🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Öklid, Tales ve Pisagor teoremleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Öklid, Tales ve Pisagor teoremleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgenin dik kenarlarının uzunlukları 3 cm ve 4 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu bulunuz. 💡
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor teoremini kullanacağız. Pisagor teoremi, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
- Dik kenarların uzunlukları a = 3 cm ve b = 4 cm olsun. Hipotenüsün uzunluğu c olsun.
- Pisagor teoremine göre: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 3^2 + 4^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 9 + 16 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 25 = c^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{25} \)
- Sonuç: \( c = 5 \) cm
Örnek 2:
Birbirine paralel iki doğu ve bu iki doğruyu kesen bir üçüncü doğru verilmiştir. Kesişim noktalarında oluşan açılardan yöndeş açılar 70 derece ise, bu açılarla ilgili bilgileri inceleyelim. 👉
Çözüm:
Bu soru, Tales teoreminin temel mantığını anlamak için önemlidir. Tales teoremi, paralel doğrular ve onları kesen doğrularla ilgili oranları inceler.
- Paralel iki doğru (d1 ve d2) ve bunları kesen bir doğru (k) düşünelim.
- d1 ve k'nin kesişiminde oluşan açılar ile d2 ve k'nin kesişiminde oluşan açılar arasındaki ilişki önemlidir.
- Yöndeş açılar, aynı yöne bakan ve aynı konumda bulunan açılardır. Paralel doğrular kesildiğinde oluşan yöndeş açılar birbirine eşittir.
- Soruda yöndeş açılardan birinin 70 derece olduğu belirtilmiş. Bu durumda, diğer yöndeş açılar da 70 derece olacaktır.
- Ayrıca, ters açıları da 70 derece olacaktır.
- Dar açıların bütünleri ise \( 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \) olacaktır.
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde AB kenarı 6 cm, AC kenarı 8 cm ve BC kenarı 10 cm'dir. Bu üçgenin hangi tür bir üçgen olduğunu belirleyiniz ve Pisagor teoremini uygulayınız. 📐
Çözüm:
Bu soruda kenar uzunlukları verilmiş bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını kontrol edeceğiz.
- Pisagor teoremine göre, bir dik üçgende en uzun kenarın (hipotenüs) karesi, diğer iki kenarın (dik kenarlar) kareleri toplamına eşittir.
- Verilen kenar uzunlukları: a = 6 cm, b = 8 cm, c = 10 cm. En uzun kenar c = 10 cm'dir.
- Teoremi kontrol edelim: \( a^2 + b^2 \) ile \( c^2 \) değerlerini karşılaştıralım.
- \( 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)
- \( 10^2 = 100 \)
- \( 100 = 100 \) olduğu için, bu bir dik üçgendir ve hipotenüs 10 cm'dir. ✅
Örnek 4:
Bir parkta bulunan iki ağaç arasındaki mesafeyi ölçmek istiyorsunuz. Ağaçlardan birine 12 metre uzaklıkta durup, diğer ağaca baktığınızda 5 metrelik bir ipin gergin kaldığını görüyorsunuz. Eğer sizin durduğunuz nokta ve ağaçlar bir dik üçgen oluşturuyorsa, iki ağaç arasındaki mesafeyi bulunuz. 🌳
Çözüm:
Bu senaryo, Pisagor teoreminin günlük hayatta nasıl kullanılabileceğine dair güzel bir örnektir.
- Sizin durduğunuz nokta, ilk ağaç ve ikinci ağaç bir dik üçgen oluşturuyor.
- Sizin durduğunuz nokta ile ilk ağaç arasındaki mesafe bir dik kenar olabilir (örneğin, 12 metre).
- Sizin göz hizası ile ikinci ağaç arasındaki ipin uzunluğu diğer dik kenar olabilir (5 metre).
- İki ağaç arasındaki mesafe ise hipotenüs olur.
- Pisagor teoremine göre: \( (12 \text{ m})^2 + (5 \text{ m})^2 = (\text{Ağaçlar arası mesafe})^2 \)
- Hesaplayalım: \( 144 + 25 = (\text{Ağaçlar arası mesafe})^2 \)
- \( 169 = (\text{Ağaçlar arası mesafe})^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( \sqrt{169} = \text{Ağaçlar arası mesafe} \)
- Sonuç: \( 13 \text{ metre} \)
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde BC kenarı 15 cm ve bu kenara ait yükseklik 8 cm'dir. Bu üçgenin alanını hesaplayınız. 📐
Çözüm:
Bu soru, Öklid teoreminin dolaylı olarak kullanıldığı bir alan hesaplama problemidir. Ancak temel alan formülü ile de çözülebilir.
