• 👉 Tanım kümesindeki her eleman eşlenmiş olmalıdır.
• 👉 Tanım kümesindeki her eleman, değer kümesinden yalnız bir elemanla eşlenmiş olmalıdır. (Yani, tanım kümesindeki bir elemanın birden fazla görüntüsü olmamalıdır.)

• 1. \(f_1 = \{(1, a), (2, b), (3, c), (1, d)\}\)
  • Tanım kümesindeki \(1\) elemanı, hem \(a\) hem de \(d\) ile eşlenmiştir.
  • Bu durum, fonksiyon olmanın "her elemanın yalnız bir görüntüsü olmalı" kuralını ihlal eder.
  • ✅ Sonuç: \(f_1\) bir fonksiyon değildir.
• 2. \(f_2 = \{(1, a), (2, b)\}\)
  • Tanım kümesi \(A = \{1, 2, 3\}\) olmasına rağmen, \(3\) elemanı eşlenmemiştir.
  • Bu durum, fonksiyon olmanın "tanım kümesindeki her eleman eşlenmiş olmalı" kuralını ihlal eder.
  • ✅ Sonuç: \(f_2\) bir fonksiyon değildir.
• 3. \(f_3 = \{(1, a), (2, c), (3, b)\}\)
  • Tanım kümesindeki her eleman (\(1, 2, 3\)) eşlenmiştir.
  • Tanım kümesindeki her eleman, değer kümesinden yalnız bir elemanla eşlenmiştir (yani \(1\) sadece \(a\) ile, \(2\) sadece \(c\) ile, \(3\) sadece \(b\) ile).
  • ✅ Sonuç: \(f_3\) bir fonksiyondur.

Bu örnekte sadece \(f_3\) bağıntısı bir fonksiyondur. 💡

• Tanım kümesindeki ilk eleman \(x = -2\):
  \(f(-2) = 2 \cdot (-2) + 1 = -4 + 1 = -3\)
• Tanım kümesindeki ikinci eleman \(x = 0\):
  \(f(0) = 2 \cdot (0) + 1 = 0 + 1 = 1\)
• Tanım kümesindeki üçüncü eleman \(x = 1\):
  \(f(1) = 2 \cdot (1) + 1 = 2 + 1 = 3\)
• Tanım kümesindeki dördüncü eleman \(x = 3\):
  \(f(3) = 2 \cdot (3) + 1 = 6 + 1 = 7\)

Bulduğumuz bu değerler \(\{-3, 1, 3, 7\}\) görüntü kümesini oluşturur.

✅ Görüntü kümesi: \(f(A) = \{-3, 1, 3, 7\}\)

• 1. Adım: \(f(4)\) değerini hesaplayalım.
  Fonksiyon kuralında \(x\) yerine \(4\) yazalım:
  \(f(4) = 3 \cdot (4) - 5\)
  \(f(4) = 12 - 5\)
  \(f(4) = 7\)
• 2. Adım: \(f(-1)\) değerini hesaplayalım.
  Fonksiyon kuralında \(x\) yerine \(-1\) yazalım:
  \(f(-1) = 3 \cdot (-1) - 5\)
  \(f(-1) = -3 - 5\)
  \(f(-1) = -8\)
• 3. Adım: Bulduğumuz değerleri toplayalım.
  \(f(4) + f(-1) = 7 + (-8)\)
  \(f(4) + f(-1) = 7 - 8\)
  \(f(4) + f(-1) = -1\)

✅ Sonuç olarak, \(f(4) + f(-1) = -1\)'dir.

• 1. \(f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), \(f(x) = x + 3\)
  • Farz edelim ki \(f(x_1) = f(x_2)\) olsun.
    \(x_1 + 3 = x_2 + 3\)
    Denklemin her iki tarafından \(3\) çıkarırsak:
    \(x_1 = x_2\)
  • Bu durumda, farklı \(x\) değerleri için farklı görüntüler elde ederiz.
  • ✅ Sonuç: \(f(x) = x + 3\) fonksiyonu birebirdir.
• 2. \(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(g(x) = x^2\)
  • Bu fonksiyon için farklı \(x\) değerleri aynı görüntüye sahip olabilir. Örneğin:
    \(g(2) = 2^2 = 4\)
    \(g(-2) = (-2)^2 = 4\)
  • Burada \(2 \neq -2\) olmasına rağmen, \(g(2) = g(-2)\)'dir.
  • ✅ Sonuç: \(g(x) = x^2\) fonksiyonu birebir değildir.
• 3. \(h: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\), \(h(x) = x + 3\)
  • Farz edelim ki \(h(x_1) = h(x_2)\) olsun.
    \(x_1 + 3 = x_2 + 3\)
    Denklemin her iki tarafından \(3\) çıkarırsak:
    \(x_1 = x_2\)
  • Tanım kümesi doğal sayılar olduğu için, yukarıdaki mantık yine geçerlidir. Farklı doğal sayılar için farklı sonuçlar elde ederiz.
  • ✅ Sonuç: \(h(x) = x + 3\) fonksiyonu birebirdir.

