🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Mutlak Değerli Fonksiyonlar ve Mutlak Değerli Eşitsizlikler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Mutlak Değerli Fonksiyonlar ve Mutlak Değerli Eşitsizlikler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusunda 0'a olan uzaklığıdır. Bu uzaklık negatif olamayacağı için mutlak değerin sonucu daima pozitiftir veya sıfırdır.
Örneğin, \( |-5| \) ifadesi, -5 sayısının 0'a olan uzaklığını gösterir ve bu uzaklık 5 birimdir. Dolayısıyla, \( |-5| = 5 \) olur.
Benzer şekilde, \( |7| \) ifadesi, 7 sayısının 0'a olan uzaklığını gösterir ve bu uzaklık 7 birimdir. Dolayısıyla, \( |7| = 7 \) olur.
Peki, \( |0| \) neye eşittir? 💡
Çözüm:
- Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusunda başlangıç noktasına (0'a) olan uzaklığını ifade eder.
- Uzaklık kavramı gereği, mutlak değerin sonucu asla negatif olamaz.
- Bu nedenle, mutlak değerin sonucu her zaman pozitif bir sayı veya sıfırdır.
- \( |-5| \): -5 sayısının 0'a uzaklığı 5 birimdir. Bu yüzden \( |-5| = 5 \).
- \( |7| \): 7 sayısının 0'a uzaklığı 7 birimdir. Bu yüzden \( |7| = 7 \).
- \( |0| \): 0 sayısının 0'a uzaklığı 0 birimdir. Bu yüzden \( |0| = 0 \). ✅
Örnek 2:
Mutlak değerin temel özelliklerinden biri, her zaman negatif olmamasıdır. Bir \( x \) gerçek sayısı için \( |x| \ge 0 \) olduğunu biliyoruz.
Bu özelliğe göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin sonucu kesinlikle pozitif veya sıfırdır?
A) \( x - 3 \)
B) \( 3 - x \)
C) \( |x - 3| \)
D) \( |3 - x| \)
E) Hepsi
Çözüm:
- Mutlak değerin tanımına göre, \( |a| \) ifadesi her zaman 0'dan büyük veya eşittir ( \( |a| \ge 0 \) ).
- Bu kural, mutlak değerin içindeki ifadenin ne olduğuna bakılmaksızın geçerlidir.
- Seçeneklere baktığımızda:
- A) \( x - 3 \): \( x \) 'in değerine göre pozitif, negatif veya sıfır olabilir.
- B) \( 3 - x \): \( x \) 'in değerine göre pozitif, negatif veya sıfır olabilir.
- C) \( |x - 3| \): Mutlak değer içinde olduğu için sonucu kesinlikle 0 veya pozitiftir.
- D) \( |3 - x| \): Mutlak değer içinde olduğu için sonucu kesinlikle 0 veya pozitiftir.
- E) Hepsi: A ve B seçenekleri negatif olabileceği için bu seçenek yanlıştır.
- Dolayısıyla, sonucu kesinlikle pozitif veya sıfır olan ifadeler C ve D'dir. Ancak soruda "hangisinin sonucu" diye sorulduğu ve seçeneklerde hem C hem de D'nin doğru olduğu bir durum oluştuğu için, bu tür sorularda genellikle mutlak değerin kendisi sorulur. Eğer soru "mutlak değer içeren" diye sorsaydı, C ve D doğru olurdu. Fakat "sonucu kesinlikle pozitif veya sıfır olan" dediği için, mutlak değerin sonucu her zaman bu kurala uyar. Bu bağlamda, seçeneklerde mutlak değerin kendisi olan C ve D'yi işaretlemeliyiz. Sorunun yapısı gereği, eğer tek bir doğru cevap varsa, bu mutlak değerin tanımını en iyi yansıtanıdır.
- En doğru cevap, mutlak değerin tanımını doğrudan uyguladığımız seçeneklerdir.
Örnek 3:
\( |x - 2| = 5 \) denklemini sağlayan \( x \) değerlerini bulunuz.
Çözüm:
- Mutlak değer denklemlerinde, mutlak değerin içindeki ifade iki farklı değere eşit olabilir: mutlak değerin dışındaki pozitif değere veya negatif değerine.
