direğin uzunluğu \(12\) metre ve köprü zemini üzerinde ayırdığı parçalardan biri \(9\) metre ise, diğer parçanın uzunluğu kaç metredir? (Köprü zemini, dik üçgenin hipotenüsünü oluşturmaktadır.)
Direğin uzunluğu \(12\) metre ve köprü zemini üzerinde ayırdığı parçalardan biri \(9\) metre ise, diğer parçanın uzunluğu kaç metredir? (Köprü zemini, dik üçgenin hipotenüsünü oluşturmaktadır.)
Çözüm:
Bu problem, köprü mühendisliğinde karşılaşabileceğimiz bir durumu Öklid Teoremi ile çözmemizi istiyor. Direk, hipotenüse ait yüksekliği temsil ederken, köprü zemini üzerindeki parçalar hipotenüsün ayrılan kısımlarıdır.
- 💡 Verilenler:
- Direğin uzunluğu (\(h\)) = \(12\) metre
- Köprü zemini üzerinde ayırdığı parçalardan biri (\(p\)) = \(9\) metre
- 👉 İstenen: Köprü zemini üzerindeki diğer parçanın uzunluğu (\(k\)).
- ✅ Formül: \(h^2 = p \cdot k\)
- Hesaplama:
- \(12^2 = 9 \cdot k\)
- \(144 = 9k\)
- \(k = \frac{144}{9}\)
- \(k = 16\) metre
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-oklid-teoremi-kisa-sorular/sorular