💡 9. Sınıf Matematik: Öklid Bağıntısı Çözümlü Örnekler

• 📌 Yükseklik bağıntısı der ki: Bir dik üçgende, dik açıdan hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
• Matematiksel olarak: \(h^2 = p \cdot k\)
• Burada \(h\) yükseklik, \(p\) ve \(k\) ise hipotenüs üzerindeki parçaların uzunluklarıdır.
• Verilenler: \(p = 4\) cm ve \(k = 9\) cm.
• Formülü uygulayalım: \(h^2 = 4 \cdot 9\)
• İşlemi yapalım: \(h^2 = 36\)
• Her iki tarafın karekökünü alalım: \(h = \sqrt{36}\)
• Sonuç: \(h = 6\) cm. ✅

Yani, yüksekliğin uzunluğu 6 cm'dir.

• 📌 Dik kenar bağıntısı der ki: Bir dik üçgende bir dik kenarın karesi, hipotenüsün tamamı ile bu dik kenarın hipotenüs üzerindeki dik izdüşümünün çarpımına eşittir.
• Matematiksel olarak: \(b^2 = p \cdot c\) veya \(a^2 = k \cdot c\)
• Burada \(b\) (veya \(a\)) dik kenar, \(p\) (veya \(k\)) bu dik kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümü, \(c\) ise hipotenüsün tamamının uzunluğudur.
• Verilenler: Dik kenar \(b = 6\) cm, izdüşüm \(p = 3\) cm.
• Formülü uygulayalım: \(6^2 = 3 \cdot c\)
• İşlemi yapalım: \(36 = 3c\)
• Her iki tarafı 3'e bölelim: \(c = \frac{36}{3}\)
• Sonuç: \(c = 12\) cm. ✅

Hipotenüsün uzunluğu 12 cm'dir.

• 📌 Yükseklik bağıntısı: \(h^2 = p \cdot k\)
• Verilenler: Yükseklik \(h = 2\sqrt{5}\) cm, parçalardan biri \(p = 4\) cm. Diğer parça \(k\) değerini bulacağız.
• Formülü uygulayalım: \((2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot k\)
• Karesini alırken dikkat: \((2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20\)
• Denklemimiz şimdi: \(20 = 4k\)
• Her iki tarafı 4'e bölelim: \(k = \frac{20}{4}\)
• Sonuç: \(k = 5\) cm. ✅

Hipotenüsün diğer parçasının uzunluğu 5 cm'dir.

• 📌 Önce hipotenüsün parçalarını bulalım. Yükseklik bağıntısı: \(h^2 = p \cdot k\)
• Verilenler: \(h = 6\) cm, \(p = x\), \(k = 13 - x\).
• Formülü uygulayalım: \(6^2 = x \cdot (13 - x)\)
• İşlemi yapalım: \(36 = 13x - x^2\)
• Denklemi düzenleyelim (ikinci dereceden denklem): \(x^2 - 13x + 36 = 0\)
• Çarpanlara ayıralım: \((x - 4)(x - 9) = 0\)
• Buradan \(x_1 = 4\) veya \(x_2 = 9\) bulunur.
• Yani, hipotenüsün parçaları 4 cm ve 9 cm'dir.
• Şimdi dik kenarlardan birini bulalım. Örneğin, izdüşümü 4 cm olan dik kenarı (b) bulalım.
• 📌 Dik kenar bağıntısı: \(b^2 = p \cdot c\)
• Verilenler: \(p = 4\) cm, hipotenüs \(c = 13\) cm.
• Formülü uygulayalım: \(b^2 = 4 \cdot 13\)
• İşlemi yapalım: \(b^2 = 52\)
• Karekökünü alalım: \(b = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}\) cm. ✅
• Eğer izdüşümü 9 cm olan dik kenarı (a) bulmak istersek:
• \(a^2 = k \cdot c\)
• \(a^2 = 9 \cdot 13\)
• \(a^2 = 117\)
• \(a = \sqrt{117} = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13}\) cm.

Dik kenarlardan birinin uzunluğu \(2\sqrt{13}\) cm veya \(3\sqrt{13}\) cm olabilir.

