💡 9. Sınıf Matematik: Öklid Soruları Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Bir dik üçgende dik kenarlar 6 cm ve 8 cm olarak veriliyor. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm ve Açıklama
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Pisagor Teoremi, dik üçgenlerde dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
Adım 1: Pisagor Teoremi'ni hatırlayalım.
Dik kenarlar: \( a \) ve \( b \)
Hipotenüs: \( c \)
Teorem: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Adım 2: Verilen değerleri formülde yerine koyalım.
\( a = 6 \) cm
\( b = 8 \) cm
\( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
Adım 3: Kareleri hesaplayalım.
\( 36 + 64 = c^2 \)
Adım 4: Toplama işlemini yapalım.
\( 100 = c^2 \)
Adım 5: Hipotenüs uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım.
\( c = \sqrt{100} \)
\( c = 10 \) cm ✅
Sonuç olarak, bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 10 cm'dir.
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir ABC üçgeninde, \( |AB| = 10 \) birim, \( |AC| = 12 \) birim ve \( \angle BAC = 60^\circ \) olarak verilmiştir. Bu üçgenin \( |BC| \) kenar uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm ve Açıklama
Bu tür bir soruda, üç kenar uzunluğundan ikisi ve aralarındaki açı verildiğinde üçüncü kenarı bulmak için Kosinüs Teoremi'ni kullanırız.
Adım 1: Kosinüs Teoremi'ni hatırlayalım.
Bir \( ABC \) üçgeninde, kenar uzunlukları \( a, b, c \) ve açılar \( A, B, C \) ise:
\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \)
Burada \( a \), \( A \) açısının karşısındaki kenardır.
Adım 2: Soruda verilenleri Kosinüs Teoremi'ne uyarlayalım.
Adım 6: \( |BC| \) kenar uzunluğunu bulmak için karekök alalım.
\( |BC| = \sqrt{124} \)
\( |BC| = \sqrt{4 \cdot 31} \)
\( |BC| = 2\sqrt{31} \) birim ✅
Bu üçgenin \( |BC| \) kenar uzunluğu \( 2\sqrt{31} \) birim'dir.
3
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir parkta bulunan iki ağaç arasındaki mesafe 12 metre olarak ölçülmüştür. Birinci ağacın tepesinden, ikinci ağacın tepesine bakan bir gözlemci, gözlem doğrultusunun yer düzlemiyle yaptığı açının 30 derece olduğunu fark ediyor. Gözlemcinin göz hizasının yer düzleminden yüksekliği 1.5 metre olduğuna göre, iki ağacın yükseklikleri arasındaki farkı bulunuz. (Ağaçların dik olduğu varsayılacaktır.) 🌳
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde, iki ağaç arasındaki yükseklik farkını bulmak için trigonometrik oranları (sinüs, kosinüs, tanjant) kullanacağız.
Adım 1: Problemi görselleştirelim.
İki ağaç arasındaki yatay mesafe 12 metre'dir.
Gözlemcinin göz hizası yer düzleminden 1.5 metre yüksekliktedir.
İkinci ağacın tepesine bakış açısı 30 derece'dir.
Bulmamız gereken, iki ağacın tepeleri arasındaki yükseklik farkıdır.
Adım 2: Yükseklik farkını hesaplamak için dik üçgen oluşturalım.
Gözlemcinin göz hizasından ikinci ağacın tepesine kadar olan dikey mesafeyi bulmalıyız. Bu mesafe, ağaçların yükseklikleri arasındaki farka eşittir (çünkü göz hizası zaten 1.5 metre).
Bu dikey mesafeye \( h \) diyelim.
Yatay mesafe (ağaçlar arası mesafe) 12 metre'dir.
Açı 30 derece'dir.
Adım 3: Tanjant oranını kullanalım.
Tanjant, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır.
\( \tan(\text{açı}) = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{komşu dik kenar}} \)
\( \tan(30^\circ) = \frac{h}{12} \)
Adım 4: \( \tan(30^\circ) \) değerini hatırlayalım.
\( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) veya \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)
Adım 5: \( h \) değerini hesaplayalım.
