💡 9. Sınıf Matematik: Öklid teoremi, algoritma, olasılık, veri grubu, histogram ve nokta grafiği Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Öklid Teoremi - Yükseklik Bağıntısı
Bir ABC dik üçgeninde \( A \) açısı \( 90^\circ \) dir. \( A \) köşesinden \( [BC] \) hipotenüsüne indirilen dikmenin ayağı \( H \) noktasıdır.
\( |BH| = 4 \) birim ve \( |HC| = 9 \) birim olduğuna göre, \( |AH| = h \) yüksekliği kaç birimdir? 💡
Çözüm ve Açıklama
Öklid Teoremi'ne göre, bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, bu yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
Formül: \( h^2 = p \cdot k \)
Verilen değerleri formülde yerine yazalım:
\( p = 4 \) ve \( k = 9 \)
\( h^2 = 4 \cdot 9 \)
\( h^2 = 36 \)
Her iki tarafın karekökünü aldığımızda:
\( h = \sqrt{36} = 6 \) birim bulunur. ✅
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Öklid Teoremi - Kenar Bağıntısı
Bir ABC dik üçgeninde \( m(A) = 90^\circ \) ve \( [AH] \perp [BC] \) dir.
\( |BH| = 2 \) cm ve \( |BC| = 8 \) cm olduğuna göre, \( |AB| = x \) uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm ve Açıklama
Öklid'in kenar bağıntısına göre, bir dik kenarın karesi, o kenarın altındaki parçanın (izdüşümün) tamamı ile çarpımına eşittir.
Formül: \( c^2 = p \cdot a \)
Burada \( c = x \), \( p = |BH| = 2 \) ve \( a = |BC| = 8 \) birimdir.
Değerleri yerleştirelim:
\( x^2 = 2 \cdot 8 \)
\( x^2 = 16 \)
Her iki tarafın karekökünü alalım:
\( x = \sqrt{16} = 4 \) cm olarak hesaplanır. ✅
3
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Algoritma Mantığı
Bir öğrenci, girdiği iki matematik sınavının ortalamasını hesaplayıp, eğer ortalama \( 50 \) veya üzerindeyse ekrana "Geçti", değilse "Kaldı" yazan bir algoritma tasarlamak istiyor. 💻
Bu algoritmanın adımlarını mantıksal bir sıra ile yazınız.
Çözüm ve Açıklama
Algoritmalar, bir problemi çözmek için takip edilen sıralı adımlardır. Bu problemin çözüm adımları şu şekildedir:
Adım 1: Başla.
Adım 2: Birinci sınav notunu oku (\( x \)).
Adım 3: İkinci sınav notunu oku (\( y \)).
Adım 4: Ortalamayı hesapla: \( t = (x + y) / 2 \)
Adım 5: Eğer \( t \geq 50 \) ise ekrana "Geçti" yaz.
Adım 6: Eğer \( t < 50 \) ise ekrana "Kaldı" yaz.
Adım 7: Dur. ✅
4
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Basit Olayların Olasılığı
Hilesiz bir zar havaya atılıyor. Üst yüze gelen sayının asal sayı olma olasılığı kaçtır? 🎲
Çözüm ve Açıklama
Olasılık hesaplanırken istenen durum sayısı, tüm durumların sayısına bölünür.
Örnek Uzay (E): Zarın üzerindeki tüm sayılar \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) olup \( s(E) = 6 \) tanedir.
İstenen Olay (A): Asal olan sayılar \( \{2, 3, 5\} \) olup \( s(A) = 3 \) tanedir.
Olasılık Formülü: \( P(A) = \frac{s(A)}{s(E)} \)
\( P(A) = \frac{3}{6} \)
Sadeleştirme yapıldığında: \( P(A) = \frac{1}{2} \) bulunur. ✅
5
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Veri Grubu - Merkezi Eğilim Ölçüleri
Bir basketbolcunun son 7 maçta attığı sayılar şöyledir: \( 12, 18, 15, 12, 20, 25, 12 \)
Bu veri grubunun tepe değeri (mod) ve ortancası (medyan) nedir? 🏀
Çözüm ve Açıklama
Veri analizine başlamadan önce sayıları küçükten büyüğe sıralamalıyız:
Sıralı Veri: \( 12, 12, 12, 15, 18, 20, 25 \)
Tepe Değer (Mod): Veri grubunda en çok tekrar eden sayıdır. Burada \( 12 \) sayısı 3 kez tekrar ettiği için Mod = 12.
Ortanca (Medyan): Sıralanmış veri grubunun tam ortasındaki sayıdır. 7 veri olduğu için 4. sıradaki sayı medyandır.
Sıralamada 4. sayı \( 15 \) olduğu için Medyan = 15. ✅
6
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Olasılık - Tümleyen Olay
Bir torbada 4 kırmızı ve 6 mavi bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele çekilen bir bilyenin kırmızı olmama olasılığı kaçtır? 🔴🔵
Çözüm ve Açıklama
Bir olayın olmama olasılığı, 1'den o olayın olma olasılığının çıkarılmasıyla veya doğrudan diğer durumların hesaplanmasıyla bulunur.
