💡 9. Sınıf Matematik: Nicelikler ve Gerçek Sayılar Çözümlü Örnekler

Bu soruda, verilen rasyonel sayıların sadeleştirilerek veya ondalık gösterimlerine bakılarak karşılaştırılması istenmektedir.

• A seçeneğindeki \( \frac{1}{2} \) sayısı, ondalık olarak 0.5'e eşittir.
• B seçeneğindeki \( \frac{3}{4} \) sayısı, ondalık olarak 0.75'e eşittir.
• C seçeneğindeki \( \frac{5}{10} \) sayısı sadeleştirildiğinde \( \frac{1}{2} \) olur ve ondalık olarak 0.5'e eşittir.
• D seçeneğindeki \( \frac{2}{3} \) sayısı, ondalık olarak devirli bir sayı olan \( 0.666... \) şeklinde ifade edilir.

A, B ve C seçeneklerindeki sayılar sonlu ondalık gösterimlerdir, ancak D seçeneğindeki sayı devirli ondalık gösterimdir. Bu nedenle D seçeneği diğerlerinden farklıdır.
Cevap: D
💡 İpucu: Rasyonel sayıları ondalık gösterime çevirerek veya sadeleştirerek karşılaştırmak faydalı olabilir.

Bu soruda, karekök içindeki tam kare sayıların karekökleri alınarak işlem yapılacaktır.

• \( \sqrt{16} \) = 4 (Çünkü \( 4 \times 4 = 16 \))
• \( \sqrt{25} \) = 5 (Çünkü \( 5 \times 5 = 25 \))
• \( \sqrt{9} \) = 3 (Çünkü \( 3 \times 3 = 9 \))

Şimdi bu değerleri verilen işlemde yerine koyalım:
\( 4 + 5 - 3 \)

• \( 4 + 5 = 9 \)
• \( 9 - 3 = 6 \)

Sonuç olarak, işlemin sonucu 6'dır.
Cevap: 6
✅ Önemli Not: Karekök, sayının kendisiyle çarpıldığında karekök içindeki sayıyı veren pozitif sayıyı ifade eder.

İrrasyonel sayılar, iki tam sayının oranı şeklinde yazılamayan sayılardır. Genellikle köklü ifadeler veya \( \pi \) gibi sabitler irrasyoneldir.

• A seçeneğindeki \( \sqrt{36} \) = 6'dır. 6 bir tam sayıdır ve \( \frac{6}{1} \) şeklinde yazılabilir, bu yüzden rasyoneldir.
• B seçeneğindeki \( \frac{22}{7} \) iki tam sayının oranıdır, bu yüzden rasyoneldir. (Bu \( \pi \)'nin yaklaşık değeridir, ancak kendisi rasyoneldir.)
• C seçeneğindeki \( \pi \) sayısı, matematiksel bir sabittir ve ondalık gösterimi sonsuza kadar devam eden ve tekrar etmeyen bir sayıdır. Bu nedenle irrasyoneldir.
• D seçeneğindeki \( \sqrt{\frac{4}{9}} \) = \( \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} \) = \( \frac{2}{3} \) olur. Bu iki tam sayının oranıdır, bu yüzden rasyoneldir.

Bu analizlere göre \( \pi \) irrasyonel bir sayıdır.
Cevap: C
📌 Bilgi Kutusu: Rasyonel sayılar \( \frac{a}{b} \) (b ≠ 0) şeklinde yazılabilen sayılardır. İrrasyonel sayılar ise bu şekilde yazılamaz.

Bu soru, alan ve çevre kavramları ile karekök alma işlemini birleştirmektedir.
Adım 1: Karenin Alanını Hesaplama

• Karenin bir kenar uzunluğu \( a = 5 \) cm olarak verilmiştir.
• Karenin alanı \( A = a^2 \) formülü ile hesaplanır.
• \( A = 5^2 = 25 \) cm²

Adım 2: Alanın Karekökünü Alma

• Hesaplanan alanın karekökü: \( \sqrt{25} \)
• \( \sqrt{25} = 5 \)

Adım 3: Karenin Çevresini Hesaplama

• Karenin çevresi \( Ç = 4a \) formülü ile hesaplanır.
• \( Ç = 4 \times 5 = 20 \) cm

Adım 4: Alanın Karekökünün Çevrenin Kaç Katı Olduğunu Bulma

• Alanının karekökü 5'tir.
• Karenin çevresi 20'dir.
• \( \frac{\text{Alanının Karekökü}}{\text{Çevre}} = \frac{5}{20} \)
• Bu kesir sadeleştirildiğinde \( \frac{1}{4} \) bulunur.

