💡 9. Sınıf Matematik: Oklid, tales, pisagor Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.

• Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
• Formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
• Verilen dik kenarlar: \( a = 6 \) cm, \( b = 8 \) cm.
• Hesaplama: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
• \( 36 + 64 = c^2 \)
• \( 100 = c^2 \)
• Her iki tarafın karekökünü alırsak: \( c = \sqrt{100} = 10 \) cm.

Sonuç olarak, hipotenüs 10 cm'dir. ✅

Bu soru, Tales Teoremi'nin temel mantığına dayanır. Benzerlik oranını anlamak için kenar uzunluklarına bakılır.

• Üçgenin kenar uzunlukları: AB = 10 cm, BC = 15 cm, AC = 20 cm.
• Bu kenar uzunlukları arasında basit bir orantı olup olmadığını kontrol edelim.
• Örneğin, en kısa kenar ile en uzun kenar arasındaki oran: \( \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \).
• Diğer kenarlar arasındaki oranlar: \( \frac{15}{?} \) gibi bir doğrudan ilişki kurmak için başka bir benzer üçgen bilgisi gereklidir.
• Ancak, verilen kenar uzunlukları ile bu üçgenin başka bir üçgenle benzer olduğunu söylemek için yeterli bilgi yoktur. Tek başına kenar uzunlukları üçgenin benzerliği için yeterli değildir; açıların eşitliği veya kenarların orantılı olmasıyla birlikte ek bilgi gerekir.

Bu üçgenin tek başına kenar uzunlukları verildiğinde, başka bir üçgenle benzerliği hakkında kesin bir yargıya varılamaz. Benzerlik için en az iki açının eşliği veya kenarların orantılı olduğu bilgisiyle birlikte bir oran verilmesi gerekir. 📌

Bu problem, Pisagor Teoremi ile çözülebilecek bir dik üçgen problemi oluşturur.

• Merdivenin boyu hipotenüs (c) olur: \( c = 5 \) m.
• Merdivenin duvara değdiği yükseklik bir dik kenar (a) olur: \( a = 4 \) m.
• Merdivenin yere değdiği noktanın duvara olan uzaklığı diğer dik kenar (b) olur.
• Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
• Verilenleri yerine koyalım: \( 4^2 + b^2 = 5^2 \)
• \( 16 + b^2 = 25 \)
• \( b^2 = 25 - 16 \)
• \( b^2 = 9 \)
• Her iki tarafın karekökünü alırsak: \( b = \sqrt{9} = 3 \) m.

Merdivenin yere değdiği noktanın duvara olan uzaklığı 3 metre'dir. 👍

Bu soruda, kaydırakların başlangıç noktalarından itibaren aynı yatay mesafede bitmesi, Tales Teoremi'nin temelindeki benzerlik fikrini kullanmamızı sağlar. Dik üçgenler ve trigonometrinin temel prensipleri de burada devreye girer.

• Birinci Kaydırak:
• Uzunluk (hipotenüs): \( h_1 = 10 \) m
• Yere yaptığı açı: \( \alpha_1 = 30^\circ \)
• Bu kaydırağın yatay mesafesini (bitiş noktası) bulmak için kosinüs fonksiyonunu kullanabiliriz: \( \text{Yatay Mesafe} = h_1 \times \cos(\alpha_1) \)
• \( \text{Yatay Mesafe} = 10 \times \cos(30^\circ) \)
• \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) olduğundan, \( \text{Yatay Mesafe} = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) m.
• İkinci Kaydırak:
• Uzunluk (hipotenüs): \( h_2 = 12 \) m
• Yere yaptığı açı: \( \alpha_2 = ? \)
• Soruda, iki kaydırağın da başlangıç noktalarından itibaren aynı yatay mesafede bittiği belirtiliyor. Yani, birinci kaydırağın hesapladığımız yatay mesafesi, ikinci kaydırağın da yatay mesafesidir.
• \( \text{Yatay Mesafe} = 5\sqrt{3} \) m.
• İkinci kaydırağın yatay mesafesini hesaplamak için yine kosinüs kullanırız: \( \text{Yatay Mesafe} = h_2 \times \cos(\alpha_2) \)
• \( 5\sqrt{3} = 12 \times \cos(\alpha_2) \)
• \( \cos(\alpha_2) = \frac{5\sqrt{3}}{12} \)
• Bu değerin yaklaşık olarak kaç dereceye karşılık geldiğini bulmak için ters kosinüs fonksiyonunu kullanmamız gerekir. Ancak 9. sınıf müfredatında bu kadar hassas bir hesaplama beklenmez. Sorunun mantığı, oransal ilişkiyi anlamaktır.
• Eğer kaydırağın uzunluğu artarsa ve aynı yatay mesafede bitiyorsa, yere yaptığı açı daha küçük olmalıdır.

