🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Öklid, Pisagor, Tales, Algoritma Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Öklid, Pisagor, Tales, Algoritma Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende, dik kenarların uzunlukları \(6\) cm ve \(8\) cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 🤔
Çözüm:
Bu problemi çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. 💡
- 📌 Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler. Yani, \(a^2 + b^2 = c^2\) formülünü kullanırız.
- 👉 Burada \(a\) ve \(b\) dik kenarlar, \(c\) ise hipotenüstür.
- ✅ Verilenler: \(a = 6\) cm, \(b = 8\) cm.
- Şimdi formülde yerine koyalım: \[ 6^2 + 8^2 = c^2 \]
- Karelerini alalım: \[ 36 + 64 = c^2 \]
- Toplayalım: \[ 100 = c^2 \]
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \[ \sqrt{100} = \sqrt{c^2} \] \[ 10 = c \]
- Sonuç olarak, üçgenin hipotenüs uzunluğu 10 cm'dir. ✅
Örnek 2:
Aşağıdaki şekilde, bir dik üçgen olan ABC üçgeninde \(AB \perp BC\) ve BD yüksekliği çizilmiştir. Yani \(BD \perp AC\)'dir.
\(AD = 4\) cm ve \(DC = 9\) cm olduğuna göre, BD yüksekliğinin uzunluğunu bulunuz. 📏
\(AD = 4\) cm ve \(DC = 9\) cm olduğuna göre, BD yüksekliğinin uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu problemde, dik üçgende yüksekliğin ayrıldığı parçalar verildiği için Öklid Bağıntıları'nı kullanacağız. 💡
- 📌 Öklid Yükseklik Bağıntısı, bir dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin karesinin, hipotenüsü ayırdığı parçaların çarpımına eşit olduğunu söyler. Yani, \(h^2 = p \cdot k\) formülünü kullanırız.
- 👉 Burada \(h\) yükseklik (BD), \(p\) ve \(k\) ise hipotenüs üzerindeki parçalardır (AD ve DC).
- ✅ Verilenler: \(AD = p = 4\) cm, \(DC = k = 9\) cm.
- Şimdi formülde yerine koyalım: \[ BD^2 = AD \cdot DC \] \[ BD^2 = 4 \cdot 9 \]
- Çarpma işlemini yapalım: \[ BD^2 = 36 \]
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \[ \sqrt{BD^2} = \sqrt{36} \] \[ BD = 6 \]
- Sonuç olarak, BD yüksekliğinin uzunluğu 6 cm'dir. ✅
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası AC kenarı üzerindedir.
DE doğru parçası BC doğru parçasına paraleldir (\(DE \parallel BC\)).
\(AD = 3\) cm, \(DB = 6\) cm ve \(AE = 4\) cm olduğuna göre, EC uzunluğunu bulunuz. 📐
DE doğru parçası BC doğru parçasına paraleldir (\(DE \parallel BC\)).
\(AD = 3\) cm, \(DB = 6\) cm ve \(AE = 4\) cm olduğuna göre, EC uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu problemde, paralel doğruların kesenler üzerindeki oranlarını inceleyen Temel Orantı Teoremi'ni (Tales Teoremi'nin bir uygulaması) kullanacağız. 💡
- 📌 Tales Teoremi'nin Temel Orantı Prensibi, bir üçgenin bir kenarına paralel çizilen bir doğru, diğer iki kenarı orantılı parçalara ayırır.
- 👉 Yani, \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \) formülünü kullanırız.
- ✅ Verilenler: \(AD = 3\) cm, \(DB = 6\) cm, \(AE = 4\) cm.