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{12} \)
\( h = \frac{12}{\sqrt{3}} \)
Paydayı rasyonel yapmak için \( \sqrt{3} \) ile çarpalım:
\( h = \frac{12\sqrt{3}}{3} \)
\( h = 4\sqrt{3} \) metre ✅
İki ağacın yükseklikleri arasındaki fark \( 4\sqrt{3} \) metre'dir.
4
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir çiftçi, bahçesindeki domates fidelerini sulamak için 10 metrelik bir hortum kullanıyor. Hortumun bir ucunu musluğa bağladıktan sonra, diğer ucunu en uzak domates fidesine kadar uzatıyor. Hortumun musluğa bağlandığı nokta ile en uzak fidenin bulunduğu nokta arasındaki yatay mesafe 6 metre ise, hortumun musluğa göre dikey olarak ne kadar aşağıda olduğunu bulunuz. (Hortumun esnek olmadığı ve düz bir çizgi izlediği varsayılacaktır.) 💧
Çözüm ve Açıklama
Bu problem, Pisagor Teoremi'nin günlük hayattaki bir uygulamasını göstermektedir.
Adım 1: Durumu görselleştirelim.
Hortumun uzunluğu, dik üçgenin hipotenüsü'dür: \( c = 10 \) metre.
Musluğun olduğu nokta ile fidenin bulunduğu nokta arasındaki yatay mesafe, dik üçgenin bir dik kenarı'dır: \( a = 6 \) metre.
Bulmamız gereken, hortumun dikey olarak ne kadar aşağıda olduğudur. Bu, dik üçgenin diğer dik kenarı'dır: \( b \).
Adım 2: Pisagor Teoremi'ni uygulayalım.
\( a^2 + b^2 = c^2 \)
\( 6^2 + b^2 = 10^2 \)
Adım 3: Kareleri hesaplayalım.
\( 36 + b^2 = 100 \)
Adım 4: \( b^2 \) değerini bulalım.
\( b^2 = 100 - 36 \)
\( b^2 = 64 \)
Adım 5: \( b \) değerini bulmak için karekök alalım.
\( b = \sqrt{64} \)
\( b = 8 \) metre ✅
Hortum, musluğa göre dikey olarak 8 metre aşağıdadır.
5
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Bir ikizkenar üçgenin tepe açısı \( 80^\circ \) olarak verilmiştir. Bu üçgenin taban açılarından birinin ölçüsünü bulunuz. 📐
Çözüm ve Açıklama
İkizkenar üçgenlerin özelliklerini kullanarak bu soruyu kolayca çözebiliriz.
Adım 1: İkizkenar üçgenin özelliklerini hatırlayalım.
İkizkenar üçgenin tepe açısı ile taban açıları vardır.
İkizkenar üçgende taban açıları birbirine eşittir.
Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180 derece'dir.
Adım 2: Verilen bilgileri not alalım.
Tepe açısı = \( 80^\circ \)
Taban açıları = \( x \) (Her ikisi de aynı)
Adım 3: Üçgenin iç açıları toplamı formülünü kullanalım.
Adım 6: \( \cos(\angle ABC) \) terimini yalnız bırakalım.
\( 70 \cdot \cos(\angle ABC) = 74 - 64 \)
\( 70 \cdot \cos(\angle ABC) = 10 \)
\( \cos(\angle ABC) = \frac{10}{70} \)
\( \cos(\angle ABC) = \frac{1}{7} \) ✅
Bu üçgenin \( \angle ABC \) açısının kosinüs değeri \( \frac{1}{7} \)'dir.
7
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Bir dik üçgende, dik kenarlarından biri \( x \) birim ve hipotenüs \( x+2 \) birimdir. Diğer dik kenarın uzunluğu 10 birim olduğuna göre, \( x \) değerini bulunuz. 📐
Çözüm ve Açıklama
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız ve elde edeceğimiz ikinci dereceden denklemi çözeceğiz.
Adım 1: Pisagor Teoremi'ni hatırlayalım.
Dik kenarlar: \( a \) ve \( b \)
Hipotenüs: \( c \)
Teorem: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Adım 2: Soruda verilen bilgileri formüle yerleştirelim.
Bir dik kenar: \( a = x \)
Diğer dik kenar: \( b = 10 \)
Hipotenüs: \( c = x+2 \)
\( x^2 + 10^2 = (x+2)^2 \)
Adım 3: Denklemi açalım ve düzenleyelim.
