👉 Zarın çift gelme olasılığı \( \frac{1}{2} \) olarak bulunur.
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir torbada 4 kırmızı, 3 mavi ve 5 yeşil bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele çekilen bir bilyenin mavi olmama olasılığı kaçtır? 🔵
Çözüm ve Açıklama
Bu soruyu iki farklı yolla çözebiliriz. "Mavi olmama" durumu, bilyenin kırmızı veya yeşil olması demektir.
Toplam Bilye Sayısı (s(E)): \( 4 + 3 + 5 = 12 \)
İstenen Durum (Mavi Olmayanlar): Kırmızı + Yeşil = \( 4 + 5 = 9 \)
Olasılık: \( P(A) = \frac{9}{12} \)
Kesri 3 ile sadeleştirdiğimizde:
\[ P(A) = \frac{3}{4} \]
💡 Not: Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı her zaman 1'dir.
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir sınıfta 12 kız ve 18 erkek öğrenci vardır. Kız öğrencilerin 4'ü, erkek öğrencilerin ise 6'sı gözlüklüdür. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin erkek veya gözlüklü olma olasılığı kaçtır? 👓
Çözüm ve Açıklama
Küme birleşimi mantığını kullanarak çözüme ulaşalım:
Sınıf Mevcudu: \( 12 + 18 = 30 \) kişi. Bu bizim örnek uzayımızdır: \( s(E) = 30 \).
Erkek Sayısı: 18
Gözlüklü Kız Sayısı: 4 (Erkekleri zaten saydığımız için sadece gözlüklü kızları eklememiz yeterlidir).
İstenen Kişi Sayısı: \( 18 + 4 = 22 \)
Olasılık değerini hesaplayalım:
\[ P(A) = \frac{22}{30} \]
2 ile sadeleştirirsek:
\[ P(A) = \frac{11}{15} \]
✅ Seçilen öğrencinin erkek veya gözlüklü olma olasılığı \( \frac{11}{15} \) olur.
5
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
İki madeni para aynı anda havaya atılıyor. Paraların en az birinin tura gelme olasılığı kaçtır? 🪙🪙
Çözüm ve Açıklama
İki paranın atılması deneyinde tüm durumları listeleyelim:
Örnek Uzay (E): \( \{(Y,Y), (Y,T), (T,Y), (T,T)\} \) olup \( s(E) = 4 \) tanedir.
İstenen Olay (A): En az bir tura demek; 1 tura veya 2 tura gelmesi demektir.
📌 Alternatif Yol: Tüm durumlardan (1), hiç tura gelmeme (ikisinin de yazı gelme) olasılığını çıkarabiliriz:
\[ 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]
6
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir çarkıfelek 8 eş parçaya bölünmüştür ve parçalar 1'den 8'e kadar numaralandırılmıştır. Çark çevrildiğinde okun gösterdiği sayının 3'ten büyük bir asal sayı olma olasılığı kaçtır? 🎡
Çözüm ve Açıklama
Adım adım analiz edelim:
Örnek Uzay: \( E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \) ve \( s(E) = 8 \).
Asal Sayılar: \( \{2, 3, 5, 7\} \)
3'ten Büyük Asal Sayılar: \( \{5, 7\} \)
İstenen Durum Sayısı: \( s(A) = 2 \).
Olasılık değerini bulalım:
\[ P(A) = \frac{2}{8} \]
Sadeleşmiş hali:
\[ P(A) = \frac{1}{4} \]
✨ Çarkın 3'ten büyük asal sayı gösterme olasılığı %25'tir.
7
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir teknoloji mağazasındaki 50 adet tabletten 5 tanesi üretim hatalıdır. Mağazadan rastgele bir tablet alan bir müşterinin sağlam (hatasız) bir ürün alma olasılığı yüzde kaçtır? 📱
Çözüm ve Açıklama
Günlük hayatta olasılık genellikle yüzde (%) olarak ifade edilir.