Bu sorunun tam sayısal cevabı için ileri düzey trigonometri bilgisi gerekir. Ancak 9. sınıf seviyesinde, eğer kaydırak daha uzunsa ve aynı mesafede bitiyorsa, yere daha az eğimli (daha küçük açılı) olacağını anlamak yeterlidir. İkinci kaydırağın yere yaptığı açı, birinci kaydırağın açısından (30 derece) daha küçük olacaktır. 💡

Bu durum, Pisagor Teoremi'nin klasik bir uygulamasıdır.

• Merdivenin boyu hipotenüs (c) olur: \( c = 5 \) m.
• Duvarın yüksekliği bir dik kenar (a) olur: \( a = 3 \) m.
• Merdivenin en üst noktasının duvardan uzaklığı, aslında merdivenin yere değdiği noktanın duvara olan uzaklığını (b) soruyor.
• Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
• Verilenleri yerine koyalım: \( 3^2 + b^2 = 5^2 \)
• \( 9 + b^2 = 25 \)
• \( b^2 = 25 - 9 \)
• \( b^2 = 16 \)
• Her iki tarafın karekökünü alırsak: \( b = \sqrt{16} = 4 \) m.

Merdivenin en üst noktasının duvardan uzaklığı (yani yere değdiği noktanın duvara olan uzaklığı) 4 metre'dir. 📏

Bu soruyu çözmek için Oklid'in Dik Üçgenlerde Öklid Bağıntılarından birini kullanacağız.

• Dik üçgenin kenarları \( a, b \) ve hipotenüs \( c \) olsun.
• Dik kenarın uzunluğunun karesi = hipotenüsün tamamı \( \times \) o kenara ait izdüşüm parçası.
• Formül: \( a^2 = p \times c \), burada \( a \) bir dik kenar, \( c \) hipotenüs ve \( p \) bu kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümüdür.
• Verilenler: Hipotenüs \( c = 13 \) birim, dik kenar \( a = 5 \) birim.
• Formülde yerine koyalım: \( 5^2 = p \times 13 \)
• \( 25 = p \times 13 \)
• \( p = \frac{25}{13} \)

Bu dik kenarın hipotenüs üzerinde ayırdığı parça \( \frac{25}{13} \) birimdir. 🤓

Bu soruda Tales Teoremi'nin (Benzer Üçgenler Teoremi) temel prensibini kullanacağız.

• DE doğrusu BC'ye paralel olduğunda, ABC üçgeni ile ADE üçgeni benzerdir.
• Benzer üçgenlerin karşılıklı kenarları orantılıdır.
• Orantı şöyledir: \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \)
• Verilen değerleri yerine koyalım: \( AD = 4 \) cm, \( DB = 6 \) cm, \( AE = 5 \) cm.
• \( \frac{4}{6} = \frac{5}{EC} \)
• Bu orantıyı \( EC \) için çözelim:
• \( 4 \times EC = 6 \times 5 \)
• \( 4 \times EC = 30 \)
• \( EC = \frac{30}{4} \)
• \( EC = \frac{15}{2} \)
• \( EC = 7.5 \) cm.