\( x^2 + 100 = (x+2)(x+2) \)
\( x^2 + 100 = x^2 + 2x + 2x + 4 \)
\( x^2 + 100 = x^2 + 4x + 4 \)
Adım 4: \( x^2 \) terimlerini sadeleştirelim.
Her iki taraftan \( x^2 \) çıkarırsak:
\( 100 = 4x + 4 \)
Adım 5: \( x \) değerini bulmak için denklemi çözelim.
\( 100 - 4 = 4x \)
\( 96 = 4x \)
\( x = \frac{96}{4} \)
\( x = 24 \) ✅
Bu dik üçgende \( x \) değeri 24'tür.
8
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir futbol sahasının kenar uzunlukları 100 metre ve 50 metredir. Bir futbolcu, sahanın bir köşesinden (A noktası) karşı çapraz köşesine (C noktası) doğru düz bir çizgide koşacaktır. Eğer futbolcu, sahanın kenarları boyunca hareket etseydi, A noktasından C noktasına ulaşmak için alması gereken toplam mesafe kaç metre olurdu? Futbolcunun koştuğu düz çizgi mesafesi ile kenarlar boyunca koştuğu mesafe arasındaki farkı bulunuz. ⚽
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda, Pisagor Teoremi'ni kullanarak futbol sahasının köşegen uzunluğunu bulacağız ve ardından kenarlar boyunca alınan mesafe ile karşılaştıracağız.
Adım 1: Problemi görselleştirelim.
Futbol sahası bir dikdörtgendir.
Kenar uzunlukları: 100 metre ve 50 metre.
Futbolcu bir köşeden (A) karşı çapraz köşeye (C) düz koşuyor. Bu, dikdörtgenin köşegeni'dir.
Eğer kenarlar boyunca koşsaydı, iki kenarı toplardı.
Adım 2: Kenarlar boyunca alınan mesafeyi hesaplayalım.
Mesafe = Kenar 1 + Kenar 2
Mesafe = 100 m + 50 m = 150 metre
Adım 3: Düz koşulan mesafeyi (köşegen) bulmak için Pisagor Teoremi'ni kullanalım.
Dikdörtgenin kenarları, dik üçgenin dik kenarlarıdır. Köşegen ise hipotenüstür.
Dik kenarlar: \( a = 100 \) m, \( b = 50 \) m
Hipotenüs (köşegen): \( c \)
\( a^2 + b^2 = c^2 \)
\( 100^2 + 50^2 = c^2 \)
Adım 4: Hesaplamaları yapalım.
\( 100^2 = 10000 \)
\( 50^2 = 2500 \)
\( c^2 = 10000 + 2500 \)
\( c^2 = 12500 \)
Adım 5: Köşegen uzunluğunu bulmak için karekök alalım.
\( c = \sqrt{12500} \)
\( c = \sqrt{2500 \cdot 5} \)
\( c = 50\sqrt{5} \) metre ✅
Adım 6: İki mesafe arasındaki farkı hesaplayalım.
Fark = (Kenarlar boyunca mesafe) - (Düz koşulan mesafe)
Fark = \( 150 - 50\sqrt{5} \) metre ✅
Futbolcunun düz koştuğu mesafe \( 50\sqrt{5} \) metre'dir. Kenarlar boyunca koştuğu mesafe ise 150 metre'dir. Aradaki fark \( 150 - 50\sqrt{5} \) metre'dir.
9
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 50^\circ \) ve \( \angle B = 70^\circ \) ise, \( \angle C \) açısının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm ve Açıklama
Bir üçgenin iç açılarının toplamının her zaman 180 derece olduğunu bilerek bu soruyu kolayca çözebiliriz.
Adım 1: Üçgenin iç açıları toplamı kuralını hatırlayalım.
Bir \( ABC \) üçgeninde, \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
Adım 2: Soruda verilen açıları formülde yerine koyalım.
\( \angle A = 50^\circ \)
\( \angle B = 70^\circ \)
\( 50^\circ + 70^\circ + \angle C = 180^\circ \)
Adım 3: Bilinen açıları toplayalım.
\( 120^\circ + \angle C = 180^\circ \)
Adım 4: \( \angle C \) açısını bulmak için denklemi çözelim.
