🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Oklid teoremi ders notu Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Oklid teoremi ders notu Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları 6 birim ve 8 birimdir. Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu soruyu Pisagor teoremi ile çözebiliriz, ancak Oklid teoreminin de bir uygulamasıdır.
- Dik kenarlar \(a\) ve \(b\), hipotenüs \(c\) olsun.
- Pisagor teoremine göre \(a^2 + b^2 = c^2\).
- Verilen değerlerle: \(6^2 + 8^2 = c^2\).
- Hesaplama: \(36 + 64 = c^2\).
- Bu da \(100 = c^2\) demektir.
- Her iki tarafın karekökünü alırsak: \(c = \sqrt{100}\).
- Sonuç olarak hipotenüs uzunluğu \(c = 10\) birimdir.
Örnek 2:
Dik kenarlarından biri 5 birim ve hipotenüsü 13 birim olan bir dik üçgenin diğer dik kenarının uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Yine Pisagor teoremini kullanacağız.
- Dik kenarlardan biri \(a = 5\), hipotenüs \(c = 13\) olsun. Diğer dik kenar \(b\) olsun.
- Pisagor teoremine göre \(a^2 + b^2 = c^2\).
- Değerleri yerine koyalım: \(5^2 + b^2 = 13^2\).
- Hesaplama: \(25 + b^2 = 169\).
- \(b^2\) yalnız bırakılırsa: \(b^2 = 169 - 25\).
- \(b^2 = 144\).
- Her iki tarafın karekökünü alırsak: \(b = \sqrt{144}\).
- Diğer dik kenarın uzunluğu \(b = 12\) birimdir.
Örnek 3:
Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik, hipotenüsü 3 birim ve 12 birim uzunluğundaki iki parçaya ayırmaktadır. Bu dik üçgenin dik kenarlarının uzunluklarını bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda Oklid'in yükseklik teoremini kullanacağız.
- Hipotenüs \(c\), hipotenüse ait yükseklik \(h\), hipotenüs üzerindeki parçalar \(p\) ve \(k\) olsun.
- Oklid'in yükseklik teoremine göre: \(h^2 = p \times k\).
- Verilen parçalar \(p = 3\) ve \(k = 12\).
- Yüksekliği hesaplayalım: \(h^2 = 3 \times 12 = 36\).
- Yükseklik \(h = \sqrt{36} = 6\) birimdir.
- Şimdi dik kenarları bulmak için Oklid'in kenar teoremlerini kullanabiliriz. Bir dik kenarın karesi, hipotenüsün o kenara yakın olan parçasının tamamı ile çarpımına eşittir.
- Bir dik kenar \(a\) olsun. \(a^2 = p \times c\). Hipotenüs \(c = p + k = 3 + 12 = 15\).
- \(a^2 = 3 \times 15 = 45\).
- \(a = \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}\) birimdir.
- Diğer dik kenar \(b\) olsun. \(b^2 = k \times c\).
- \(b^2 = 12 \times 15 = 180\).
- \(b = \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5}\) birimdir.
Örnek 4:
Bir dik üçgende dik kenarlar 9 birim ve 12 birimdir. Bu üçgenin hipotenüsüne ait yüksekliğin uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu soruyu iki farklı yolla çözebiliriz: Pisagor teoremi ve ardından alan formülü veya doğrudan Oklid'in yükseklik teoremini kullanarak (ancak bu, kenar uzunluklarını bilmeyi gerektirir).
İlk yol: Alan formülü ile.
İlk yol: Alan formülü ile.
- Dik kenarlar \(a = 9\) ve \(b = 12\). Hipotenüs \(c\).
- Pisagor teoreminden \(c^2 = a^2 + b^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\).
- Hipotenüs \(c = \sqrt{225} = 15\) birimdir.
- Üçgenin alanı \(A = \frac{1}{2} \times a \times b\).
- \(A = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = \frac{1}{2} \times 108 = 54\) birimkaredir.
