💡 9. Sınıf Matematik: Öklid Tales Pisagor Teoremleri Çözümlü Örnekler

Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
Dik kenarlar \(a\) ve \(b\), hipotenüs \(c\) olmak üzere: \(a^2 + b^2 = c^2\).

• 👉 Verilen dik kenar uzunlukları: \(a = 6\) cm ve \(b = 8\) cm.
• 👉 Formülü uygulayalım: \[ 6^2 + 8^2 = c^2 \]
• 👉 Karelerini alalım: \[ 36 + 64 = c^2 \]
• 👉 Toplayalım: \[ 100 = c^2 \]
• 👉 Her iki tarafın karekökünü alarak \(c\)'yi bulalım: \[ c = \sqrt{100} \] \[ c = 10 \] cm

✅ Yani, hipotenüsün uzunluğu 10 cm'dir.

Yine Pisagor Teoremi'ni kullanacağız: \(a^2 + b^2 = c^2\).

• 👉 Verilenler: Hipotenüs \(c = 13\) cm, dik kenarlardan biri \(a = 5\) cm. Diğer dik kenarı \(b\) olarak arıyoruz.
• 👉 Formülü yerine yazalım: \[ 5^2 + b^2 = 13^2 \]
• 👉 Karelerini alalım: \[ 25 + b^2 = 169 \]
• 👉 \(b^2\)'yi yalnız bırakmak için 25'i karşıya atalım: \[ b^2 = 169 - 25 \] \[ b^2 = 144 \]
• 👉 Her iki tarafın karekökünü alalım: \[ b = \sqrt{144} \] \[ b = 12 \] cm

✅ Diğer dik kenarın uzunluğu 12 cm'dir.

Bu soru Öklid Bağıntıları'ndan "yükseklik bağıntısı" ile çözülür. Bir dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
\(h\) yükseklik, \(p\) ve \(k\) hipotenüs üzerindeki parçalar olmak üzere: \(h^2 = p \cdot k\).

• 👉 Verilenler: \(BH = p = 4\) cm, \(HC = k = 9\) cm. \(AH = h\) 'yi arıyoruz.
• 👉 Formülü uygulayalım: \[ h^2 = 4 \cdot 9 \]
• 👉 Çarpımı yapalım: \[ h^2 = 36 \]
• 👉 Her iki tarafın karekökünü alalım: \[ h = \sqrt{36} \] \[ h = 6 \] cm

✅ AH yüksekliğinin uzunluğu 6 cm'dir.

Bu soru Öklid Bağıntıları'ndan "dik kenar bağıntısı" ile çözülür. Bir dik üçgende bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerindeki kendi tarafındaki parçanın uzunluğu ile tüm hipotenüsün uzunluğunun çarpımına eşittir.
\(b\) dik kenar, \(p\) hipotenüs üzerindeki parça, \(c\) tüm hipotenüs olmak üzere: \(b^2 = p \cdot c\).

• 👉 Verilenler: \(BH = p = 3\) cm, \(BC = c = 12\) cm. \(AB = b\) 'yi arıyoruz.
• 👉 Formülü uygulayalım: \[ AB^2 = BH \cdot BC \] \[ AB^2 = 3 \cdot 12 \]
• 👉 Çarpımı yapalım: \[ AB^2 = 36 \]
• 👉 Her iki tarafın karekökünü alalım: \[ AB = \sqrt{36} \] \[ AB = 6 \] cm

✅ AB kenarının uzunluğu 6 cm'dir.

Bu soru Tales Teoremi'nin bir uygulaması olan "Temel Orantı Teoremi" ile çözülür. Bir üçgende bir kenara paralel çizilen bir doğru, diğer iki kenarı orantılı parçalara ayırır.
Yani, \(DE // BC\) ise, \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \).

• 👉 Verilenler: \(AD = 4\) cm, \(DB = 6\) cm, \(AE = 5\) cm. \(EC\) 'yi arıyoruz.
• 👉 Orantıyı kuralım: \[ \frac{4}{6} = \frac{5}{EC} \]
• 👉 Oranı sadeleştirelim: \[ \frac{2}{3} = \frac{5}{EC} \]
• 👉 İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 2 \cdot EC = 3 \cdot 5 \] \[ 2 \cdot EC = 15 \]
• 👉 \(EC\)'yi bulalım: \[ EC = \frac{15}{2} \] \[ EC = 7.5 \] cm

✅ EC uzunluğu 7.5 cm'dir.

Bu soru "Tales Teoremi" ile çözülür. Paralel doğrular, kendilerini kesen doğrular üzerinde orantılı parçalar ayırır.

