💡 9. Sınıf Matematik: Öklid Soruları Çözümlü Örnekler

Adım 1: Pisagor Teoremi'ni hatırlayalım.

• Dik kenarlar: \( a \) ve \( b \)
• Hipotenüs: \( c \)
• Teorem: \( a^2 + b^2 = c^2 \)

Adım 2: Verilen değerleri formülde yerine koyalım.

• \( a = 6 \) cm
• \( b = 8 \) cm
• \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)

Adım 3: Kareleri hesaplayalım.

• \( 36 + 64 = c^2 \)

Adım 4: Toplama işlemini yapalım.

• \( 100 = c^2 \)

Adım 5: Hipotenüs uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım.

• \( c = \sqrt{100} \)
• \( c = 10 \) cm ✅

Sonuç olarak, bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 10 cm'dir.

Adım 1: Kosinüs Teoremi'ni hatırlayalım.

• Bir \( ABC \) üçgeninde, kenar uzunlukları \( a, b, c \) ve açılar \( A, B, C \) ise:
• \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \)
• Burada \( a \), \( A \) açısının karşısındaki kenardır.

Adım 2: Soruda verilenleri Kosinüs Teoremi'ne uyarlayalım.

• \( c = |AB| = 10 \)
• \( b = |AC| = 12 \)
• \( A = \angle BAC = 60^\circ \)
• Bulmak istediğimiz \( a = |BC| \)

Adım 3: Değerleri formülde yerine koyalım.

• \( |BC|^2 = |AC|^2 + |AB|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |AB| \cdot \cos(\angle BAC) \)
• \( |BC|^2 = 12^2 + 10^2 - 2 \cdot 12 \cdot 10 \cdot \cos(60^\circ) \)

Adım 4: Bilinen değerleri hesaplayalım.

• \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \)
• \( 12^2 = 144 \)
• \( 10^2 = 100 \)

Adım 5: Formüldeki hesaplamaları yapalım.

• \( |BC|^2 = 144 + 100 - 2 \cdot 12 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} \)
• \( |BC|^2 = 244 - 120 \)
• \( |BC|^2 = 124 \)

Adım 6: \( |BC| \) kenar uzunluğunu bulmak için karekök alalım.

• \( |BC| = \sqrt{124} \)
• \( |BC| = \sqrt{4 \cdot 31} \)
• \( |BC| = 2\sqrt{31} \) birim ✅

Bu üçgenin \( |BC| \) kenar uzunluğu \( 2\sqrt{31} \) birim'dir.

Adım 1: Problemi görselleştirelim.

• İki ağaç arasındaki yatay mesafe 12 metre'dir.
• Gözlemcinin göz hizası yer düzleminden 1.5 metre yüksekliktedir.
• İkinci ağacın tepesine bakış açısı 30 derece'dir.
• Bulmamız gereken, iki ağacın tepeleri arasındaki yükseklik farkıdır.

Adım 2: Yükseklik farkını hesaplamak için dik üçgen oluşturalım.

• Gözlemcinin göz hizasından ikinci ağacın tepesine kadar olan dikey mesafeyi bulmalıyız. Bu mesafe, ağaçların yükseklikleri arasındaki farka eşittir (çünkü göz hizası zaten 1.5 metre).
• Bu dikey mesafeye \( h \) diyelim.
• Yatay mesafe (ağaçlar arası mesafe) 12 metre'dir.
• Açı 30 derece'dir.

Adım 3: Tanjant oranını kullanalım.

• Tanjant, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır.
• \( \tan(\text{açı}) = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{komşu dik kenar}} \)
• \( \tan(30^\circ) = \frac{h}{12} \)

Adım 4: \( \tan(30^\circ) \) değerini hatırlayalım.

• \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) veya \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)

Adım 5: \( h \) değerini hesaplayalım.

• \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{12} \)
• \( h = \frac{12}{\sqrt{3}} \)
• Paydayı rasyonel yapmak için \( \sqrt{3} \) ile çarpalım:
• \( h = \frac{12\sqrt{3}}{3} \)
• \( h = 4\sqrt{3} \) metre ✅

İki ağacın yükseklikleri arasındaki fark \( 4\sqrt{3} \) metre'dir.