- Aynı zamanda alan \(A = \frac{1}{2} \times c \times h\), burada \(h\) hipotenüse ait yüksekliktir.
- \(54 = \frac{1}{2} \times 15 \times h\).
- \(108 = 15 \times h\).
- \(h = \frac{108}{15}\). Sadeleştirirsek \(h = \frac{36}{5} = 7.2\) birimdir.
Örnek 5:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın temelini tasarlarken dik açılı bir köşe kullanıyor. Bu köşeden çıkan iki duvarın uzunlukları 8 metre ve 15 metredir. Bu iki duvarın birleştiği noktadan, karşıdaki köşeye en kısa mesafeyi (yani binanın temelinin köşegenini) hesaplamak istiyor. Oklid teoremlerini kullanarak bu köşegenin uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde, binanın temeli bir dik üçgen olarak düşünülebilir. Duvarlar dik kenarları, köşegen ise hipotenüsü temsil eder.
- Dik kenarlar \(a = 8\) metre ve \(b = 15\) metredir.
- Köşegen (hipotenüs) \(c\) olsun.
- Pisagor teoremi, Oklid'in çalışmalarının bir uzantısıdır ve bu durumda doğrudan uygulanabilir: \(c^2 = a^2 + b^2\).
- Değerleri yerine koyalım: \(c^2 = 8^2 + 15^2\).
- Hesaplama: \(c^2 = 64 + 225\).
- \(c^2 = 289\).
- Köşegenin uzunluğu \(c = \sqrt{289}\).
- \(c = 17\) metredir.
Örnek 6:
Bir parkta, birbirine dik olan iki yol kenarı bulunmaktadır. Bir kişi bu yollar boyunca 30 metre ve 40 metre yürüyor. Yürüdüğü son noktadan başlangıç noktasına en kısa mesafeyi (düz çizgi) hesaplamak istiyor. Oklid teoremlerini kullanarak bu mesafeyi bulunuz.
Çözüm:
Bu senaryo, dik kenarları 30 metre ve 40 metre olan bir dik üçgen oluşturur. Kişinin yürüdüğü son nokta ile başlangıç noktası arasındaki en kısa mesafe, bu dik üçgenin hipotenüsüdür.
- Dik kenarlar \(a = 30\) metre ve \(b = 40\) metredir.
- Başlangıç ve bitiş noktası arasındaki mesafe (hipotenüs) \(c\) olsun.
- Pisagor teoremini kullanıyoruz: \(c^2 = a^2 + b^2\).
- Değerleri yerine koyalım: \(c^2 = 30^2 + 40^2\).
- Hesaplama: \(c^2 = 900 + 1600\).
- \(c^2 = 2500\).
- Mesafe \(c = \sqrt{2500}\).
- \(c = 50\) metredir.
Örnek 7:
Bir dik üçgende, hipotenüse ait yükseklik hipotenüsü \(x\) birim ve \(4x\) birim uzunluğundaki iki parçaya ayırıyor. Dik kenarların uzunlukları toplamı 30 birim olduğuna göre, dik kenarların uzunluklarını bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda Oklid'in yükseklik ve kenar teoremlerini kullanacağız.
- Hipotenüs üzerindeki parçalar \(p = x\) ve \(k = 4x\).
- Oklid'in yükseklik teoremine göre: \(h^2 = p \times k = x \times 4x = 4x^2\).
- Yükseklik \(h = \sqrt{4x^2} = 2x\) birimdir.
- Hipotenüsün tamamı \(c = p + k = x + 4x = 5x\) birimdir.
- Şimdi Oklid'in kenar teoremlerini uygulayalım. Bir dik kenar \(a\) olsun: \(a^2 = p \times c = x \times 5x = 5x^2\).
- Diğer dik kenar \(b\) olsun: \(b^2 = k \times c = 4x \times 5x = 20x^2\).
- Dik kenarların uzunlukları \(a = \sqrt{5x^2} = x\sqrt{5}\) ve \(b = \sqrt{20x^2} = x\sqrt{20} = 2x\sqrt{5}\) olur.