- Şimdi formülde yerine koyalım: \[ \frac{3}{6} = \frac{4}{EC} \]
- Kesri sadeleştirelim: \[ \frac{1}{2} = \frac{4}{EC} \]
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 1 \cdot EC = 2 \cdot 4 \] \[ EC = 8 \]
- Sonuç olarak, EC uzunluğu 8 cm'dir. ✅
Örnek 4:
Bir inşaat firması, dik açılı bir binanın çatısını yapmak için Pisagor Teoremi'ni kullanacaktır. Çatının bir tarafı zemine dik bir direkle desteklenmektedir. Direğin yüksekliği \(7\) metre ve direğin zemindeki binadan uzaklığı \(24\) metredir.
Çatının direğin tepesinden binaya uzanan kısmının (eğik kenar) uzunluğu kaç metredir? 🏗️
Çatının direğin tepesinden binaya uzanan kısmının (eğik kenar) uzunluğu kaç metredir? 🏗️
Çözüm:
Bu bir dik üçgen problemidir ve Pisagor Teoremi ile çözülür. 💡
- 📌 Direk, zemin ve çatının eğik kısmı bir dik üçgen oluşturur.
- 👉 Direğin yüksekliği ve binadan uzaklığı, dik üçgenin dik kenarlarıdır. Çatının eğik kısmı ise hipotenüstür.
- ✅ Verilenler: Dik kenarlar \(a = 7\) metre ve \(b = 24\) metre. Hipotenüs \(c\) bilinmiyor.
- Pisagor Teoremi formülü: \(a^2 + b^2 = c^2\)
- Şimdi değerleri yerine koyalım: \[ 7^2 + 24^2 = c^2 \]
- Karelerini hesaplayalım: \[ 49 + 576 = c^2 \]
- Toplama işlemini yapalım: \[ 625 = c^2 \]
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \[ \sqrt{625} = \sqrt{c^2} \] \[ 25 = c \]
- Sonuç olarak, çatının direğin tepesinden binaya uzanan kısmının uzunluğu 25 metredir. ✅
Örnek 5:
Ayşe, bahçesindeki ağacın boyunu ölçmek istiyor. Ağaca \(6\) metre uzaklıkta duran bir direğin boyu \(3\) metredir. Ayşe, direğin tepesinden bakıldığında ağacın tepesini ve direğin dibinden bakıldığında ağacın dibini aynı doğrultuda görüyor.
Bu durumda, ağacın boyu kaç metredir? (Direk ve ağaç zemine diktir.) 🌳
Bu durumda, ağacın boyu kaç metredir? (Direk ve ağaç zemine diktir.) 🌳
Çözüm:
Bu problemde Tales Teoremi'nin benzer üçgenler prensibini kullanabiliriz. 💡
- 📌 Direk, Ayşe'nin durduğu nokta ve ağaç, birbirine benzer iki dik üçgen oluşturur.
- 👉 Ağacın boyu \(x\), direğin boyu \(3\) metredir. Direk ile ağaç arası \(6\) metre, Ayşe'den direğe olan uzaklık \(y\) diyelim. Ancak soruda Ayşe'nin direkten baktığı söyleniyor, yani Ayşe'nin konumu direğin dibi. Bu durumda direğin dibi ve ağacın dibi aynı noktada değil.
- Soruyu daha net hale getirelim: Direğin boyu \(3\) m. Direğin ağaca uzaklığı \(6\) m. Direğin tepesinden ağacın tepesine ve direğin dibinden ağacın dibine aynı doğrultuda bakmak, benzer üçgenler oluşturur.
- Bu senaryoda, direğin ve ağacın oluşturduğu benzer üçgenler, direğin boyunun direğin zemine olan uzaklığına oranı ile ağacın boyunun ağacın zemine olan uzaklığına oranının eşit olmasını sağlar.
- Ancak soruda "direğin tepesinden bakıldığında ağacın tepesini ve direğin dibinden bakıldığında ağacın dibini aynı doğrultuda görüyor" ifadesi biraz kafa karıştırıcı. Bu, genellikle bir gözlemci noktasından yapılan ölçümlerde kullanılır.