Yani, alanın karekökü, karenin çevresinin \( \frac{1}{4} \) katıdır.
Cevap: \( \frac{1}{4} \)
💡 Öğrenme Noktası: Geometrik şekillerin alan ve çevre formüllerini ve temel sayısal işlemleri bir arada kullanmak, problem çözme becerisini geliştirir.

Bu problem, 120 sayısının pozitif tam sayı bölenlerini bulmayı gerektirir. Paket sayısı, 120'yi tam bölen bir sayı olmalıdır.
Adım 1: 120 Sayısının Asal Çarpanlarına Ayrılması

• \( 120 = 12 \times 10 \)
• \( 12 = 2^2 \times 3 \)
• \( 10 = 2 \times 5 \)
• Dolayısıyla, \( 120 = 2^2 \times 3 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \)

Adım 2: Pozitif Tam Bölen Sayısının Hesaplanması

• Bir sayının pozitif tam bölen sayısını bulmak için, asal çarpanlarının üslerine 1 eklenip çarpılır.
• Üsler: 3, 1, 1
• Üslerin birer fazlası: \( 3+1=4 \), \( 1+1=2 \), \( 1+1=2 \)
• Pozitif tam bölen sayısı = \( 4 \times 2 \times 2 = 16 \)

Manav, paket sayısını en fazla 16 farklı şekilde belirleyebilir. Bu sayılar 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 ve 120'dir.
Cevap: 16
👉 Günlük Hayat Bağlantısı: Bu tür problemler, bölünebilme kuralları ve çarpan kavramlarının günlük hayatta nasıl kullanıldığını gösterir. Örneğin, bir ürünü eşit gruplara ayırmak gibi.

Bu soruda, karekök içindeki sayıyı çarpanlarına ayırarak dışarı çıkarabileceğimiz tam kare çarpanları bulmamız gerekiyor.

• \( 50 \) sayısını çarpanlarına ayıralım: \( 50 = 25 \times 2 \)
• Burada 25 sayısı bir tam karedir (\( 5^2 \)).
• Şimdi karekökü bu şekilde yazabiliriz: \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} \)
• Karekökün özelliğini kullanarak bunu ayırabiliriz: \( \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} \)
• \( \sqrt{25} \) işleminin sonucu 5'tir.
• Dolayısıyla, \( \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \) şeklinde en sade hale getirilir.

Cevap: \( 5\sqrt{2} \)
✅ Kural Hatırlatma: Bir \( \sqrt{a \times b} \) ifadesi, \( \sqrt{a} \times \sqrt{b} \) şeklinde yazılabilir. Tam kare çarpanları karekök dışına çıkarılır.

Bu soru, tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirme bilgisini ölçmektedir.

• Tam sayılı kesir \( 3 \frac{1}{4} \) şeklindedir.
• Bileşik kesre çevirmek için tam kısmı payda ile çarparız ve sonucu pay ile toplarız. Bu toplam yeni pay olur. Payda ise aynı kalır.
• Tam kısım: 3
• Payda: 4
• Pay: 1
• Yeni pay = \( (3 \times 4) + 1 \)
• \( 3 \times 4 = 12 \)
• \( 12 + 1 = 13 \)
• Yeni payda aynı kalır: 4

Bu durumda kesir \( \frac{13}{4} \) olur.
Cevap: \( \frac{13}{4} \)
💡 Öğrenme Yöntemi: Tam sayılı kesirleri görselleştirmek için bir bütünün parçaları olarak düşünebilirsiniz. 3 tam demek, 3 tane bütün demektir. Her bütün 4 parçaya ayrılırsa, \( 3 \times 4 = 12 \) parça olur. Üzerine 1 parça daha eklenince toplam 13 parça olur.

