🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Öklid, Pisagor, Thales, Üçgen Eşitsizliği, Temel Üçgen Çizimi Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Öklid, Pisagor, Thales, Üçgen Eşitsizliği, Temel Üçgen Çizimi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları 6 birim ve 8 birimdir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu Pisagor Teoremi'ni kullanarak bulunuz. 📐
Çözüm:
- Pisagor Teoremi'ne göre, dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
- Formülümüz: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
- Verilen kenar uzunlukları: \( a = 6 \) ve \( b = 8 \).
- Yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 100 = c^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{100} \)
- Sonuç: \( c = 10 \) birim.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde \( AB = 7 \) cm, \( BC = 10 \) cm ve \( AC = 5 \) cm'dir. Bu kenar uzunlukları ile bir üçgen çizilip çizilemeyeceğini Üçgen Eşitsizliği kuralını kullanarak açıklayınız. 🤔
Çözüm:
- Üçgen Eşitsizliği Kuralı'na göre, bir üçgenin herhangi iki kenarının uzunlukları toplamı, üçüncü kenarının uzunluğundan büyük olmalıdır.
- Kuralı kontrol edelim:
- \( AB + BC > AC \): \( 7 + 10 > 5 \) 👉 \( 17 > 5 \) (Doğru)
- \( AB + AC > BC \): \( 7 + 5 > 10 \) 👉 \( 12 > 10 \) (Doğru)
- \( BC + AC > AB \): \( 10 + 5 > 7 \) 👉 \( 15 > 7 \) (Doğru)
- Tüm eşitsizlikler sağlandığı için, bu kenar uzunlukları ile bir üçgen çizilebilir. ✅
Örnek 3:
Bir merdiven, duvara 90 derecelik bir açıyla dayanmıştır. Merdivenin duvara dayandığı nokta yerden 8 metre yüksekliktedir ve merdivenin alt ucu duvardan 6 metre uzaklıktadır. Merdivenin boyunu (hipotenüs) bulunuz. 📏
Çözüm:
- Bu durum, bir dik üçgen oluşturur.
- Dik kenarlar: Duvarın yüksekliği (8 m) ve duvardan uzaklık (6 m).
- Hipotenüs: Merdivenin boyu.
- Pisagor Teoremi'ni kullanalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- \( 8^2 + 6^2 = c^2 \)
- \( 64 + 36 = c^2 \)
- \( 100 = c^2 \)
- \( c = \sqrt{100} \)
- \( c = 10 \) metre.
Örnek 4:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın temelini atmadan önce arazinin düzgünlüğünü kontrol etmek istiyor. Arazideki bir noktadan, birbirine dik olan iki kenarı ölçüyor. Birinci kenar 9 metre, ikinci kenar 12 metre uzunluğunda. Bu iki kenarın uç noktaları arasındaki mesafeyi (üçüncü kenar) Pisagor Teoremi ile hesaplayarak arazinin dikliğini teyit ediyor. Bu mesafe kaç metredir? 🏗️
Çözüm:
- İnşaat mühendisi, arazinin dik kenarlarını ölçtüğünde bir dik üçgen modeli oluşturmuş olur.
- Dik kenarlar: \( a = 9 \) m ve \( b = 12 \) m.
- Hesaplanacak mesafe, bu dik üçgenin hipotenüsüdür (\( c \)).
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 9^2 + 12^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 81 + 144 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 225 = c^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{225} \)
- Sonuç: \( c = 15 \) metre.
Örnek 5:
Bir parkta, bir ağacın tepesinden yere doğru uzanan bir ipin uzunluğu 15 metredir. İpin yere değdiği nokta, ağacın tabanından 9 metre uzaklıktadır. Ağacın yüksekliğini (duvar gibi düşünebiliriz) Pisagor Teoremi kullanarak bulunuz. 🌳
Çözüm:
- Bu problemde de bir dik üçgen modeli söz konusudur.
- Hipotenüs: İpin uzunluğu (\( c = 15 \) m).