• 📌 Yükseklik bağıntısı: \(h^2 = p \cdot k\)
• Verilenler: \(h = 6\) cm, \(p = x\) cm, \(k = (x+5)\) cm.
• Formülü uygulayalım: \(6^2 = x \cdot (x+5)\)
• İşlemi yapalım: \(36 = x^2 + 5x\)
• Denklemi düzenleyelim (ikinci dereceden denklem): \(x^2 + 5x - 36 = 0\)
• Bu denklemi çarpanlara ayırabiliriz. İki sayının çarpımı -36 ve toplamı 5 olmalı. Bu sayılar 9 ve -4'tür.
• \((x + 9)(x - 4) = 0\)
• Buradan iki olası \(x\) değeri çıkar: \(x_1 = -9\) veya \(x_2 = 4\).
• Uzunluk negatif olamayacağı için \(x = -9\) değerini eliyoruz.
• Sonuç: \(x = 4\). ✅

\(x\) değeri 4'tür. Bu durumda parçalar 4 cm ve 9 cm olur.

• 📌 Yükseklik bağıntısını kullanacağız: \(h^2 = p \cdot k\)
• Verilenler: Yükseklik \(h = 12\) metre, parçalardan biri \(p = 8\) metre. Diğer parça \(k\) değerini bulacağız.
• Formülü uygulayalım: \(12^2 = 8 \cdot k\)
• İşlemi yapalım: \(144 = 8k\)
• Her iki tarafı 8'e bölelim: \(k = \frac{144}{8}\)
• Bölme işlemini yapalım: \(k = 18\) metre. ✅

Köprü tabanının diğer parçasının uzunluğu 18 metredir. Bu tür hesaplamalar, inşaat mühendisliğinde yapıların sağlamlığını kontrol etmek için kullanılır.

• 📌 Dik kenar bağıntısı: \(b^2 = p \cdot c\)
• Burada \(b\) direğin uzunluğu (dik kenar), \(p\) ipin yere sabitlendiği noktanın direğin dibinden uzaklığı (dik kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümü), \(c\) ise ipin toplam uzunluğudur (hipotenüs).
• Verilenler: Direk uzunluğu \(b = 150\) cm, izdüşüm \(p = 90\) cm. Hipotenüs \(c\) değerini bulacağız.
• Formülü uygulayalım: \(150^2 = 90 \cdot c\)
• Karesini alalım: \(22500 = 90c\)
• Her iki tarafı 90'a bölelim: \(c = \frac{22500}{90}\)
• Sadeleştirme yapalım: \(c = \frac{2250}{9}\)
• Bölme işlemini yapalım: \(c = 250\) cm. ✅

İpin toplam uzunluğu (hipotenüs) 250 cm'dir. Bu hesaplama, bahçede direk veya ağaç desteklerken doğru ip uzunluğunu belirlemek için faydalı olabilir.

• 📌 Yükseklik bağıntısı: \(h^2 = p \cdot k\)
• Verilenler: Yükseklik \(h = 12\) cm, hipotenüs üzerindeki parçalar \(p = x\) cm ve \(k = (x+7)\) cm.
• Formülü uygulayalım: \(12^2 = x \cdot (x+7)\)
• İşlemi yapalım: \(144 = x^2 + 7x\)
• Denklemi düzenleyelim (ikinci dereceden denklem): \(x^2 + 7x - 144 = 0\)
• Bu denklemi çarpanlara ayırmamız gerekiyor. Çarpımları -144, toplamları 7 olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar 16 ve -9'dur.
• \((x + 16)(x - 9) = 0\)
• Buradan iki olası \(x\) değeri çıkar: \(x_1 = -16\) veya \(x_2 = 9\).
• Uzunluk negatif olamayacağı için \(x = -16\) değerini eliyoruz.
• Sonuç: \(x = 9\). ✅

\(x\) değeri 9'dur. Bu durumda destek parçaları 9 cm ve (9+7) = 16 cm uzunluğunda olacaktır. Bu, marangozun doğru ölçülerde destek parçasını kesmesine yardımcı olur.