\( \angle C = 180^\circ - 120^\circ \)
\( \angle C = 60^\circ \) ✅
Bu üçgenin \( \angle C \) açısı 60 derece'dir.
9. Sınıf Matematik: Öklid Soruları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende dik kenarlar 6 cm ve 8 cm olarak veriliyor. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Pisagor Teoremi, dik üçgenlerde dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
Adım 1: Pisagor Teoremi'ni hatırlayalım.
Dik kenarlar: \( a \) ve \( b \)
Hipotenüs: \( c \)
Teorem: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Adım 2: Verilen değerleri formülde yerine koyalım.
\( a = 6 \) cm
\( b = 8 \) cm
\( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
Adım 3: Kareleri hesaplayalım.
\( 36 + 64 = c^2 \)
Adım 4: Toplama işlemini yapalım.
\( 100 = c^2 \)
Adım 5: Hipotenüs uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım.
\( c = \sqrt{100} \)
\( c = 10 \) cm ✅
Sonuç olarak, bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 10 cm'dir.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde, \( |AB| = 10 \) birim, \( |AC| = 12 \) birim ve \( \angle BAC = 60^\circ \) olarak verilmiştir. Bu üçgenin \( |BC| \) kenar uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu tür bir soruda, üç kenar uzunluğundan ikisi ve aralarındaki açı verildiğinde üçüncü kenarı bulmak için Kosinüs Teoremi'ni kullanırız.
Adım 1: Kosinüs Teoremi'ni hatırlayalım.
Bir \( ABC \) üçgeninde, kenar uzunlukları \( a, b, c \) ve açılar \( A, B, C \) ise:
\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \)
Burada \( a \), \( A \) açısının karşısındaki kenardır.
Adım 2: Soruda verilenleri Kosinüs Teoremi'ne uyarlayalım.
Adım 6: \( |BC| \) kenar uzunluğunu bulmak için karekök alalım.
\( |BC| = \sqrt{124} \)
\( |BC| = \sqrt{4 \cdot 31} \)
\( |BC| = 2\sqrt{31} \) birim ✅
Bu üçgenin \( |BC| \) kenar uzunluğu \( 2\sqrt{31} \) birim'dir.
Örnek 3:
Bir parkta bulunan iki ağaç arasındaki mesafe 12 metre olarak ölçülmüştür. Birinci ağacın tepesinden, ikinci ağacın tepesine bakan bir gözlemci, gözlem doğrultusunun yer düzlemiyle yaptığı açının 30 derece olduğunu fark ediyor. Gözlemcinin göz hizasının yer düzleminden yüksekliği 1.5 metre olduğuna göre, iki ağacın yükseklikleri arasındaki farkı bulunuz. (Ağaçların dik olduğu varsayılacaktır.) 🌳
Çözüm:
Bu problemde, iki ağaç arasındaki yükseklik farkını bulmak için trigonometrik oranları (sinüs, kosinüs, tanjant) kullanacağız.
Adım 1: Problemi görselleştirelim.
İki ağaç arasındaki yatay mesafe 12 metre'dir.
Gözlemcinin göz hizası yer düzleminden 1.5 metre yüksekliktedir.
İkinci ağacın tepesine bakış açısı 30 derece'dir.
Bulmamız gereken, iki ağacın tepeleri arasındaki yükseklik farkıdır.
Adım 2: Yükseklik farkını hesaplamak için dik üçgen oluşturalım.
Gözlemcinin göz hizasından ikinci ağacın tepesine kadar olan dikey mesafeyi bulmalıyız. Bu mesafe, ağaçların yükseklikleri arasındaki farka eşittir (çünkü göz hizası zaten 1.5 metre).
Bu dikey mesafeye \( h \) diyelim.
Yatay mesafe (ağaçlar arası mesafe) 12 metre'dir.
Açı 30 derece'dir.
Adım 3: Tanjant oranını kullanalım.
Tanjant, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır.
\( \tan(\text{açı}) = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{komşu dik kenar}} \)
\( \tan(30^\circ) = \frac{h}{12} \)
Adım 4: \( \tan(30^\circ) \) değerini hatırlayalım.
\( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) veya \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)
Adım 5: \( h \) değerini hesaplayalım.