Toplam Ürün: \( s(E) = 50 \)
Hatalı Ürün: 5
Sağlam Ürün Sayısı: \( 50 - 5 = 45 \)
Olasılık (Kesir): \( \frac{45}{50} \)
Yüzdeye çevirmek için paydayı 100 yapalım (2 ile genişletelim):
✅ Sonuç: Müşterinin sağlam ürün alma olasılığı %90 olarak bulunur.
8
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir hedef tahtası üzerinde 1'den 20'ye kadar olan tam sayılar yazılıdır. Hedefe isabet eden bir okun 4'ün katı olan bir sayıya gelme olasılığı kaçtır? 🎯
Çözüm ve Açıklama
Hedef tahtasındaki sayıları bir küme olarak düşünelim:
Örnek Uzay: \( E = \{1, 2, 3, ..., 20\} \) ve \( s(E) = 20 \).
İstenen Durum (4'ün Katları): \( A = \{4, 8, 12, 16, 20\} \).
İstenen Durum Sayısı: \( s(A) = 5 \).
Olasılık formülünü uygulayalım:
\[ P(A) = \frac{5}{20} \]
Sadeleştirme yaparsak:
\[ P(A) = \frac{1}{4} \]
👉 Okun 4'ün katı olan bir bölgeye isabet etme olasılığı \( \frac{1}{4} \) olur.
9. Sınıf Matematik: Öklid olasılık Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir madeni paranın havaya atılması deneyinde üst yüze Yazı gelme olasılığı kaçtır? 🪙
Çözüm:
Olasılık hesaplamasında temel kuralımız, istenen durum sayısının tüm durumların sayısına oranıdır.
Örnek Uzay (E): Paranın iki yüzü olduğu için \( E = \{Y, T\} \) olup eleman sayısı \( s(E) = 2 \) olur.
İstenen Olay (A): Üst yüze Yazı gelmesi olayıdır. \( A = \{Y\} \) olup eleman sayısı \( s(A) = 1 \) olur.
Olasılık Formülü: \( P(A) = \frac{s(A)}{s(E)} \)
Bu durumda sonuç:
\[ P(A) = \frac{1}{2} \]
✅ Madeni paranın yazı gelme olasılığı %50 veya \( \frac{1}{2} \) olarak ifade edilir.
Örnek 2:
Hilesiz bir zar havaya atılıyor. Zarın üst yüzüne gelen sayının çift sayı olma olasılığını bulunuz. 🎲
Çözüm:
Zar atma deneyinde tüm olası sonuçları ve bizden istenen durumu belirleyelim:
Örnek Uzay (E): Bir zarda 6 yüz vardır. \( E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) ve \( s(E) = 6 \) olur.
İstenen Olay (A): Çift sayı gelmesi. \( A = \{2, 4, 6\} \) ve \( s(A) = 3 \) olur.
👉 Zarın çift gelme olasılığı \( \frac{1}{2} \) olarak bulunur.
Örnek 3:
Bir torbada 4 kırmızı, 3 mavi ve 5 yeşil bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele çekilen bir bilyenin mavi olmama olasılığı kaçtır? 🔵
Çözüm:
Bu soruyu iki farklı yolla çözebiliriz. "Mavi olmama" durumu, bilyenin kırmızı veya yeşil olması demektir.
Toplam Bilye Sayısı (s(E)): \( 4 + 3 + 5 = 12 \)
İstenen Durum (Mavi Olmayanlar): Kırmızı + Yeşil = \( 4 + 5 = 9 \)
Olasılık: \( P(A) = \frac{9}{12} \)
Kesri 3 ile sadeleştirdiğimizde:
\[ P(A) = \frac{3}{4} \]
💡 Not: Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı her zaman 1'dir.
Örnek 4:
Bir sınıfta 12 kız ve 18 erkek öğrenci vardır. Kız öğrencilerin 4'ü, erkek öğrencilerin ise 6'sı gözlüklüdür. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin erkek veya gözlüklü olma olasılığı kaçtır? 👓
Çözüm:
Küme birleşimi mantığını kullanarak çözüme ulaşalım:
Sınıf Mevcudu: \( 12 + 18 = 30 \) kişi. Bu bizim örnek uzayımızdır: \( s(E) = 30 \).