- Soruda verilen bilgiye göre dik kenarların toplamı 30 birimdir: \(a + b = 30\).
- \(x\sqrt{5} + 2x\sqrt{5} = 30\).
- \(3x\sqrt{5} = 30\).
- \(x\sqrt{5} = 10\).
- \(x = \frac{10}{\sqrt{5}}\). Paydayı rasyonel yaparsak: \(x = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}\) birimdir.
- Şimdi dik kenarların uzunluklarını bulalım:
- \(a = x\sqrt{5} = (2\sqrt{5})\sqrt{5} = 2 \times 5 = 10\) birimdir.
- \(b = 2x\sqrt{5} = 2(2\sqrt{5})\sqrt{5} = 4 \times 5 = 20\) birimdir.
Örnek 8:
Bir mimar, bir binanın çatı konstrüksiyonunu tasarlarken dik üçgenler kullanıyor. Bir dik üçgen parçanın hipotenüsü 25 metre ve bu hipotenüse ait yükseklik 12 metredir. Bu dik üçgenin dik kenarlarının uzunluklarını bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda hem Oklid'in yükseklik teoremini hem de alan formülünü kullanacağız.
- Hipotenüs \(c = 25\) metre ve hipotenüse ait yükseklik \(h = 12\) metredir.
- Üçgenin alanı \(A = \frac{1}{2} \times c \times h\).
- \(A = \frac{1}{2} \times 25 \times 12 = 25 \times 6 = 150\) birimkaredir.
- Dik kenarlar \(a\) ve \(b\) olsun. Alan aynı zamanda \(A = \frac{1}{2} \times a \times b\) olarak da ifade edilebilir.
- Bu durumda \(a \times b = 2 \times A = 2 \times 150 = 300\) olur.
- Ayrıca Pisagor teoreminden \(a^2 + b^2 = c^2 = 25^2 = 625\) olduğunu biliyoruz.
- Şimdi elimizde iki denklem var:
- \(a \times b = 300\)
- \(a^2 + b^2 = 625\)
- Bu denklem sistemini çözebiliriz. \(b = \frac{300}{a}\) ifadesini ikinci denklemde yerine koyalım:
- \(a^2 + (\frac{300}{a})^2 = 625\).
- \(a^2 + \frac{90000}{a^2} = 625\).
- Her tarafı \(a^2\) ile çarpalım: \(a^4 + 90000 = 625a^2\).
- Denklemi düzenlersek: \(a^4 - 625a^2 + 90000 = 0\).
- Bu denklem \(u = a^2\) dönüşümü ile ikinci dereceden bir denklem haline gelir: \(u^2 - 625u + 90000 = 0\).
- Bu denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma veya diskriminant yöntemini kullanabiliriz. Kökler 225 ve 400'dür.
- Eğer \(u = a^2 = 225\) ise, \(a = \sqrt{225} = 15\) olur. Bu durumda \(b = \frac{300}{15} = 20\) olur.
- Eğer \(u = a^2 = 400\) ise, \(a = \sqrt{400} = 20\) olur. Bu durumda \(b = \frac{300}{20} = 15\) olur.
Örnek 9:
Bir dik üçgende dik kenarlar 5 cm ve 12 cm'dir. Bu üçgenin alanını hesaplayınız.
Çözüm:
Dik üçgenlerin alanını hesaplamak için dik kenarlar kullanılır.
- Dik kenarlar \(a = 5\) cm ve \(b = 12\) cm'dir.
- Dik üçgenin alanı \(A = \frac{1}{2} \times \text{dik kenar 1} \times \text{dik kenar 2}\) formülü ile bulunur.
- \(A = \frac{1}{2} \times a \times b\).
- Değerleri yerine koyalım: \(A = \frac{1}{2} \times 5 \times 12\).
- Hesaplama: \(A = \frac{1}{2} \times 60\).
- Alan \(A = 30\) cm\(^2\) olur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-oklid-teoremi-ders-notu/sorular