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{12} \)
\( h = \frac{12}{\sqrt{3}} \)
Paydayı rasyonel yapmak için \( \sqrt{3} \) ile çarpalım:
\( h = \frac{12\sqrt{3}}{3} \)
\( h = 4\sqrt{3} \) metre ✅
İki ağacın yükseklikleri arasındaki fark \( 4\sqrt{3} \) metre'dir.
Örnek 4:
Bir çiftçi, bahçesindeki domates fidelerini sulamak için 10 metrelik bir hortum kullanıyor. Hortumun bir ucunu musluğa bağladıktan sonra, diğer ucunu en uzak domates fidesine kadar uzatıyor. Hortumun musluğa bağlandığı nokta ile en uzak fidenin bulunduğu nokta arasındaki yatay mesafe 6 metre ise, hortumun musluğa göre dikey olarak ne kadar aşağıda olduğunu bulunuz. (Hortumun esnek olmadığı ve düz bir çizgi izlediği varsayılacaktır.) 💧
Çözüm:
Bu problem, Pisagor Teoremi'nin günlük hayattaki bir uygulamasını göstermektedir.
Adım 1: Durumu görselleştirelim.
Hortumun uzunluğu, dik üçgenin hipotenüsü'dür: \( c = 10 \) metre.
Musluğun olduğu nokta ile fidenin bulunduğu nokta arasındaki yatay mesafe, dik üçgenin bir dik kenarı'dır: \( a = 6 \) metre.
Bulmamız gereken, hortumun dikey olarak ne kadar aşağıda olduğudur. Bu, dik üçgenin diğer dik kenarı'dır: \( b \).
Adım 2: Pisagor Teoremi'ni uygulayalım.
\( a^2 + b^2 = c^2 \)
\( 6^2 + b^2 = 10^2 \)
Adım 3: Kareleri hesaplayalım.
\( 36 + b^2 = 100 \)
Adım 4: \( b^2 \) değerini bulalım.
\( b^2 = 100 - 36 \)
\( b^2 = 64 \)
Adım 5: \( b \) değerini bulmak için karekök alalım.
\( b = \sqrt{64} \)
\( b = 8 \) metre ✅
Hortum, musluğa göre dikey olarak 8 metre aşağıdadır.
Örnek 5:
Bir ikizkenar üçgenin tepe açısı \( 80^\circ \) olarak verilmiştir. Bu üçgenin taban açılarından birinin ölçüsünü bulunuz. 📐
Çözüm:
İkizkenar üçgenlerin özelliklerini kullanarak bu soruyu kolayca çözebiliriz.
Adım 1: İkizkenar üçgenin özelliklerini hatırlayalım.
İkizkenar üçgenin tepe açısı ile taban açıları vardır.
İkizkenar üçgende taban açıları birbirine eşittir.
Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180 derece'dir.
Adım 2: Verilen bilgileri not alalım.
Tepe açısı = \( 80^\circ \)
Taban açıları = \( x \) (Her ikisi de aynı)
Adım 3: Üçgenin iç açıları toplamı formülünü kullanalım.
Adım 6: \( \cos(\angle ABC) \) terimini yalnız bırakalım.
\( 70 \cdot \cos(\angle ABC) = 74 - 64 \)
\( 70 \cdot \cos(\angle ABC) = 10 \)
\( \cos(\angle ABC) = \frac{10}{70} \)
\( \cos(\angle ABC) = \frac{1}{7} \) ✅
Bu üçgenin \( \angle ABC \) açısının kosinüs değeri \( \frac{1}{7} \)'dir.
Örnek 7:
Bir dik üçgende, dik kenarlarından biri \( x \) birim ve hipotenüs \( x+2 \) birimdir. Diğer dik kenarın uzunluğu 10 birim olduğuna göre, \( x \) değerini bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız ve elde edeceğimiz ikinci dereceden denklemi çözeceğiz.
Adım 1: Pisagor Teoremi'ni hatırlayalım.
Dik kenarlar: \( a \) ve \( b \)
Hipotenüs: \( c \)
Teorem: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Adım 2: Soruda verilen bilgileri formüle yerleştirelim.
Bir dik kenar: \( a = x \)
Diğer dik kenar: \( b = 10 \)
Hipotenüs: \( c = x+2 \)
\( x^2 + 10^2 = (x+2)^2 \)
Adım 3: Denklemi açalım ve düzenleyelim.