Erkek Sayısı: 18
Gözlüklü Kız Sayısı: 4 (Erkekleri zaten saydığımız için sadece gözlüklü kızları eklememiz yeterlidir).
İstenen Kişi Sayısı: \( 18 + 4 = 22 \)
Olasılık değerini hesaplayalım:
\[ P(A) = \frac{22}{30} \]
2 ile sadeleştirirsek:
\[ P(A) = \frac{11}{15} \]
✅ Seçilen öğrencinin erkek veya gözlüklü olma olasılığı \( \frac{11}{15} \) olur.
Örnek 5:
İki madeni para aynı anda havaya atılıyor. Paraların en az birinin tura gelme olasılığı kaçtır? 🪙🪙
Çözüm:
İki paranın atılması deneyinde tüm durumları listeleyelim:
Örnek Uzay (E): \( \{(Y,Y), (Y,T), (T,Y), (T,T)\} \) olup \( s(E) = 4 \) tanedir.
İstenen Olay (A): En az bir tura demek; 1 tura veya 2 tura gelmesi demektir.
📌 Alternatif Yol: Tüm durumlardan (1), hiç tura gelmeme (ikisinin de yazı gelme) olasılığını çıkarabiliriz:
\[ 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]
Örnek 6:
Bir çarkıfelek 8 eş parçaya bölünmüştür ve parçalar 1'den 8'e kadar numaralandırılmıştır. Çark çevrildiğinde okun gösterdiği sayının 3'ten büyük bir asal sayı olma olasılığı kaçtır? 🎡
Çözüm:
Adım adım analiz edelim:
Örnek Uzay: \( E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \) ve \( s(E) = 8 \).
Asal Sayılar: \( \{2, 3, 5, 7\} \)
3'ten Büyük Asal Sayılar: \( \{5, 7\} \)
İstenen Durum Sayısı: \( s(A) = 2 \).
Olasılık değerini bulalım:
\[ P(A) = \frac{2}{8} \]
Sadeleşmiş hali:
\[ P(A) = \frac{1}{4} \]
✨ Çarkın 3'ten büyük asal sayı gösterme olasılığı %25'tir.
Örnek 7:
Bir teknoloji mağazasındaki 50 adet tabletten 5 tanesi üretim hatalıdır. Mağazadan rastgele bir tablet alan bir müşterinin sağlam (hatasız) bir ürün alma olasılığı yüzde kaçtır? 📱
Çözüm:
Günlük hayatta olasılık genellikle yüzde (%) olarak ifade edilir.
Toplam Ürün: \( s(E) = 50 \)
Hatalı Ürün: 5
Sağlam Ürün Sayısı: \( 50 - 5 = 45 \)
Olasılık (Kesir): \( \frac{45}{50} \)
Yüzdeye çevirmek için paydayı 100 yapalım (2 ile genişletelim):
✅ Sonuç: Müşterinin sağlam ürün alma olasılığı %90 olarak bulunur.
Örnek 8:
Bir hedef tahtası üzerinde 1'den 20'ye kadar olan tam sayılar yazılıdır. Hedefe isabet eden bir okun 4'ün katı olan bir sayıya gelme olasılığı kaçtır? 🎯
Çözüm:
Hedef tahtasındaki sayıları bir küme olarak düşünelim:
Örnek Uzay: \( E = \{1, 2, 3, ..., 20\} \) ve \( s(E) = 20 \).
İstenen Durum (4'ün Katları): \( A = \{4, 8, 12, 16, 20\} \).
İstenen Durum Sayısı: \( s(A) = 5 \).
Olasılık formülünü uygulayalım:
\[ P(A) = \frac{5}{20} \]
Sadeleştirme yaparsak:
\[ P(A) = \frac{1}{4} \]
👉 Okun 4'ün katı olan bir bölgeye isabet etme olasılığı \( \frac{1}{4} \) olur.