Yol 1: Kırmızı olmaması demek, mavi olması demektir.
Toplam bilye sayısı: \( 4 + 6 = 10 \)
Mavi bilye sayısı: \( 6 \)
Olasılık: \( \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \)
Yol 2: Tüm durumdan kırmızı olma olasılığını çıkaralım.
Bir sınıftaki 30 öğrencinin boy uzunlukları ölçülmüştür. En kısa öğrenci \( 150 \) cm, en uzun öğrenci \( 184 \) cm'dir.
Bu verilerle 5 gruplu bir histogram oluşturulmak istenirse, grup genişliği en az kaç olmalıdır? 📊
Çözüm ve Açıklama
Histogram oluştururken grup genişliğini belirlemek için açıklık değerinden faydalanılır.
Açıklık (Ranj): En büyük değer - En küçük değer
\( 184 - 150 = 34 \)
Grup Genişliği Hesabı: Grup genişliği \( > \frac{\text{Açıklık}}{\text{Grup Sayısı}} \) olmalıdır.
\( \frac{34}{5} = 6,8 \)
Grup genişliği, \( 6,8 \) değerinden büyük olan en küçük tam sayı olarak seçilir.
Bu durumda Grup Genişliği = 7 olmalıdır. ✅
8
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Nokta Grafiği Yorumlama
Bir sınıftaki öğrencilerin bir hafta boyunca okudukları kitap sayıları nokta grafiği ile gösterilmiştir. Grafikteki veriler şöyledir:
1 kitap okuyan: 4 kişi, 2 kitap okuyan: 6 kişi, 3 kitap okuyan: 3 kişi, 4 kitap okuyan: 2 kişi.
Buna göre, bu sınıftaki öğrencilerin okuduğu toplam kitap sayısı kaçtır? 📚
Çözüm ve Açıklama
Nokta grafiğinde her bir nokta (veya veri girişi) bir frekansı temsil eder. Toplam kitap sayısını bulmak için her kitap sayısını o sayıdaki öğrenci sayısıyla çarpmalıyız.
1 kitap okuyanlar: \( 1 \cdot 4 = 4 \) kitap
2 kitap okuyanlar: \( 2 \cdot 6 = 12 \) kitap
3 kitap okuyanlar: \( 3 \cdot 3 = 9 \) kitap
4 kitap okuyanlar: \( 4 \cdot 2 = 8 \) kitap
Toplam Kitap Sayısı: \( 4 + 12 + 9 + 8 = 33 \) kitap bulunur. ✅
9. Sınıf Matematik: Öklid teoremi, algoritma, olasılık, veri grubu, histogram ve nokta grafiği Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Öklid Teoremi - Yükseklik Bağıntısı
Bir ABC dik üçgeninde \( A \) açısı \( 90^\circ \) dir. \( A \) köşesinden \( [BC] \) hipotenüsüne indirilen dikmenin ayağı \( H \) noktasıdır.
\( |BH| = 4 \) birim ve \( |HC| = 9 \) birim olduğuna göre, \( |AH| = h \) yüksekliği kaç birimdir? 💡
Çözüm:
Öklid Teoremi'ne göre, bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, bu yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
Formül: \( h^2 = p \cdot k \)
Verilen değerleri formülde yerine yazalım:
\( p = 4 \) ve \( k = 9 \)
\( h^2 = 4 \cdot 9 \)
\( h^2 = 36 \)
Her iki tarafın karekökünü aldığımızda:
\( h = \sqrt{36} = 6 \) birim bulunur. ✅
Örnek 2:
Öklid Teoremi - Kenar Bağıntısı
Bir ABC dik üçgeninde \( m(A) = 90^\circ \) ve \( [AH] \perp [BC] \) dir.
\( |BH| = 2 \) cm ve \( |BC| = 8 \) cm olduğuna göre, \( |AB| = x \) uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Öklid'in kenar bağıntısına göre, bir dik kenarın karesi, o kenarın altındaki parçanın (izdüşümün) tamamı ile çarpımına eşittir.
Formül: \( c^2 = p \cdot a \)
Burada \( c = x \), \( p = |BH| = 2 \) ve \( a = |BC| = 8 \) birimdir.
Değerleri yerleştirelim:
\( x^2 = 2 \cdot 8 \)
\( x^2 = 16 \)
Her iki tarafın karekökünü alalım:
\( x = \sqrt{16} = 4 \) cm olarak hesaplanır. ✅
Örnek 3:
Algoritma Mantığı
Bir öğrenci, girdiği iki matematik sınavının ortalamasını hesaplayıp, eğer ortalama \( 50 \) veya üzerindeyse ekrana "Geçti", değilse "Kaldı" yazan bir algoritma tasarlamak istiyor. 💻
Bu algoritmanın adımlarını mantıksal bir sıra ile yazınız.
Çözüm:
Algoritmalar, bir problemi çözmek için takip edilen sıralı adımlardır. Bu problemin çözüm adımları şu şekildedir:
Adım 1: Başla.