- Yani, \( |a| = b \) ise, \( a = b \) veya \( a = -b \) olur (burada \( b \ge 0 \) olmalıdır).
- Bizim denklemimizde \( |x - 2| = 5 \) olduğu için, iki durum söz konusudur:
- Durum 1: \( x - 2 = 5 \)
- Bu denklemi çözersek: \( x = 5 + 2 \Rightarrow x = 7 \)
- Durum 2: \( x - 2 = -5 \)
- Bu denklemi çözersek: \( x = -5 + 2 \Rightarrow x = -3 \)
- O halde, denklemi sağlayan \( x \) değerleri 7 ve -3'tür.
- Kontrol edelim:
- \( |7 - 2| = |5| = 5 \) (Doğru)
- \( |-3 - 2| = |-5| = 5 \) (Doğru) ✅
Örnek 4:
\( |2x + 1| = 7 \) denklemini sağlayan \( x \) değerlerinin toplamını bulunuz.
Çözüm:
- Mutlak değer denklemlerini çözerken, mutlak değerin içini iki farklı duruma göre incelemeliyiz.
- \( |2x + 1| = 7 \) denklemi için iki olası durum vardır:
- Durum 1: \( 2x + 1 = 7 \)
- Denklemi çözersek: \( 2x = 7 - 1 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3 \)
- Durum 2: \( 2x + 1 = -7 \)
- Denklemi çözersek: \( 2x = -7 - 1 \Rightarrow 2x = -8 \Rightarrow x = -4 \)
- Denklemi sağlayan \( x \) değerleri 3 ve -4'tür.
- Soruda bu değerlerin toplamı istenmiş: \( 3 + (-4) = 3 - 4 = -1 \).
- Bu değerleri orijinal denklemde yerine koyarak kontrol edebiliriz:
- \( |2(3) + 1| = |6 + 1| = |7| = 7 \) (Doğru)
- \( |2(-4) + 1| = |-8 + 1| = |-7| = 7 \) (Doğru) ✅
Örnek 5:
\( |x - 4| < 3 \) eşitsizliğini sağlayan kaç tane tam sayı vardır?
Çözüm:
- Mutlak değerli bir eşitsizliği çözerken, \( |a| < b \) şeklindeki ifadeler için \( -b < a < b \) eşitsizliği geçerlidir (burada \( b > 0 \) olmalıdır).
- Bizim eşitsizliğimiz \( |x - 4| < 3 \) olduğuna göre, bunu şu şekilde yazabiliriz:
- \( -3 < x - 4 < 3 \)
- Şimdi bu çift eşitsizliği \( x \) için çözelim. Eşitsizliğin her tarafına 4 ekleyelim:
- \( -3 + 4 < x - 4 + 4 < 3 + 4 \)
- \( 1 < x < 7 \)
- Bu eşitsizlik, \( x \) 'in 1'den büyük ve 7'den küçük olduğunu gösterir.
- Bu aralıktaki tam sayılar şunlardır: 2, 3, 4, 5, 6.
- Bu tam sayıların adedi 5'tir.
- Yani, \( |x - 4| < 3 \) eşitsizliğini sağlayan 5 tane tam sayı vardır. ✅
Örnek 6:
\( |x + 1| \ge 2 \) eşitsizliğini sağlayan tam sayıları bulunuz.
Çözüm:
- \( |a| \ge b \) şeklindeki mutlak değerli eşitsizlikler iki ayrı eşitsizlik olarak çözülür: \( a \ge b \) veya \( a \le -b \) (burada \( b \ge 0 \) olmalıdır).
- Bizim eşitsizliğimiz \( |x + 1| \ge 2 \) olduğuna göre, iki durumu inceleyeceğiz:
- Durum 1: \( x + 1 \ge 2 \)
- Bu eşitsizliği çözersek: \( x \ge 2 - 1 \Rightarrow x \ge 1 \)
- Durum 2: \( x + 1 \le -2 \)
- Bu eşitsizliği çözersek: \( x \le -2 - 1 \Rightarrow x \le -3 \)
- Bu iki durumun birleşimi, eşitsizliğin çözüm kümesini verir.
- Yani, \( x \ge 1 \) veya \( x \le -3 \) olmalıdır.