Bu durumda \(f(x)\) ve \(h(x)\) fonksiyonları birebirdir. 📌

• Tanım kümesi \(\mathbb{Z}\) (tam sayılar) ve değer kümesi de \(\mathbb{Z}\) (tam sayılar).
• Örtenlik testi: Değer kümesindeki herhangi bir \(y\) tam sayısını alalım. Bu \(y\) sayısının tanım kümesinde bir karşılığı (\(x\)) var mı diye bakalım.
  \(f(x) = y\)
  \(x - 2 = y\)
  \(x = y + 2\)
• Eğer \(y\) bir tam sayı ise, \(y + 2\) de kesinlikle bir tam sayıdır.
• Bu demektir ki, değer kümesindeki her tam sayı için, tanım kümesinde bir tam sayı karşılığı (ön görüntüsü) vardır. Örneğin, değer kümesinden \(y=5\) alırsak, \(x=5+2=7\) (bir tam sayı) için \(f(7)=5\) olur. Değer kümesinden \(y=-3\) alırsak, \(x=-3+2=-1\) (bir tam sayı) için \(f(-1)=-3\) olur.
• Yani, fonksiyonun görüntü kümesi tüm tam sayılar kümesine eşittir: \(f(\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}\).

✅ Sonuç: \(f(x) = x - 2\) fonksiyonu örten bir fonksiyondur.

• 1. Adım: Fonksiyonu ve kısıtlamaları belirleyelim.
  Fonksiyon: \(f(x) = x^2 - 5\)
  Tanım Kümesi: \(x\) bir doğal sayı (\(x \in \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\}\)).
  Görüntü Kümesi: \(f(x)\) bir pozitif tam sayı (\(f(x) \in \mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, ...\}\)).
• 2. Adım: Tanım kümesinden hangi doğal sayıların kullanılabileceğini bulalım.
  \(f(x)\) değerinin pozitif tam sayı olması gerektiği için, \(x^2 - 5 > 0\) olmalıdır.
  \(x^2 > 5\)
  Şimdi doğal sayıları deneyelim:
  • \(x = 0 \Rightarrow f(0) = 0^2 - 5 = -5\) (Pozitif değil, kullanılamaz)
  • \(x = 1 \Rightarrow f(1) = 1^2 - 5 = 1 - 5 = -4\) (Pozitif değil, kullanılamaz)
  • \(x = 2 \Rightarrow f(2) = 2^2 - 5 = 4 - 5 = -1\) (Pozitif değil, kullanılamaz)
  • \(x = 3 \Rightarrow f(3) = 3^2 - 5 = 9 - 5 = 4\) (Pozitif bir tam sayı, kullanılabilir! 🎉)
  • \(x = 4 \Rightarrow f(4) = 4^2 - 5 = 16 - 5 = 11\) (Pozitif bir tam sayı, kullanılabilir! 🎉)
  • \(x = 5 \Rightarrow f(5) = 5^2 - 5 = 25 - 5 = 20\) (Pozitif bir tam sayı, kullanılabilir! 🎉)
  
  Buna göre, uygulamanın kullanabileceği en küçük doğal sayılar \(3, 4, 5\)'tir.
• 3. Adım: Bu sayıların görüntülerini (şifrelerini) bulalım.
  \(f(3) = 4\)
  \(f(4) = 11\)
  \(f(5) = 20\)
• 4. Adım: Görüntülerin toplamını hesaplayalım.
  Toplam = \(4 + 11 + 20 = 35\)

✅ Uygulamanın kullanabileceği en küçük üç doğal sayının görüntüleri toplamı 35'tir. 💡