Adım 2: Birinci sınav notunu oku (\( x \)).
Adım 3: İkinci sınav notunu oku (\( y \)).
Adım 4: Ortalamayı hesapla: \( t = (x + y) / 2 \)
Adım 5: Eğer \( t \geq 50 \) ise ekrana "Geçti" yaz.
Adım 6: Eğer \( t < 50 \) ise ekrana "Kaldı" yaz.
Adım 7: Dur. ✅
Örnek 4:
Basit Olayların Olasılığı
Hilesiz bir zar havaya atılıyor. Üst yüze gelen sayının asal sayı olma olasılığı kaçtır? 🎲
Çözüm:
Olasılık hesaplanırken istenen durum sayısı, tüm durumların sayısına bölünür.
Örnek Uzay (E): Zarın üzerindeki tüm sayılar \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) olup \( s(E) = 6 \) tanedir.
İstenen Olay (A): Asal olan sayılar \( \{2, 3, 5\} \) olup \( s(A) = 3 \) tanedir.
Olasılık Formülü: \( P(A) = \frac{s(A)}{s(E)} \)
\( P(A) = \frac{3}{6} \)
Sadeleştirme yapıldığında: \( P(A) = \frac{1}{2} \) bulunur. ✅
Örnek 5:
Veri Grubu - Merkezi Eğilim Ölçüleri
Bir basketbolcunun son 7 maçta attığı sayılar şöyledir: \( 12, 18, 15, 12, 20, 25, 12 \)
Bu veri grubunun tepe değeri (mod) ve ortancası (medyan) nedir? 🏀
Çözüm:
Veri analizine başlamadan önce sayıları küçükten büyüğe sıralamalıyız:
Sıralı Veri: \( 12, 12, 12, 15, 18, 20, 25 \)
Tepe Değer (Mod): Veri grubunda en çok tekrar eden sayıdır. Burada \( 12 \) sayısı 3 kez tekrar ettiği için Mod = 12.
Ortanca (Medyan): Sıralanmış veri grubunun tam ortasındaki sayıdır. 7 veri olduğu için 4. sıradaki sayı medyandır.
Sıralamada 4. sayı \( 15 \) olduğu için Medyan = 15. ✅
Örnek 6:
Olasılık - Tümleyen Olay
Bir torbada 4 kırmızı ve 6 mavi bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele çekilen bir bilyenin kırmızı olmama olasılığı kaçtır? 🔴🔵
Çözüm:
Bir olayın olmama olasılığı, 1'den o olayın olma olasılığının çıkarılmasıyla veya doğrudan diğer durumların hesaplanmasıyla bulunur.
Yol 1: Kırmızı olmaması demek, mavi olması demektir.
Toplam bilye sayısı: \( 4 + 6 = 10 \)
Mavi bilye sayısı: \( 6 \)
Olasılık: \( \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \)
Yol 2: Tüm durumdan kırmızı olma olasılığını çıkaralım.
Bir sınıftaki 30 öğrencinin boy uzunlukları ölçülmüştür. En kısa öğrenci \( 150 \) cm, en uzun öğrenci \( 184 \) cm'dir.
Bu verilerle 5 gruplu bir histogram oluşturulmak istenirse, grup genişliği en az kaç olmalıdır? 📊
Çözüm:
Histogram oluştururken grup genişliğini belirlemek için açıklık değerinden faydalanılır.
Açıklık (Ranj): En büyük değer - En küçük değer
\( 184 - 150 = 34 \)
Grup Genişliği Hesabı: Grup genişliği \( > \frac{\text{Açıklık}}{\text{Grup Sayısı}} \) olmalıdır.
\( \frac{34}{5} = 6,8 \)
Grup genişliği, \( 6,8 \) değerinden büyük olan en küçük tam sayı olarak seçilir.
Bu durumda Grup Genişliği = 7 olmalıdır. ✅
Örnek 8:
Nokta Grafiği Yorumlama
Bir sınıftaki öğrencilerin bir hafta boyunca okudukları kitap sayıları nokta grafiği ile gösterilmiştir. Grafikteki veriler şöyledir:
1 kitap okuyan: 4 kişi, 2 kitap okuyan: 6 kişi, 3 kitap okuyan: 3 kişi, 4 kitap okuyan: 2 kişi.
Buna göre, bu sınıftaki öğrencilerin okuduğu toplam kitap sayısı kaçtır? 📚
Çözüm:
Nokta grafiğinde her bir nokta (veya veri girişi) bir frekansı temsil eder. Toplam kitap sayısını bulmak için her kitap sayısını o sayıdaki öğrenci sayısıyla çarpmalıyız.
1 kitap okuyanlar: \( 1 \cdot 4 = 4 \) kitap
2 kitap okuyanlar: \( 2 \cdot 6 = 12 \) kitap
3 kitap okuyanlar: \( 3 \cdot 3 = 9 \) kitap
4 kitap okuyanlar: \( 4 \cdot 2 = 8 \) kitap
Toplam Kitap Sayısı: \( 4 + 12 + 9 + 8 = 33 \) kitap bulunur. ✅