🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Öklid Tales Pisagor Test Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Öklid Tales Pisagor Test Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende, dik kenarların uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
👉 Dik kenarlar \(a\) ve \(b\), hipotenüs \(c\) ise formül: \(a^2 + b^2 = c^2\).
👉 Dik kenarlar \(a\) ve \(b\), hipotenüs \(c\) ise formül: \(a^2 + b^2 = c^2\).
- Verilenler: Dik kenarlar \(a = 6\) cm, \(b = 8\) cm.
- İstenen: Hipotenüs \(c\).
- Formülü uygulayalım: \[ 6^2 + 8^2 = c^2 \]
- Kareleri alalım: \[ 36 + 64 = c^2 \]
- Toplayalım: \[ 100 = c^2 \]
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \[ c = \sqrt{100} \] \[ c = 10 \]
Örnek 2:
Bir ABC dik üçgeninde, A köşesi dik açıdır. AB kenarının uzunluğu 5 cm ve BC (hipotenüs) kenarının uzunluğu 13 cm'dir. AC kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu da bir Pisagor Teoremi uygulamasıdır, ancak bu kez dik kenarlardan biri bilinmiyor.
👉 Formül yine aynı: \(a^2 + b^2 = c^2\).
👉 Formül yine aynı: \(a^2 + b^2 = c^2\).
- Verilenler: Dik kenar \(AB = 5\) cm, Hipotenüs \(BC = 13\) cm.
- İstenen: Dik kenar \(AC\).
- Formülü uygulayalım (AB'yi \(a\), AC'yi \(b\), BC'yi \(c\) olarak düşünelim): \[ 5^2 + AC^2 = 13^2 \]
- Kareleri alalım: \[ 25 + AC^2 = 169 \]
- \(AC^2\) yalnız bırakmak için 25'i karşıya atalım: \[ AC^2 = 169 - 25 \] \[ AC^2 = 144 \]
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \[ AC = \sqrt{144} \] \[ AC = 12 \]
Örnek 3:
Bir ABC dik üçgeninde, A köşesi dik açıdır ve hipotenüse ait yüksekliğin ayağı H noktasıdır. AH yüksekliğinin uzunluğu 6 cm'dir. BH doğru parçasının uzunluğu 4 cm olduğuna göre, HC doğru parçasının uzunluğu kaç cm'dir? (Öklid Bağıntıları) 💡
Çözüm:
Bu soru, Öklid'in Yükseklik Bağıntısı ile çözülür. Bir dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
👉 Formül: \(h^2 = p \cdot k\), burada \(h\) yükseklik, \(p\) ve \(k\) ise hipotenüs üzerindeki parçaların uzunluklarıdır.
👉 Formül: \(h^2 = p \cdot k\), burada \(h\) yükseklik, \(p\) ve \(k\) ise hipotenüs üzerindeki parçaların uzunluklarıdır.
- Verilenler: Yükseklik \(AH = h = 6\) cm, Hipotenüs üzerindeki parçalardan biri \(BH = p = 4\) cm.
- İstenen: Hipotenüs üzerindeki diğer parça \(HC = k\).
- Formülü uygulayalım: \[ 6^2 = 4 \cdot k \]
- Kareyi alalım: \[ 36 = 4 \cdot k \]
- \(k\) yalnız bırakmak için her iki tarafı 4'e bölelim: \[ k = \frac{36}{4} \] \[ k = 9 \]
Örnek 4:
Bir ABC dik üçgeninde, A köşesi dik açıdır ve hipotenüse ait yüksekliğin ayağı H noktasıdır. BH uzunluğu 3 cm, BC (hipotenüs) uzunluğu ise 12 cm'dir. AB kenarının uzunluğu kaç cm'dir? (Öklid Bağıntıları) 📏
Çözüm:
Bu soru, Öklid'in Dik Kenar Bağıntısı ile çözülür. Bir dik üçgende, bir dik kenarın karesi, hipotenüsün tamamı ile bu dik kenara yakın olan hipotenüs parçasının çarpımına eşittir.