Bu soruyu çözmek için önce verilen köklü ifadeleri en sade hale getirmeli, ardından toplama işlemini yapmalı ve son olarak bölme işlemiyle katını bulmalıyız.
Adım 1: Köklü İfadeleri Sadeleştirme

• \( \sqrt{72} \): \( 72 = 36 \times 2 \). \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \)
• \( \sqrt{50} \): \( 50 = 25 \times 2 \). \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \)
• \( \sqrt{18} \): \( 18 = 9 \times 2 \). \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)

Adım 2: Sadeleştirilmiş İfadeleri Toplama

• \( \sqrt{72} + \sqrt{50} = 6\sqrt{2} + 5\sqrt{2} \)
• Aynı köklü ifadeye sahip oldukları için katsayıları toplanır: \( (6+5)\sqrt{2} = 11\sqrt{2} \)

Adım 3: Toplamın, \( \sqrt{18} \) Sayısının Kaç Katı Olduğunu Bulma

• Toplam \( 11\sqrt{2} \) ve \( \sqrt{18} \) ise \( 3\sqrt{2} \) olarak sadeleşti.
• \( \frac{\text{Toplam}}{\sqrt{18}} = \frac{11\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} \)
• \( \sqrt{2} \) ifadeleri sadeleşir.
• Sonuç: \( \frac{11}{3} \)

Yani, \( \sqrt{72} \) ve \( \sqrt{50} \) sayılarının toplamı, \( \sqrt{18} \) sayısının \( \frac{11}{3} \) katıdır.
Cevap: \( \frac{11}{3} \)
📌 Strateji: Köklü sayılarla işlem yaparken, önce onları en sade hale getirmek işlemleri kolaylaştırır.

Bu soru, yüzdelik artış ve azalışların ardışık uygulanması durumunda fiyatın nasıl değiştiğini anlamayı hedefler.
Adım 1: İlk Durum - %10 İndirim

• Başlangıç fiyatı: \( x \) TL
• İndirim oranı: %10
• İndirim miktarı: \( x \times \frac{10}{100} = 0.1x \)
• İndirimli fiyat \( y = x - 0.1x = 0.9x \)

Adım 2: İkinci Durum - Önce Zam, Sonra İndirim

• Başlangıç fiyatı: \( x \) TL
• Önce %10 zam yapılıyor:
• Zam miktarı: \( x \times \frac{10}{100} = 0.1x \)
• Zamlı fiyat: \( x + 0.1x = 1.1x \)
• Şimdi zamlı fiyat üzerinden %10 indirim yapılıyor:
• İndirim miktarı: \( (1.1x) \times \frac{10}{100} = 1.1x \times 0.1 = 0.11x \)
• Son fiyat: \( 1.1x - 0.11x = 0.99x \)

Adım 3: Son Fiyatın İlk Durumla Karşılaştırılması

• İlk durumdaki indirimli fiyat: \( y = 0.9x \)
• İkinci durumdaki son fiyat: \( 0.99x \)
• \( 0.99x \) değeri, \( 0.9x \) değerinden daha büyüktür.
• Fiyat ilk duruma göre \( 0.99x - 0.9x = 0.09x \) TL artmıştır.
• Yüzde olarak ifade edersek: \( \frac{0.09x}{x} \times 100 = 9% \) artmıştır.

Son fiyat, ilk duruma göre \( 0.99x \) TL olur ve bu, ilk fiyat olan \( x \) TL'ye göre %1'lik bir azalmaya karşılık gelir (çünkü ilk fiyat \( x \) idi, indirimli fiyat \( 0.9x \) idi. Son fiyat \( 0.99x \) oldu, yani ilk fiyat \( x \) ile karşılaştırıldığında %1 azalmış oldu.)
Cevap: Son fiyat, ilk duruma göre %1 azalmıştır.
💡 Temel Kavram: Yüzdelik artış ve azalışlar ardışık uygulandığında, sonuç her zaman başlangıç değerine dönmez. Önceki sonucun yüzdesi alındığı için farklılıklar oluşur.