- Bu eşitsizlikleri sağlayan tam sayılar şunlardır:
- \( x \ge 1 \) için: 1, 2, 3, 4, ...
- \( x \le -3 \) için: ..., -5, -4, -3
- Bu eşitsizliği sağlayan tam sayılar, 1'den büyük veya eşit olanlar ile -3'ten küçük veya eşit olanlardır. 💡
Örnek 7:
Bir elektronik tartı, ölçtüğü ağırlığı gerçek ağırlıktan en fazla 0.5 kg sapma ile gösterebilmektedir. Bir ürünün gerçek ağırlığı \( x \) kg olduğuna göre, tartının gösterdiği ağırlık \( y \) kg olsun. Bu durumu ifade eden mutlak değer eşitsizliğini yazınız.
Çözüm:
- Soruda, tartının gösterdiği ağırlığın \( y \) kg olduğu ve gerçek ağırlıktan \( x \) kg en fazla 0.5 kg sapma ile ölçüm yapabildiği belirtiliyor.
- Sapma, gerçek değer ile ölçülen değer arasındaki farktır. Bu farkın mutlak değeri, sapmanın büyüklüğünü verir.
- Yani, \( |y - x| \) ifadesi, tartının gösterdiği ağırlık ile gerçek ağırlık arasındaki farkın mutlak değerini (sapmayı) temsil eder.
- Soruda bu sapmanın en fazla 0.5 kg olabileceği söyleniyor. "En fazla" ifadesi, değerin 0.5'e eşit veya 0.5'ten küçük olabileceğini gösterir.
- Bu durumu mutlak değer eşitsizliği ile ifade edersek:
- \( |y - x| \le 0.5 \)
- Bu eşitsizlik, tartının gösterdiği ağırlığın gerçek ağırlıktan en fazla 0.5 kg farklı olabileceğini matematiksel olarak ifade eder. ✅
Örnek 8:
Bir hava durumu istasyonu, bir şehrin beklenen en düşük sıcaklığının -5°C olduğunu duyurdu. Ancak gerçek sıcaklık, beklenen sıcaklıktan en fazla 2°C farklılık gösterebilir. Beklenen sıcaklık \( T_{beklenen} = -5^\circ C \) ve gerçek sıcaklık \( T_{gerçek} \) olduğuna göre, gerçek sıcaklığın alabileceği değerleri gösteren mutlak değer eşitsizliğini yazınız.
Çözüm:
- Soruda beklenen en düşük sıcaklığın \( -5^\circ C \) olduğu ve gerçek sıcaklığın bundan en fazla 2°C farklılık gösterebileceği belirtiliyor.
- Sıcaklık farkı, gerçek sıcaklık ile beklenen sıcaklık arasındaki farktır. Bu farkın mutlak değeri, sıcaklığın ne kadar farklı olduğunu gösterir.
- Farkı şu şekilde ifade edebiliriz: \( T_{gerçek} - T_{beklenen} \)
- Bu farkın mutlak değeri \( |T_{gerçek} - T_{beklenen}| \) olur.
- Soruda bu farkın "en fazla 2°C" olabileceği söyleniyor. Bu, farkın mutlak değerinin 2'ye eşit veya 2'den küçük olacağı anlamına gelir.
- Dolayısıyla, eşitsizlik şu şekilde yazılır:
- \( |T_{gerçek} - (-5)| \le 2 \)
- Bu ifadeyi daha sade hale getirebiliriz:
- \( |T_{gerçek} + 5| \le 2 \)
- Bu eşitsizlik, gerçek sıcaklığın beklenen -5°C'den en fazla 2°C sapabileceğini ifade eder. 💡
- Bu eşitsizliği çözerek gerçek sıcaklığın alabileceği değer aralığını da bulabiliriz:
- \( -2 \le T_{gerçek} + 5 \le 2 \)
- Her taraftan 5 çıkarırsak:
- \( -2 - 5 \le T_{gerçek} \le 2 - 5 \)
- \( -7 \le T_{gerçek} \le -3 \)
- Yani, gerçek sıcaklık -7°C ile -3°C (dahil) arasında değişebilir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-mutlak-degerli-fonksiyonlar-ve-mutlak-degerli-esitsizlikler/sorular