👉 Formül: \(b^2 = k \cdot c\) veya \(a^2 = p \cdot c\), burada \(b\) ve \(a\) dik kenarlar, \(c\) hipotenüs, \(k\) ve \(p\) ise hipotenüs üzerindeki ilgili parçalardır.
👉 Formül: \(b^2 = k \cdot c\) veya \(a^2 = p \cdot c\), burada \(b\) ve \(a\) dik kenarlar, \(c\) hipotenüs, \(k\) ve \(p\) ise hipotenüs üzerindeki ilgili parçalardır.
- Verilenler: Hipotenüs üzerindeki parça \(BH = p = 3\) cm.
- Verilenler: Hipotenüsün tamamı \(BC = c = 12\) cm.
- İstenen: Dik kenar \(AB = a\).
- Formülü uygulayalım: \[ AB^2 = BH \cdot BC \] \[ AB^2 = 3 \cdot 12 \]
- Çarpma işlemini yapalım: \[ AB^2 = 36 \]
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \[ AB = \sqrt{36} \] \[ AB = 6 \]
Örnek 5:
Aşağıdaki şekilde, \(d_1\) ve \(d_2\) doğruları birbirine paraleldir. Bu doğrular, birbiriyle kesişen iki doğru tarafından kesilmektedir. Birinci doğru üzerinde ayrılan parçaların uzunlukları 4 cm ve 6 cm'dir. İkinci doğru üzerinde bu parçalara karşılık gelen uzunluklardan biri 8 cm olduğuna göre, diğer uzunluk kaç cm'dir? (Tales Teoremi - Temel Orantı) ↔️
Çözüm:
Bu soru, Tales Teoremi'nin Temel Orantı Teoremi kısmıyla ilgilidir. Paralel doğrular, iki kesen doğruyu orantılı parçalara ayırır.
👉 Yani, karşılıklı parçaların oranları birbirine eşittir.
👉 Yani, karşılıklı parçaların oranları birbirine eşittir.
- Verilenler: Birinci doğru üzerindeki parçalar \(AB = 4\) cm, \(BC = 6\) cm.
- Verilenler: İkinci doğru üzerindeki karşılık gelen parçalardan biri \(DE = 8\) cm.
- İstenen: İkinci doğru üzerindeki diğer parça \(EF = x\).
- Orantıyı kuralım: \[ \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} \]
- Değerleri yerine yazalım: \[ \frac{4}{6} = \frac{8}{x} \]
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 4 \cdot x = 6 \cdot 8 \] \[ 4x = 48 \]
- \(x\) yalnız bırakmak için her iki tarafı 4'e bölelim: \[ x = \frac{48}{4} \] \[ x = 12 \]
Örnek 6:
Bir A noktasından çıkan iki ışın, \(d_1\) ve \(d_2\) paralel doğrularını kesmektedir. A noktasından \(d_1\) doğrusuna kadar olan uzaklık 5 cm'dir. \(d_1\) ve \(d_2\) doğruları arasındaki uzaklık (kesen doğru üzerindeki mesafe) 10 cm'dir. \(d_1\) doğrusu üzerinde ayrılan bir parça 6 cm olduğuna göre, \(d_2\) doğrusu üzerinde bu parçaya karşılık gelen uzunluk kaç cm'dir? (Tales Teoremi - Kelebek Benzerliği) 🦋
Çözüm:
Bu soru, Tales Teoremi'nin benzerlik uygulaması veya kelebek benzerliği olarak da bilinen prensibiyle çözülür. A noktasından çıkan ışınlar ve paralel doğrular benzer üçgenler oluşturur.
👉 Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir.
👉 Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir.
- Verilenler: Küçük üçgenin yüksekliği \(h_1 = 5\) cm (A'dan \(d_1\)'e uzaklık).