- Bir üçgenin alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.
- Taban (BC) = 15 cm
- Yükseklik (h) = 8 cm
- Üçgenin alanı formülü: Alan = \( \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} \)
- Değerleri yerine koyalım: Alan = \( \frac{1}{2} \times 15 \text{ cm} \times 8 \text{ cm} \)
- Hesaplayalım: Alan = \( \frac{1}{2} \times 120 \text{ cm}^2 \)
- Sonuç: Alan = \( 60 \text{ cm}^2 \)
Örnek 6:
Bir merdiven, yüksekliği 5 metre olan bir duvara dayanmıştır. Merdivenin duvara değdiği noktanın yerden yüksekliği 5 metredir. Merdivenin yere değdiği nokta ile duvar arasındaki mesafe 3 metre ise, merdivenin uzunluğunu bulunuz. 🪜
Çözüm:
Bu problem, bir dik üçgen oluşturduğu için Pisagor teoremi ile çözülür.
- Merdiven, duvar ve zemin bir dik üçgen oluşturur.
- Duvarın yüksekliği (bir dik kenar) = 5 metre.
- Merdivenin yere değdiği nokta ile duvar arasındaki mesafe (diğer dik kenar) = 3 metre.
- Merdivenin uzunluğu (hipotenüs) = ?
- Pisagor teoremine göre: \( (\text{Dik Kenar 1})^2 + (\text{Dik Kenar 2})^2 = (\text{Hipotenüs})^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 5^2 + 3^2 = (\text{Merdiven uzunluğu})^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 25 + 9 = (\text{Merdiven uzunluğu})^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 34 = (\text{Merdiven uzunluğu})^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( \text{Merdiven uzunluğu} = \sqrt{34} \) metre
Örnek 7:
Bir harita üzerinde A, B ve C noktaları işaretlenmiştir. A ve B noktaları arasındaki mesafe 10 km, B ve C noktaları arasındaki mesafe 15 km'dir. A noktasından çıkan bir gemi önce B'ye, sonra C'ye gidiyor. Eğer A, B ve C noktaları aynı doğru üzerinde ve B noktası A ile C arasında ise, geminin toplam kaç km yol gittiğini hesaplayınız. (Bu soru Tales teoreminin doğrusal parçalarla ilişkisini anlamak için sorulmuştur.) 👉
Çözüm:
Bu soru, Tales teoreminin temelinde yatan orantısal ilişkileri ve doğrusal parçaların toplamını anlamak için tasarlanmıştır.
- Soruda A, B ve C noktalarının aynı doğru üzerinde olduğu ve B'nin A ile C arasında olduğu belirtiliyor.
- Bu durum, AB ve BC doğru parçalarının doğrusal bir şekilde yan yana olduğunu gösterir.
- A ile B arasındaki mesafe = 10 km
- B ile C arasındaki mesafe = 15 km
- Gemi önce A'dan B'ye, sonra B'den C'ye gidiyor.
- Gemi tarafından alınan toplam yol, bu iki mesafenin toplamıdır.
- Toplam Yol = AB mesafesi + BC mesafesi
- Toplam Yol = 10 km + 15 km
- Toplam Yol = 25 km
Örnek 8:
Bir inşaat ustası, 6 metrelik bir kirişi iki parçaya ayırmak istiyor. Parçalardan birinin uzunluğu, diğerinin uzunluğunun 2 katı olacak şekilde ayırıyor. Parçaların uzunluklarını bulalım. Bu, Tales teoreminin basit bir uygulama örneğidir. 📏
Çözüm:
Bu problem, bir bütünün oranlara göre bölünmesi mantığına dayanır ve Tales teoreminin temel prensiplerini yansıtır.
- Toplam kiriş uzunluğu = 6 metre.
- Kiriş iki parçaya ayrılıyor. Bir parçanın uzunluğu \( x \) metre olsun.
- Diğer parçanın uzunluğu, \( x \) 'in 2 katı olacağına göre \( 2x \) metre olur.
- Toplam uzunluk, bu iki parçanın toplamına eşittir: \( x + 2x = 6 \)
- Denklemi çözelim: \( 3x = 6 \)
- Her iki tarafı 3'e bölelim: \( x = \frac{6}{3} \)
- \( x = 2 \) metre
- Bu durumda, bir parça 2 metre uzunluğundadır.
- Diğer parça ise \( 2x = 2 \times 2 = 4 \) metre uzunluğundadır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-oklid-tales-ve-pisagor-teoremleri/sorular