💡 9. Sınıf Matematik: Öklid, Pisagor ve Tales Teoremleri Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.

Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.

• Dik kenarlar: \(a = 6\) cm, \(b = 8\) cm
• Hipotenüs: \(c\)

Teoremi uygulayalım:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \] \[ 6^2 + 8^2 = c^2 \] \[ 36 + 64 = c^2 \] \[ 100 = c^2 \]

Her iki tarafın karekökünü alırsak:

\[ c = \sqrt{100} \] \[ c = 10 \]

Sonuç olarak, hipotenüs uzunluğu 10 cm'dir. ✅

Tales Teoremi, genellikle paralel doğrular ve kesenler arasındaki orantıları incelemek için kullanılır. Bu soruda verilen bir üçgenin kenar uzunluklarıdır ve doğrudan bir Tales Teoremi uygulaması söz konusu değildir. Ancak, üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi inceleyebiliriz.

Eğer soruda, bir noktadan çıkan ve birbirini kesen iki ışın üzerinde orantılı doğru parçaları olsaydı, Tales Teoremi'ni kullanabilirdik.

Bu soruda sadece bir üçgenin kenar uzunlukları verilmiştir. Tales Teoremi'nin temel mantığı, benzerlikten gelir. Eğer bir üçgenin kenarları orantılı olarak bölünürse, yeni oluşan doğru parçaları arasında bir ilişki kurulur.

Bu örnekte, Tales Teoremi'ni doğrudan uygulayabileceğimiz bir durum yok. Ancak, üçgen eşitsizliğini kontrol edebiliriz: \(10 + 15 > 20\) (25 > 20, doğru), \(10 + 20 > 15\) (30 > 15, doğru), \(15 + 20 > 10\) (35 > 10, doğru). Üçgen oluşur. 👉

Bu problemi bir dik üçgen olarak düşünebiliriz.

• Duvarın yüksekliği (dik kenar): \(a = 8\) metre
• Merdivenin uzunluğu (hipotenüs): \(c = 10\) metre
• Merdivenin duvara değdiği noktanın yerden yüksekliği (bu durumda \(a\) ile aynıdır).
• Merdivenin yere değdiği noktanın duvardan uzaklığı (diğer dik kenar): \(b\)

Pisagor Teoremi'ni kullanarak \(b\) kenarını bulabiliriz:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \] \[ 8^2 + b^2 = 10^2 \] \[ 64 + b^2 = 100 \]

Şimdi \(b^2\)'yi yalnız bırakalım:

\[ b^2 = 100 - 64 \] \[ b^2 = 36 \]

Her iki tarafın karekökünü alalım:

\[ b = \sqrt{36} \] \[ b = 6 \]

Sonuç olarak, merdivenin yere değdiği nokta duvardan 6 metre uzaktadır. 💡

Bu soruda Tales Teoremi'nin (veya benzerlik prensibinin) bir uygulaması söz konusudur. DE doğrusu BC'ye paralel olduğu için, ABC üçgeni ile ADE üçgeni benzerdir.

Benzerlik oranını yazalım:

\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \]

Soruda verilen değerleri yerine koyalım:

• AD = 4 cm
• DB = 2 cm
• AB = AD + DB = 4 + 2 = 6 cm
• AE = 6 cm
• EC = ?
• AC = AE + EC = 6 + EC

Orantıyı kullanarak EC'yi bulalım:

\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \] \[ \frac{4}{6} = \frac{6}{6 + EC} \]

İçler dışlar çarpımı yapalım:

\[ 4 \times (6 + EC) = 6 \times 6 \] \[ 24 + 4 \times EC = 36 \]

Şimdi \(4 \times EC\)'yi yalnız bırakalım:

\[ 4 \times EC = 36 - 24 \] \[ 4 \times EC = 12 \]

EC'yi bulmak için her iki tarafı 4'e bölelim:

\[ EC = \frac{12}{4} \] \[ EC = 3 \]

Sonuç olarak, EC'nin uzunluğu 3 cm'dir. ✅

Bu soruyu çözmek için öncelikle Pisagor Teoremi'ni kullanarak diğer dik kenarın uzunluğunu bulmamız gerekiyor.

Dik kenarlar: \(a = 5\) birim, \(b = ?\)
Hipotenüs: \(c = 13\) birim

Pisagor Teoremi:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \] \[ 5^2 + b^2 = 13^2 \] \[ 25 + b^2 = 169 \]

Şimdi \(b^2\)'yi yalnız bırakalım:

\[ b^2 = 169 - 25 \] \[ b^2 = 144 \]

Her iki tarafın karekökünü alalım:

\[ b = \sqrt{144} \] \[ b = 12 \]

Diğer dik kenarın uzunluğu 12 birimdir.