- Daha basit bir Tales uygulaması yapalım: Bir direk \(DE = 3\) m, ağaç \(BC = x\) m. Direğin ağaca uzaklığı \(EB = 6\) m. Diyelim ki, direğin tepesi D noktasında, direğin tabanı E noktasında. Ağacın tepesi C noktasında, tabanı B noktasında. Bir gözlemci A noktasında duruyor ve \(A, D, C\) ve \(A, E, B\) noktaları doğrusaldır.
- Bu durumda, \( \frac{AD}{AE} = \frac{DC}{EB} = \frac{AC}{AB} \) olur.
- Soruyu daha net bir Tales senaryosuyla çözelim: Bir direk \(3\) metre boyunda. Direğin ağaca uzaklığı \(6\) metre. Eğer Ayşe direğin dibinde değil de, direk ile ağaç arasında bir noktada durup, göz hizasından (yerden \(0\) metre yüksekten) direğin tepesini ve ağacın tepesini aynı açıdan görseydi, benzer üçgenler oluşurdu.
- En uygun Tales uygulaması için soruyu yeniden yorumlayalım: Bir direk \(DE\) ve bir ağaç \(BC\) zemine diktir. \(DE \parallel BC\). Bir gözlemci A noktasında duruyor. \(A, D, B\) ve \(A, E, C\) noktaları doğrusaldır.
\(AD = 3\) m (gözlemciden direğe uzaklık), \(DB = 6\) m (direkten ağaca uzaklık), \(DE = 3\) m (direğin boyu). Ağacın boyu \(BC = x\). - Bu durumda, \( \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \) benzerlik oranını kullanırız.
- \(AB = AD + DB = 3 + 6 = 9\) m.
- Şimdi formülde yerine koyalım: \[ \frac{3}{9} = \frac{3}{x} \]
- Kesri sadeleştirelim: \[ \frac{1}{3} = \frac{3}{x} \]
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 1 \cdot x = 3 \cdot 3 \] \[ x = 9 \]
- Sonuç olarak, ağacın boyu 9 metredir. ✅
Örnek 6:
Bir dik üçgenin dik kenarlarının uzunlukları \(5\) cm ve \(12\) cm'dir. Bu üçgenin hipotenüse ait yüksekliğinin uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu problemi çözmek için önce Pisagor Teoremi'ni kullanarak hipotenüsü bulacağız, ardından Öklid Bağıntılarından alan formülünü kullanacağız. 💡
- 1. Hipotenüsü Bulma (Pisagor Teoremi):
- 📌 Dik kenarlar \(a = 5\) cm, \(b = 12\) cm. Hipotenüs \(c\) olsun. \[ a^2 + b^2 = c^2 \] \[ 5^2 + 12^2 = c^2 \] \[ 25 + 144 = c^2 \] \[ 169 = c^2 \] \[ c = 13 \]
- Hipotenüs uzunluğu 13 cm'dir.
- 2. Hipotenüse Ait Yüksekliği Bulma (Öklid Alan Bağıntısı):
- 📌 Bir dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısı veya hipotenüs ile hipotenüse ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Yani, \( \frac{a \cdot b}{2} = \frac{c \cdot h}{2} \) formülünü kullanabiliriz. Buradan \(a \cdot b = c \cdot h\) elde ederiz.
- 👉 Burada \(a, b\) dik kenarlar, \(c\) hipotenüs ve \(h\) hipotenüse ait yüksekliktir.
- ✅ Verilenler: \(a = 5\) cm, \(b = 12\) cm, \(c = 13\) cm.
- Şimdi formülde yerine koyalım: \[ 5 \cdot 12 = 13 \cdot h \] \[ 60 = 13h \]
- Her iki tarafı 13'e bölelim: \[ h = \frac{60}{13} \]
- Sonuç olarak, hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğu \( \frac{60}{13} \) cm'dir. ✅
Örnek 7:
A noktasından B noktasına gitmek isteyen bir kişi, harita üzerinde iki farklı yol olduğunu görüyor.