- Bir dik kenar: Ağacın tabanından ipin yere değdiği nokta arasındaki uzaklık (\( b = 9 \) m).
- Diğer dik kenar: Ağacın yüksekliği (\( a \)).
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Yerine koyalım: \( a^2 + 9^2 = 15^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( a^2 + 81 = 225 \)
- \( a^2 \) yalnız bırakalım: \( a^2 = 225 - 81 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( a^2 = 144 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( a = \sqrt{144} \)
- Sonuç: \( a = 12 \) metre.
Örnek 6:
Bir harita üzerinde iki şehir arasındaki mesafeyi ölçmek istiyorsunuz. Haritanın ölçeği 1:100.000'dir. İki şehir arasındaki harita üzerindeki düz çizgi mesafesi 5 cm olarak ölçülüyor. İki şehir arasındaki gerçek mesafeyi kilometre cinsinden hesaplayınız. 🗺️
Çözüm:
- Ölçek, harita üzerindeki bir mesafenin gerçekte ne kadar olduğunu gösterir.
- Ölçek 1:100.000 demek, haritadaki 1 birimin gerçekte 100.000 birim olduğu anlamına gelir.
- Harita üzerindeki mesafe: 5 cm.
- Gerçek mesafeyi cm cinsinden hesaplayalım: \( 5 \text{ cm} \times 100.000 = 500.000 \text{ cm} \)
- Bu mesafeyi metreye çevirelim (1 m = 100 cm): \( \frac{500.000 \text{ cm}}{100} = 5.000 \text{ m} \)
- Son olarak, mesafeyi kilometreye çevirelim (1 km = 1000 m): \( \frac{5.000 \text{ m}}{1000} = 5 \text{ km} \)
Örnek 7:
Bir teknisyen, bir çatı kirişinin uzunluğunu hesaplamak istiyor. Kirişin bir ucu binanın bir duvarına, diğer ucu ise karşı duvara dayanıyor. Kirişin binanın birinci duvarına olan açısı 30 derece ve ikinci duvarına olan açısı 60 derecedir. Eğer binanın iki duvarı arasındaki mesafe 10 metre ise, kirişin uzunluğunu Thales Teoremi (benzer üçgenler) veya trigonometri kullanmadan, sadece temel geometri bilgileriyle bulunuz. (Not: Bu soruda Thales Teoremi'nin doğrudan kullanımı yerine, benzerlikten yola çıkarak çözüme ulaşılacaktır.) 📐
Çözüm:
- Bu problemde Thales Teoremi'nin temel mantığı olan benzerlikten yararlanacağız.
- Binanın duvarları yere dik olduğundan, kiriş ile zemin arasında bir üçgen oluşur. Bu üçgenin açıları 30, 60 ve 90 derecedir.
- Bir 30-60-90 üçgeninde kenar oranları sabittir:
- 30 derecenin karşısındaki kenar \( x \) ise,
- 60 derecenin karşısındaki kenar \( x\sqrt{3} \) olur,
- 90 derecenin karşısındaki hipotenüs (kirişin uzunluğu) \( 2x \) olur.
- Soruda, kirişin duvarlara olan açıları verilmiş. Bu, kirişin zeminle yaptığı açılar değil, kirişin duvarlara göre konumunu belirtir. Ancak, duvarlar birbirine paralel kabul edilirse (veya zemin düzse), kirişin zeminle yaptığı açılar da bu bilgiden türetilebilir. En basit senaryo, kirişin iki duvar arasına gerilmiş olmasıdır. Duvarlar arasındaki mesafe (10 m) hipotenüs değildir, bu mesafeyi kirişin zeminle yaptığı açılara bağlamalıyız.
- Düzeltilmiş Yaklaşım (Temel Geometri): İki duvar arasındaki mesafe 10 metre ise ve kiriş bu iki duvar arasına gerilmişse, kirişin uzunluğunu bulmak için çizilen dikme ile oluşan dik üçgenleri kullanırız.
- Kirişin zeminle yaptığı açılar 30 ve 60 derece ise, bu iki duvar arasındaki mesafeyi (10 m) kirişin uzunluğuna (hipotenüs) bağlayabiliriz.