• 👉 İlk kesen üzerindeki parçalar: \(A_1A_2 = 8\) cm, \(A_2A_3 = 12\) cm.
• 👉 İkinci kesen üzerindeki parçalar: \(B_1B_2 = 10\) cm. \(B_2B_3 = x\) 'i arıyoruz.
• 👉 Orantıyı kuralım: \[ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} \] \[ \frac{8}{12} = \frac{10}{x} \]
• 👉 Oranı sadeleştirelim: \[ \frac{2}{3} = \frac{10}{x} \]
• 👉 İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 2 \cdot x = 3 \cdot 10 \] \[ 2x = 30 \]
• 👉 \(x\)'i bulalım: \[ x = \frac{30}{2} \] \[ x = 15 \] cm

✅ İkinci kesen üzerinde \(d_2\) ile \(d_3\) arasındaki parçanın uzunluğu 15 cm'dir.

Bu problemde iki farklı Pisagor Teoremi uygulaması yapacağız.

1. Durum: Merdivenin ilk yüksekliği

• 👉 Merdiven, duvar ve yer bir dik üçgen oluşturur. Merdiven hipotenüs, duvar ve yer dik kenarlardır.
• 👉 Hipotenüs (merdiven uzunluğu) \(c = 15\) m.
• 👉 Dik kenarlardan biri (yerdeki uzaklık) \(a = 9\) m.
• 👉 Diğer dik kenar (duvardaki yükseklik) \(h_1\) 'i bulacağız.
• 👉 Pisagor Teoremi: \(a^2 + h_1^2 = c^2\)
• \[ 9^2 + h_1^2 = 15^2 \]
• \[ 81 + h_1^2 = 225 \]
• \[ h_1^2 = 225 - 81 \]
• \[ h_1^2 = 144 \]
• \[ h_1 = \sqrt{144} = 12 \] m

İlk durumda merdivenin üst ucu yerden 12 metre yüksektedir.

2. Durum: Merdiven alt ucu uzaklaştırıldığında yeni yükseklik

• 👉 Merdivenin alt ucu duvardan 3 metre daha uzaklaştırılıyor. Yeni yerdeki uzaklık \(a_2 = 9 + 3 = 12\) m olur.
• 👉 Merdivenin uzunluğu (hipotenüs) değişmez: \(c = 15\) m.
• 👉 Yeni yüksekliği \(h_2\) 'yi bulacağız.
• 👉 Pisagor Teoremi: \(a_2^2 + h_2^2 = c^2\)
• \[ 12^2 + h_2^2 = 15^2 \]
• \[ 144 + h_2^2 = 225 \]
• \[ h_2^2 = 225 - 144 \]
• \[ h_2^2 = 81 \]
• \[ h_2 = \sqrt{81} = 9 \] m

İkinci durumda merdivenin üst ucu yerden 9 metre yüksektedir.

Merdivenin ne kadar aşağı indiği:

• 👉 İlk yükseklik \(h_1 = 12\) m.
• 👉 Yeni yükseklik \(h_2 = 9\) m.
• 👉 İnen miktar: \(12 - 9 = 3\) m.

✅ Merdivenin üst ucu yerden 3 metre aşağı iner.

Bu problemde, güneş ışınları yere paralel geldiği için Ali ile gölgesi ve ağaç ile gölgesi benzer dik üçgenler oluşturur. Bu durum Tales Teoremi'nin temel prensiplerinden biri olan benzerlik ilkesiyle çözülür.

• 👉 Ali'nin boyu (\(H_{Ali}\)) = 1.8 m.
• 👉 Ali'nin gölgesi (\(G_{Ali}\)) = 2.4 m.
• 👉 Ağacın gölgesi (\(G_{Ağaç}\)) = 12 m.
• 👉 Ağacın boyu (\(H_{Ağaç}\)) 'ı arıyoruz.
• 👉 Benzer üçgenlerde kenar oranları eşit olacağı için: \[ \frac{H_{Ali}}{G_{Ali}} = \frac{H_{Ağaç}}{G_{Ağaç}} \]
• 👉 Bilinen değerleri yerine yazalım: \[ \frac{1.8}{2.4} = \frac{H_{Ağaç}}{12} \]
• 👉 Oranı sadeleştirelim (her iki tarafı 0.6'ya bölerek): \[ \frac{3}{4} = \frac{H_{Ağaç}}{12} \]
• 👉 İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 4 \cdot H_{Ağaç} = 3 \cdot 12 \] \[ 4 \cdot H_{Ağaç} = 36 \]
• 👉 \(H_{Ağaç}\)'ı bulalım: \[ H_{Ağaç} = \frac{36}{4} \] \[ H_{Ağaç} = 9 \] m

✅ Ağacın boyu 9 metredir.