Adım 1: Durumu görselleştirelim.

• Hortumun uzunluğu, dik üçgenin hipotenüsü'dür: \( c = 10 \) metre.
• Musluğun olduğu nokta ile fidenin bulunduğu nokta arasındaki yatay mesafe, dik üçgenin bir dik kenarı'dır: \( a = 6 \) metre.
• Bulmamız gereken, hortumun dikey olarak ne kadar aşağıda olduğudur. Bu, dik üçgenin diğer dik kenarı'dır: \( b \).

Adım 2: Pisagor Teoremi'ni uygulayalım.

• \( a^2 + b^2 = c^2 \)
• \( 6^2 + b^2 = 10^2 \)

Adım 3: Kareleri hesaplayalım.

• \( 36 + b^2 = 100 \)

Adım 4: \( b^2 \) değerini bulalım.

• \( b^2 = 100 - 36 \)
• \( b^2 = 64 \)

Adım 5: \( b \) değerini bulmak için karekök alalım.

• \( b = \sqrt{64} \)
• \( b = 8 \) metre ✅

Hortum, musluğa göre dikey olarak 8 metre aşağıdadır.

Adım 1: İkizkenar üçgenin özelliklerini hatırlayalım.

• İkizkenar üçgenin tepe açısı ile taban açıları vardır.
• İkizkenar üçgende taban açıları birbirine eşittir.
• Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180 derece'dir.

Adım 2: Verilen bilgileri not alalım.

• Tepe açısı = \( 80^\circ \)
• Taban açıları = \( x \) (Her ikisi de aynı)

Adım 3: Üçgenin iç açıları toplamı formülünü kullanalım.

• Tepe Açısı + Taban Açısı 1 + Taban Açısı 2 = \( 180^\circ \)
• \( 80^\circ + x + x = 180^\circ \)

Adım 4: Denklemi çözelim.

• \( 80^\circ + 2x = 180^\circ \)
• \( 2x = 180^\circ - 80^\circ \)
• \( 2x = 100^\circ \)
• \( x = \frac{100^\circ}{2} \)
• \( x = 50^\circ \) ✅

Bu ikizkenar üçgenin taban açılarından her biri 50 derece'dir.

Adım 1: Kosinüs Teoremi'ni hatırlayalım.

• Bir \( ABC \) üçgeninde, kenar uzunlukları \( a, b, c \) ve açılar \( A, B, C \) ise:
• \( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B) \)
• Burada \( b \), \( B \) açısının karşısındaki kenardır.

Adım 2: Soruda verilenleri ve bulmak istediğimizi belirleyelim.

• \( c = |AB| = 5 \)
• \( a = |BC| = 7 \)
• \( b = |AC| = 8 \)
• Bulmak istediğimiz \( \cos(B) = \cos(\angle ABC) \)

Adım 3: Kosinüs Teoremi'ni \( \angle ABC \) açısı için yazalım.

• \( |AC|^2 = |BC|^2 + |AB|^2 - 2 \cdot |BC| \cdot |AB| \cdot \cos(\angle ABC) \)
• \( 8^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos(\angle ABC) \)

Adım 4: Bilinen değerleri hesaplayalım.

• \( 8^2 = 64 \)
• \( 7^2 = 49 \)
• \( 5^2 = 25 \)
• \( 2 \cdot 7 \cdot 5 = 70 \)

Adım 5: Formüldeki hesaplamaları yapalım.

• \( 64 = 49 + 25 - 70 \cdot \cos(\angle ABC) \)
• \( 64 = 74 - 70 \cdot \cos(\angle ABC) \)

Adım 6: \( \cos(\angle ABC) \) terimini yalnız bırakalım.

• \( 70 \cdot \cos(\angle ABC) = 74 - 64 \)
• \( 70 \cdot \cos(\angle ABC) = 10 \)
• \( \cos(\angle ABC) = \frac{10}{70} \)
• \( \cos(\angle ABC) = \frac{1}{7} \) ✅

Bu üçgenin \( \angle ABC \) açısının kosinüs değeri \( \frac{1}{7} \)'dir.