Şimdi üçgenin alanını hesaplayabiliriz. Bir dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısına eşittir.

\[ Alan = \frac{a \times b}{2} \] \[ Alan = \frac{5 \times 12}{2} \] \[ Alan = \frac{60}{2} \] \[ Alan = 30 \]

Üçgenin alanı 30 birimkaredir. 💡

Bu soruda öncelikle harita üzerindeki mesafeleri kullanarak A, B ve C noktalarının bir dik üçgen oluşturup oluşturmadığını kontrol etmeliyiz. Ardından gerçek mesafeyi hesaplayacağız.

Harita üzerindeki uzunluklar:

• AC = 8 cm
• CB = 6 cm
• AB = 10 cm

Bu uzunluklar bir dik üçgenin kenarları olabilir mi? Pisagor Teoremi'nin tersini kontrol edelim: \(a^2 + b^2 = c^2\)

En uzun kenar AB (10 cm) hipotenüs olmalı.

\[ 6^2 + 8^2 = 10^2 \] \[ 36 + 64 = 100 \] \[ 100 = 100 \]

Evet, bu uzunluklar bir dik üçgen oluşturmaktadır. Yani C noktası, A ve B şehirlerini birleştiren yol üzerinde ve \( \angle ACB \) dik açıdır. 📌

Harita üzerinde A ve B şehirleri arasındaki mesafe 10 cm'dir.

Harita ölçeği: 1 cm = 5 km

Gerçek mesafeyi hesaplamak için harita üzerindeki mesafeyi ölçekle çarparız:

\[ Gerçek Mesafe = Harita Mesafesi \times Ölçek \] \[ Gerçek Mesafe = 10 \text{ cm} \times 5 \text{ km/cm} \] \[ Gerçek Mesafe = 50 \text{ km} \]

A ve B şehirleri arasındaki gerçek mesafe 50 km'dir. 👉

Bu problemde Tales Teoremi'nin bir uygulaması olan benzer üçgenler prensibini kullanacağız. Güneş ışınlarının paralel geldiğini varsayarak, bina ve gölgesi ile çubuk ve gölgesi benzer iki dik üçgen oluşturur.

Benzer üçgenlerin kenarları orantılıdır.

• Bina Yüksekliği: \(H\) (bilinmiyor)
• Bina Gölgesi: 15 metre
• Çubuk Yüksekliği: 2 metre
• Çubuk Gölgesi: 3 metre

Orantıyı kuralım:

\[ \frac{Bina Yüksekliği}{Bina Gölgesi} = \frac{Çubuk Yüksekliği}{Çubuk Gölgesi} \] \[ \frac{H}{15} = \frac{2}{3} \]

Şimdi \(H\)'yi bulmak için içler dışlar çarpımı yapalım:

\[ 3 \times H = 15 \times 2 \] \[ 3 \times H = 30 \]

Her iki tarafı 3'e bölelim:

\[ H = \frac{30}{3} \] \[ H = 10 \]

Binanın gerçek yüksekliği 10 metre'dir. ✅

Bu yöntem, yüksekliği ölçülemeyen nesnelerin yüksekliğini tahmin etmek için sıkça kullanılır. 💡

Bu soruda Açıortay Teoremi'ni kullanacağız. Açıortay Teoremi, bir üçgende bir kenarortayın, karşı kenarı böldüğü parçalarla diğer iki kenar arasında bir ilişki kurar.

Açıortay Teoremi'ne göre:

\[ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \]

Soruda verilen değerleri yerine koyalım:

• AB = 12 birim
• AC = 18 birim
• BD = 6 birim
• DC = ?

Teoremi uygulayalım:

\[ \frac{12}{18} = \frac{6}{DC} \]

Bu oranı sadeleştirebiliriz: \( \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \)

Şimdi denklemimiz:

\[ \frac{2}{3} = \frac{6}{DC} \]

İçler dışlar çarpımı yapalım:

\[ 2 \times DC = 3 \times 6 \] \[ 2 \times DC = 18 \]

DC'yi bulmak için her iki tarafı 2'ye bölelim:

\[ DC = \frac{18}{2} \] \[ DC = 9 \]

Sonuç olarak, DC'nin uzunluğu 9 birimdir. 📌