- Verilenler: Büyük üçgenin yüksekliği \(h_2 = 5 + 10 = 15\) cm (A'dan \(d_2\)'ye uzaklık).
- Verilenler: Küçük üçgenin tabanı \(t_1 = 6\) cm (\(d_1\) üzerindeki parça).
- İstenen: Büyük üçgenin tabanı \(t_2 = x\) (\(d_2\) üzerindeki parça).
- Benzerlik oranını kuralım: \[ \frac{h_1}{h_2} = \frac{t_1}{t_2} \]
- Değerleri yerine yazalım: \[ \frac{5}{15} = \frac{6}{x} \]
- Oranı sadeleştirelim: \[ \frac{1}{3} = \frac{6}{x} \]
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 1 \cdot x = 3 \cdot 6 \] \[ x = 18 \]
Örnek 7:
Bir itfaiye aracı, yerden 8 metre yükseklikteki bir pencereye uzanmak için merdivenini kullanıyor. Merdivenin ayağı, duvardan 6 metre uzaklıkta yere sabitlenmiştir. Bu merdivenin uzunluğu kaç metredir? 🚒🪜
Çözüm:
Bu durum, merdiven, duvar ve yer arasında bir dik üçgen oluşturur. Duvar ile yer birbirine dik olduğu için Pisagor Teoremi'ni kullanabiliriz.
👉 Merdivenin uzunluğu hipotenüsü temsil eder.
👉 Merdivenin uzunluğu hipotenüsü temsil eder.
- Verilenler: Duvarın yüksekliği (dik kenar) \(a = 8\) metre.
- Verilenler: Merdivenin ayağının duvara uzaklığı (dik kenar) \(b = 6\) metre.
- İstenen: Merdivenin uzunluğu (hipotenüs) \(c\).
- Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] \[ 8^2 + 6^2 = c^2 \]
- Kareleri alalım: \[ 64 + 36 = c^2 \]
- Toplayalım: \[ 100 = c^2 \]
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \[ c = \sqrt{100} \] \[ c = 10 \]
Örnek 8:
Bir ağacın boyunu ölçmek isteyen Ayşe, ağacın gölgesinin 15 metre olduğunu fark ediyor. Aynı anda, Ayşe'nin 1.6 metre boyundaki arkadaşı Zeynep'in gölgesinin 2.4 metre olduğunu görüyor. Buna göre ağacın boyu kaç metredir? (Güneş ışınları paralel kabul edilir.) 🌳☀️
Çözüm:
Güneş ışınları paralel geldiği için, ağaç ve Zeynep'in oluşturduğu üçgenler benzer üçgenlerdir. Bu benzerlik oranı ile ağacın boyunu bulabiliriz. Bu, Tales Teoremi'nin bir uygulamasıdır.
👉 Benzer cisimlerin boyları oranı, gölge boyları oranına eşittir.
👉 Benzer cisimlerin boyları oranı, gölge boyları oranına eşittir.
- Verilenler: Zeynep'in boyu \(B_Z = 1.6\) metre.
- Verilenler: Zeynep'in gölge boyu \(G_Z = 2.4\) metre.
- Verilenler: Ağacın gölge boyu \(G_A = 15\) metre.
- İstenen: Ağacın boyu \(B_A\).
- Orantıyı kuralım: \[ \frac{B_Z}{G_Z} = \frac{B_A}{G_A} \]
- Değerleri yerine yazalım: \[ \frac{1.6}{2.4} = \frac{B_A}{15} \]
- Kesirleri sadeleştirelim (her iki tarafı 0.8'e bölebiliriz): \[ \frac{2}{3} = \frac{B_A}{15} \]
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 3 \cdot B_A = 2 \cdot 15 \] \[ 3B_A = 30 \]
- \(B_A\) yalnız bırakmak için her iki tarafı 3'e bölelim: \[ B_A = \frac{30}{3} \] \[ B_A = 10 \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-oklid-tales-pisagor-test/sorular