1. yol: Doğrudan A'dan B'ye giden bir yol.
2. yol: A'dan C'ye, oradan da C'den B'ye giden iki farklı segmentten oluşan bir yol.
Eğer ABC üçgeni C noktasında dik açıya sahip bir üçgen ise, AC yolu \(20\) km ve BC yolu \(21\) km ise, doğrudan A'dan B'ye giden yolun uzunluğu kaç km'dir? 🛣️
1. yol: Doğrudan A'dan B'ye giden bir yol.
2. yol: A'dan C'ye, oradan da C'den B'ye giden iki farklı segmentten oluşan bir yol.
Eğer ABC üçgeni C noktasında dik açıya sahip bir üçgen ise, AC yolu \(20\) km ve BC yolu \(21\) km ise, doğrudan A'dan B'ye giden yolun uzunluğu kaç km'dir? 🛣️
Çözüm:
Bu problem, Pisagor Teoremi'nin günlük hayattaki bir uygulamasıdır. 💡
- 📌 A, B ve C noktaları bir dik üçgenin köşeleridir ve C noktasında dik açı bulunmaktadır.
- 👉 AC ve BC yolları dik kenarları, A'dan B'ye doğrudan giden yol ise hipotenüsü temsil eder.
- ✅ Verilenler: Dik kenarlar \(a = 20\) km (AC) ve \(b = 21\) km (BC). Hipotenüs \(c\) (AB) bilinmiyor.
- Pisagor Teoremi formülü: \(a^2 + b^2 = c^2\)
- Şimdi değerleri yerine koyalım: \[ 20^2 + 21^2 = c^2 \]
- Karelerini hesaplayalım: \[ 400 + 441 = c^2 \]
- Toplama işlemini yapalım: \[ 841 = c^2 \]
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \[ \sqrt{841} = \sqrt{c^2} \] \[ 29 = c \]
- Sonuç olarak, doğrudan A'dan B'ye giden yolun uzunluğu 29 km'dir. ✅
Örnek 8:
İki sayının En Büyük Ortak Bölenini (EBOB) bulmak için Öklid Algoritması'nı kullanacağız.
\(105\) ve \(30\) sayılarının EBOB'unu bulmak için algoritma adımlarını gösteriniz. 🔢
\(105\) ve \(30\) sayılarının EBOB'unu bulmak için algoritma adımlarını gösteriniz. 🔢
Çözüm:
Öklid Algoritması, iki pozitif tam sayının EBOB'unu bulmak için kullanılan etkili bir yöntemdir. 💡
- 📌 Algoritma, ardışık bölme işlemleri yaparak kalanı sıfır olana kadar devam eder. Son sıfır olmayan kalan, EBOB'u verir.
- 👉 Adımlar:
- 1. Büyük sayıyı küçük sayıya böl.
- 2. Eğer kalan \(0\) ise, küçük sayı EBOB'dur.
- 3. Eğer kalan \(0\) değilse, küçük sayıyı kalanla bölme işlemine devam et.
- ✅ Sayılarımız: \(105\) ve \(30\).
- Adım 1: Büyük sayıyı küçük sayıya bölelim. \[ 105 = 3 \cdot 30 + 15 \]
- Kalan \(15\), sıfır değil.
- Adım 2: Küçük sayıyı (30) kalana (15) bölelim. \[ 30 = 2 \cdot 15 + 0 \]
- Kalan \(0\). Algoritma burada biter.
- 📌 Son sıfır olmayan kalan 15'tir. (Bu adımda bölen 15'tir ve kalan 0'dır, dolayısıyla EBOB bölen olan 15'tir.)
- Sonuç olarak, \(105\) ve \(30\) sayılarının EBOB'u 15'tir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-oklid-pisagor-tales-algoritma/sorular