Adım 1: Pisagor Teoremi'ni hatırlayalım.

• Dik kenarlar: \( a \) ve \( b \)
• Hipotenüs: \( c \)
• Teorem: \( a^2 + b^2 = c^2 \)

Adım 2: Soruda verilen bilgileri formüle yerleştirelim.

• Bir dik kenar: \( a = x \)
• Diğer dik kenar: \( b = 10 \)
• Hipotenüs: \( c = x+2 \)
• \( x^2 + 10^2 = (x+2)^2 \)

Adım 3: Denklemi açalım ve düzenleyelim.

• \( x^2 + 100 = (x+2)(x+2) \)
• \( x^2 + 100 = x^2 + 2x + 2x + 4 \)
• \( x^2 + 100 = x^2 + 4x + 4 \)

Adım 4: \( x^2 \) terimlerini sadeleştirelim.

• Her iki taraftan \( x^2 \) çıkarırsak:
• \( 100 = 4x + 4 \)

Adım 5: \( x \) değerini bulmak için denklemi çözelim.

• \( 100 - 4 = 4x \)
• \( 96 = 4x \)
• \( x = \frac{96}{4} \)
• \( x = 24 \) ✅

Bu dik üçgende \( x \) değeri 24'tür.

Adım 1: Problemi görselleştirelim.

• Futbol sahası bir dikdörtgendir.
• Kenar uzunlukları: 100 metre ve 50 metre.
• Futbolcu bir köşeden (A) karşı çapraz köşeye (C) düz koşuyor. Bu, dikdörtgenin köşegeni'dir.
• Eğer kenarlar boyunca koşsaydı, iki kenarı toplardı.

Adım 2: Kenarlar boyunca alınan mesafeyi hesaplayalım.

• Mesafe = Kenar 1 + Kenar 2
• Mesafe = 100 m + 50 m = 150 metre

Adım 3: Düz koşulan mesafeyi (köşegen) bulmak için Pisagor Teoremi'ni kullanalım.

• Dikdörtgenin kenarları, dik üçgenin dik kenarlarıdır. Köşegen ise hipotenüstür.
• Dik kenarlar: \( a = 100 \) m, \( b = 50 \) m
• Hipotenüs (köşegen): \( c \)
• \( a^2 + b^2 = c^2 \)
• \( 100^2 + 50^2 = c^2 \)

Adım 4: Hesaplamaları yapalım.

• \( 100^2 = 10000 \)
• \( 50^2 = 2500 \)
• \( c^2 = 10000 + 2500 \)
• \( c^2 = 12500 \)

Adım 5: Köşegen uzunluğunu bulmak için karekök alalım.

• \( c = \sqrt{12500} \)
• \( c = \sqrt{2500 \cdot 5} \)
• \( c = 50\sqrt{5} \) metre ✅

Adım 6: İki mesafe arasındaki farkı hesaplayalım.

• Fark = (Kenarlar boyunca mesafe) - (Düz koşulan mesafe)
• Fark = \( 150 - 50\sqrt{5} \) metre ✅

Futbolcunun düz koştuğu mesafe \( 50\sqrt{5} \) metre'dir. Kenarlar boyunca koştuğu mesafe ise 150 metre'dir. Aradaki fark \( 150 - 50\sqrt{5} \) metre'dir.

Adım 1: Üçgenin iç açıları toplamı kuralını hatırlayalım.

• Bir \( ABC \) üçgeninde, \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)

Adım 2: Soruda verilen açıları formülde yerine koyalım.

• \( \angle A = 50^\circ \)
• \( \angle B = 70^\circ \)
• \( 50^\circ + 70^\circ + \angle C = 180^\circ \)

Adım 3: Bilinen açıları toplayalım.

• \( 120^\circ + \angle C = 180^\circ \)

Adım 4: \( \angle C \) açısını bulmak için denklemi çözelim.

• \( \angle C = 180^\circ - 120^\circ \)
• \( \angle C = 60^\circ \) ✅

Bu üçgenin \( \angle C \) açısı 60 derece'dir.