- Eğer kirişin bir ucunun zeminden yüksekliği \( h_1 \) ve diğer ucunun yüksekliği \( h_2 \) ise ve duvarlar arasındaki mesafe \( d = 10 \) m ise, kirişin uzunluğu \( L \) olur.
- Basitleştirilmiş Senaryo: Kirişin bir ucunun yerden yüksekliği \( h \) ve diğer ucunun yerden yüksekliği \( h \) ise (yani kiriş zemine paralel ise), bu durumda duvarlar arasındaki mesafe kirişin uzunluğuna eşit olurdu. Ancak soruda açılar verilmiş.
- Doğru Yorum: Duvarlar arasındaki mesafe 10 m. Kirişin bir ucu birinci duvara, diğer ucu ikinci duvara dayanıyor. Kirişin zeminle yaptığı açılar 30 ve 60 derece ise, bu kirişin uzunluğu \( L \) olsun.
- Birinci duvardan çizilen dikme ile oluşan dik üçgende, 30 derecenin karşısındaki dik kenar \( L \sin(30^\circ) \) ve komşu kenar \( L \cos(30^\circ) \) olur.
- İkinci duvardan çizilen dikme ile oluşan dik üçgende, 60 derecenin karşısındaki dik kenar \( L \sin(60^\circ) \) ve komşu kenar \( L \cos(60^\circ) \) olur.
- İki duvar arasındaki toplam mesafe 10 m ise: \( L \cos(30^\circ) + L \cos(60^\circ) = 10 \)
- \( L \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + L \left( \frac{1}{2} \right) = 10 \)
- \( L \left( \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \right) = 10 \)
- \( L = \frac{20}{\sqrt{3} + 1} \)
- Paydayı rasyonel yapalım: \( L = \frac{20(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{20(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{20(\sqrt{3} - 1)}{2} = 10(\sqrt{3} - 1) \)
Örnek 8:
Bir mimar, bir binanın ön cephesinde kullanılacak pencere tasarımları yapıyor. Bir pencere tasarımı için üçgen eşitsizliği ilkesini kullanarak, pencerenin kenar uzunluklarını belirleyecek. Eğer pencerenin iki kenarının uzunluğu 1.5 metre ve 2.5 metre ise, üçüncü kenarın alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz. 🖼️
Çözüm:
- Üçgen Eşitsizliği Kuralı'na göre, bir üçgenin herhangi iki kenarının toplamı üçüncü kenarından büyük, farkının mutlak değeri ise üçüncü kenarından küçük olmalıdır.
- Verilen kenar uzunlukları: \( a = 1.5 \) m ve \( b = 2.5 \) m.
- Üçüncü kenarın uzunluğu \( c \) olsun.
- Eşitsizlikleri kuralım:
- Farkının mutlak değeri: \( |b - a| < c \) 👉 \( |2.5 - 1.5| < c \) 👉 \( 1 < c \)
- Toplamı: \( c < a + b \) 👉 \( c < 1.5 + 2.5 \) 👉 \( c < 4 \)
- Yani, \( 1 < c < 4 \) olmalıdır.
- Üçüncü kenarın alabileceği tam sayı değerleri soruluyor.
- Bu aralıktaki tam sayılar: 2 ve 3.
Örnek 9:
Bir ABC üçgeninde \( AB = 5 \) cm, \( BC = 7 \) cm ve \( AC = 9 \) cm'dir. Bu üçgenin çevresini hesaplayınız. 📏
Çözüm:
- Bir üçgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamına eşittir.
- Verilen kenar uzunlukları: \( AB = 5 \) cm, \( BC = 7 \) cm, \( AC = 9 \) cm.
- Çevre = \( AB + BC + AC \)
- Çevre = \( 5 \text{ cm} + 7 \text{ cm} + 9 \text{ cm} \)
- Çevre = \( 21 \text{ cm} \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-oklid-pisagor-thales-ucgen-esitsizligi-temel-ucgen-cizimi/sorular