EC uzunluğu 7.5 cm'dir. ✅

Bu soruyu çözmek için öncelikle Pisagor Teoremi ile hipotenüsü bulmalı, ardından Oklid bağıntıları ve üçgenin temel özelliklerini göz önünde bulundurmalıyız.

• 1. Hipotenüsü Bulma (Pisagor Teoremi):
• \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)
• \( AB^2 = 8^2 + 15^2 \)
• \( AB^2 = 64 + 225 \)
• \( AB^2 = 289 \)
• \( AB = \sqrt{289} = 17 \) cm.
• 2. Yükseklikler:
• Bir dik üçgende, dik köşeden indirilen yükseklik (h_c), dik kenarların çarpımının hipotenüse bölümüne eşittir: \( h_c = \frac{AC \times BC}{AB} \)
• \( h_c = \frac{8 \times 15}{17} = \frac{120}{17} \) cm.
• Diğer iki yükseklik, dik kenarların kendisidir (yani AC ve BC).
• 3. Kenarortaylar:
• Kenarortayların uzunlukları için özel formüller vardır. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu (v_c), hipotenüsün yarısıdır: \( v_c = \frac{AB}{2} = \frac{17}{2} = 8.5 \) cm.
• Diğer kenarortayların uzunlukları (v_a ve v_b) Pisagor Teoremi'nden türetilebilir:
• \( v_a^2 = BC^2 + (\frac{AC}{2})^2 = 15^2 + (\frac{8}{2})^2 = 225 + 4^2 = 225 + 16 = 241 \Rightarrow v_a = \sqrt{241} \) cm.
• \( v_b^2 = AC^2 + (\frac{BC}{2})^2 = 8^2 + (\frac{15}{2})^2 = 64 + \frac{225}{4} = \frac{256+225}{4} = \frac{481}{4} \Rightarrow v_b = \sqrt{\frac{481}{4}} \) cm.
• 4. Oklid Bağıntıları:
• Dik kenarların kareleri, hipotenüsün o kenara ait izdüşümleri ile hipotenüsün çarpımına eşittir.
• \( AC^2 = AD \times AB \Rightarrow 8^2 = AD \times 17 \Rightarrow AD = \frac{64}{17} \) cm. (D, yükseklik ayağı)
• \( BC^2 = BD \times AB \Rightarrow 15^2 = BD \times 17 \Rightarrow BD = \frac{225}{17} \) cm.
• Yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerindeki iki parçanın çarpımına eşittir: \( h_c^2 = AD \times BD \)
• \( (\frac{120}{17})^2 = \frac{14400}{289} \)
• \( \frac{64}{17} \times \frac{225}{17} = \frac{14400}{289} \). Bu da Oklid bağıntısını doğrular.

Doğru İfade Örnekleri:

• Dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. (Pisagor)
• Dik köşeden indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüsü böldüğü iki parçanın çarpımına eşittir. (Oklid)
• Hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir.

Bu tür sorularda, verilen seçeneklere göre doğru olanı tespit etmek gerekir. Örneğin, "Dik köşeden indirilen yüksekliğin uzunluğu \( \frac{120}{17} \) cm'dir." ifadesi doğrudur. 💡

Bu problem, Pisagor Teoremi kullanılarak çözülebilen bir dik üçgen durumudur.

• Direğin yüksekliği bir dik kenar (a) olur: \( a = 10 \) m.
• İpin direğin dibinden uzaklığı diğer dik kenar (b) olur: \( b = 6 \) m.
• İpin uzunluğu ise hipotenüs (c) olur.
• Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
• Verilenleri yerine koyalım: \( 10^2 + 6^2 = c^2 \)
• \( 100 + 36 = c^2 \)
• \( 136 = c^2 \)
• Her iki tarafın karekökünü alırsak: \( c = \sqrt{136} \) m.
• \( \sqrt{136} \) ifadesini daha basit hale getirebiliriz: \( \sqrt{136} = \sqrt{4 \times 34} = 2\sqrt{34} \) m.

İpin uzunluğu \( 2\sqrt{34} \) metre olmalıdır. Yaklaşık olarak 11.66 metreye denk gelir. 🌾