\( x^2 + 100 = (x+2)(x+2) \)
\( x^2 + 100 = x^2 + 2x + 2x + 4 \)
\( x^2 + 100 = x^2 + 4x + 4 \)
Adım 4: \( x^2 \) terimlerini sadeleştirelim.
Her iki taraftan \( x^2 \) çıkarırsak:
\( 100 = 4x + 4 \)
Adım 5: \( x \) değerini bulmak için denklemi çözelim.
\( 100 - 4 = 4x \)
\( 96 = 4x \)
\( x = \frac{96}{4} \)
\( x = 24 \) ✅
Bu dik üçgende \( x \) değeri 24'tür.
Örnek 8:
Bir futbol sahasının kenar uzunlukları 100 metre ve 50 metredir. Bir futbolcu, sahanın bir köşesinden (A noktası) karşı çapraz köşesine (C noktası) doğru düz bir çizgide koşacaktır. Eğer futbolcu, sahanın kenarları boyunca hareket etseydi, A noktasından C noktasına ulaşmak için alması gereken toplam mesafe kaç metre olurdu? Futbolcunun koştuğu düz çizgi mesafesi ile kenarlar boyunca koştuğu mesafe arasındaki farkı bulunuz. ⚽
Çözüm:
Bu soruda, Pisagor Teoremi'ni kullanarak futbol sahasının köşegen uzunluğunu bulacağız ve ardından kenarlar boyunca alınan mesafe ile karşılaştıracağız.
Adım 1: Problemi görselleştirelim.
Futbol sahası bir dikdörtgendir.
Kenar uzunlukları: 100 metre ve 50 metre.
Futbolcu bir köşeden (A) karşı çapraz köşeye (C) düz koşuyor. Bu, dikdörtgenin köşegeni'dir.
Eğer kenarlar boyunca koşsaydı, iki kenarı toplardı.
Adım 2: Kenarlar boyunca alınan mesafeyi hesaplayalım.
Mesafe = Kenar 1 + Kenar 2
Mesafe = 100 m + 50 m = 150 metre
Adım 3: Düz koşulan mesafeyi (köşegen) bulmak için Pisagor Teoremi'ni kullanalım.
Dikdörtgenin kenarları, dik üçgenin dik kenarlarıdır. Köşegen ise hipotenüstür.
Dik kenarlar: \( a = 100 \) m, \( b = 50 \) m
Hipotenüs (köşegen): \( c \)
\( a^2 + b^2 = c^2 \)
\( 100^2 + 50^2 = c^2 \)
Adım 4: Hesaplamaları yapalım.
\( 100^2 = 10000 \)
\( 50^2 = 2500 \)
\( c^2 = 10000 + 2500 \)
\( c^2 = 12500 \)
Adım 5: Köşegen uzunluğunu bulmak için karekök alalım.
\( c = \sqrt{12500} \)
\( c = \sqrt{2500 \cdot 5} \)
\( c = 50\sqrt{5} \) metre ✅
Adım 6: İki mesafe arasındaki farkı hesaplayalım.
Fark = (Kenarlar boyunca mesafe) - (Düz koşulan mesafe)
Fark = \( 150 - 50\sqrt{5} \) metre ✅
Futbolcunun düz koştuğu mesafe \( 50\sqrt{5} \) metre'dir. Kenarlar boyunca koştuğu mesafe ise 150 metre'dir. Aradaki fark \( 150 - 50\sqrt{5} \) metre'dir.
Örnek 9:
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 50^\circ \) ve \( \angle B = 70^\circ \) ise, \( \angle C \) açısının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Bir üçgenin iç açılarının toplamının her zaman 180 derece olduğunu bilerek bu soruyu kolayca çözebiliriz.
Adım 1: Üçgenin iç açıları toplamı kuralını hatırlayalım.
Bir \( ABC \) üçgeninde, \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
Adım 2: Soruda verilen açıları formülde yerine koyalım.
\( \angle A = 50^\circ \)
\( \angle B = 70^\circ \)
\( 50^\circ + 70^\circ + \angle C = 180^\circ \)
Adım 3: Bilinen açıları toplayalım.
\( 120^\circ + \angle C = 180^\circ \)
Adım 4: \( \angle C \) açısını bulmak için denklemi çözelim.