• 1. Adım: Ücretlendirme kuralını fonksiyon denklemi olarak yazalım.
  • Açılış ücreti sabittir: 15 TL.
  • Her kilometre için eklenen ücret: 8 TL.
  • Gidilen yol \(x\) kilometre ise, kilometre başına ödenecek ücret \(8 \cdot x\) olur.
  • Toplam ücret, açılış ücreti ile kilometre ücretinin toplamıdır.
  • ✅ Fonksiyon denklemi: \(f(x) = 8x + 15\)
• 2. Adım: 12 kilometre yol giden bir müşterinin ödeyeceği ücreti hesaplayalım.
  • Bu durumda, \(x = 12\) olacaktır. Fonksiyon denkleminde \(x\) yerine \(12\) yazalım:
    \(f(12) = 8 \cdot (12) + 15\)
    \(f(12) = 96 + 15\)
    \(f(12) = 111\)
  • ✅ Sonuç: Müşteri 12 kilometre yol giderse 111 TL ücret öder.

Bu örnek, fonksiyonların günlük hayattaki problemleri modellemede nasıl kullanılabileceğini gösteriyor. 🚕

• Sabit Fonksiyon: Tanım kümesindeki her elemanı değer kümesindeki aynı tek bir elemana eşleyen fonksiyondur. Yani \(f(x) = c\) (sabit bir sayı) şeklindedir.
• Birim (Özdeşlik) Fonksiyon: Tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşleyen fonksiyondur. Yani \(f(x) = x\) şeklindedir. Genellikle \(I(x)\) ile gösterilir.

• 1. \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 7\)
  • Bu fonksiyon, tanım kümesindeki tüm gerçek sayıları \(7\) sayısına eşler.
  • Örneğin, \(f(1) = 7\), \(f(100) = 7\), \(f(-5) = 7\).
  • ✅ Sonuç: \(f(x)\) bir sabit fonksiyondur.
• 2. \(g: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), \(g(x) = x\)
  • Bu fonksiyon, tanım kümesindeki her tam sayıyı kendisine eşler.
  • Örneğin, \(g(5) = 5\), \(g(-2) = -2\).
  • ✅ Sonuç: \(g(x)\) bir birim (özdeşlik) fonksiyondur.
• 3. \(h: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\), \(h(x) = x + 1 - 1\)
  • Fonksiyonun kuralını sadeleştirelim: \(h(x) = x + 1 - 1 = x\).
  • Bu fonksiyon da tanım kümesindeki her doğal sayıyı kendisine eşler.
  • Örneğin, \(h(0) = 0\), \(h(10) = 10\).
  • ✅ Sonuç: \(h(x)\) bir birim (özdeşlik) fonksiyondur.

💡 Unutmayın, birim fonksiyonun kuralı her zaman \(f(x) = x\) şeklindedir.

• 1. Adım: Verilen bilgileri kullanarak iki denklem oluşturalım.
  • \(f(1) = 5\) bilgisini kullanırsak:
    \(a \cdot (1) + b = 5\)
    \(a + b = 5\) (Denklem 1)
  • \(f(3) = 11\) bilgisini kullanırsak:
    \(a \cdot (3) + b = 11\)
    \(3a + b = 11\) (Denklem 2)
• 2. Adım: Denklem sistemini çözerek \(a\) ve \(b\) değerlerini bulalım.
  Denklem 2'den Denklem 1'i çıkaralım:
  \((3a + b) - (a + b) = 11 - 5\)
  \(3a + b - a - b = 6\)
  \(2a = 6\)
  \(a = 3\)
  
  Şimdi \(a = 3\) değerini Denklem 1'de yerine koyalım:
  \(3 + b = 5\)
  \(b = 5 - 3\)
  \(b = 2\)
• 3. Adım: Fonksiyon kuralını yazalım.
  Bulduğumuz \(a = 3\) ve \(b = 2\) değerlerini \(f(x) = ax + b\) denkleminde yerine koyarsak:
  \(f(x) = 3x + 2\)
• 4. Adım: \(f(5)\) değerini hesaplayalım.
  Fonksiyon kuralında \(x\) yerine \(5\) yazalım:
  \(f(5) = 3 \cdot (5) + 2\)
  \(f(5) = 15 + 2\)
  \(f(5) = 17\)

✅ Sonuç olarak, \(f(5) = 17\)'dir. 📈