🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Mutlak Değerli Fonksiyon Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Mutlak Değerli Fonksiyon Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusunda 0'a olan uzaklığıdır. Bu uzaklık negatif olamayacağı için mutlak değerin sonucu daima pozitif veya sıfırdır.
Örneğin, \( |-5| \) ifadesi, -5 sayısının 0'a olan uzaklığını gösterir. Sayı doğrusunda -5'in 0'a olan uzaklığı 5 birimdir. Bu nedenle, \( |-5| = 5 \) olur.
Benzer şekilde, \( |3| \) ifadesi 3 sayısının 0'a olan uzaklığını gösterir. 3'ün 0'a olan uzaklığı da 3 birimdir. Dolayısıyla, \( |3| = 3 \) olur.
💡 Unutmayın: Mutlak değerin içi pozitifse olduğu gibi çıkar, negatifse işareti değiştirilerek çıkar.
Örneğin, \( |-5| \) ifadesi, -5 sayısının 0'a olan uzaklığını gösterir. Sayı doğrusunda -5'in 0'a olan uzaklığı 5 birimdir. Bu nedenle, \( |-5| = 5 \) olur.
Benzer şekilde, \( |3| \) ifadesi 3 sayısının 0'a olan uzaklığını gösterir. 3'ün 0'a olan uzaklığı da 3 birimdir. Dolayısıyla, \( |3| = 3 \) olur.
💡 Unutmayın: Mutlak değerin içi pozitifse olduğu gibi çıkar, negatifse işareti değiştirilerek çıkar.
Çözüm:
- Adım 1: Mutlak değerin tanımını hatırlayalım. Bir sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusunda 0'a olan uzaklığıdır.
- Adım 2: Uzaklık kavramı gereği, mutlak değerin sonucu her zaman 0 veya pozitiftir.
- Adım 3: Negatif bir sayının mutlak değeri, sayının işaretini değiştirerek bulunur. Örneğin, \( |-7| = 7 \).
- Adım 4: Pozitif bir sayının mutlak değeri, sayının kendisine eşittir. Örneğin, \( |9| = 9 \).
- Adım 5: Sıfırın mutlak değeri sıfırdır: \( |0| = 0 \).
Örnek 2:
Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz:
a) \( |12| \)
b) \( |-8| \)
c) \( |0| \)
d) \( |-25| \)
a) \( |12| \)
b) \( |-8| \)
c) \( |0| \)
d) \( |-25| \)
Çözüm:
- a) \( |12| \): 12 pozitif bir sayıdır. Pozitif sayıların mutlak değeri kendilerine eşittir. Dolayısıyla, \( |12| = 12 \). ✅
- b) \( |-8| \): -8 negatif bir sayıdır. Negatif sayıların mutlak değeri, sayının işaretini değiştirerek bulunur. Dolayısıyla, \( |-8| = 8 \). 💡
- c) \( |0| \): Sıfırın mutlak değeri sıfırdır. Dolayısıyla, \( |0| = 0 \). 📌
- d) \( |-25| \): -25 negatif bir sayıdır. Negatif sayıların mutlak değeri, sayının işaretini değiştirerek bulunur. Dolayısıyla, \( |-25| = 25 \). 👉
Örnek 3:
\( |x - 3| = 5 \) denklemini sağlayan \( x \) değerlerini bulunuz.
Çözüm:
Mutlak değerli bir denklemde, mutlak değerin içindeki ifade iki farklı şekilde ele alınır:
Durum 1: \( x - 3 = 5 \)
Her iki tarafa 3 eklersek:
\( x - 3 + 3 = 5 + 3 \)
\( x = 8 \)
Bu durumda \( x = 8 \) bulduk. Kontrol edelim: \( |8 - 3| = |5| = 5 \). ✅
Durum 2: \( x - 3 = -5 \)
Her iki tarafa 3 eklersek:
\( x - 3 + 3 = -5 + 3 \)
\( x = -2 \)
Bu durumda \( x = -2 \) bulduk. Kontrol edelim: \( |-2 - 3| = |-5| = 5 \). ✅
Sonuç olarak, denklemi sağlayan \( x \) değerleri 8 ve -2'dir. 💡
- Durum 1: Mutlak değerin içindeki ifade pozitiftir veya sıfırdır. Bu durumda ifade olduğu gibi çıkar.
- Durum 2: Mutlak değerin içindeki ifade negatiftir. Bu durumda ifade, işareti değiştirilerek çıkar.
Durum 1: \( x - 3 = 5 \)
Her iki tarafa 3 eklersek:
\( x - 3 + 3 = 5 + 3 \)
\( x = 8 \)
Bu durumda \( x = 8 \) bulduk. Kontrol edelim: \( |8 - 3| = |5| = 5 \). ✅
Durum 2: \( x - 3 = -5 \)
Her iki tarafa 3 eklersek:
\( x - 3 + 3 = -5 + 3 \)
\( x = -2 \)
Bu durumda \( x = -2 \) bulduk. Kontrol edelim: \( |-2 - 3| = |-5| = 5 \). ✅
Sonuç olarak, denklemi sağlayan \( x \) değerleri 8 ve -2'dir. 💡
Örnek 4:
\( |2x + 4| = 10 \) denklemini sağlayan \( x \) değerlerinin toplamını bulunuz.
Çözüm:
Bu denklemde de mutlak değerin içindeki ifadeyi iki ayrı durumda inceleyeceğiz:
Durum 1: Mutlak değerin içindeki ifade pozitiftir veya sıfırdır.
\( 2x + 4 = 10 \)
Her iki taraftan 4 çıkaralım:
\( 2x + 4 - 4 = 10 - 4 \)
\( 2x = 6 \)
Her iki tarafı 2'ye bölelim:
\( \frac{2x}{2} = \frac{6}{2} \)
\( x = 3 \)
Bu durumda \( x = 3 \) bulduk. 💡
Durum 2: Mutlak değerin içindeki ifade negatiftir.
\( 2x + 4 = -10 \)
Her iki taraftan 4 çıkaralım:
\( 2x + 4 - 4 = -10 - 4 \)
\( 2x = -14 \)
Her iki tarafı 2'ye bölelim:
\( \frac{2x}{2} = \frac{-14}{2} \)
\( x = -7 \)
Bu durumda \( x = -7 \) bulduk. ✅
Denklemi sağlayan \( x \) değerleri 3 ve -7'dir. Bu değerlerin toplamı ise:
\( 3 + (-7) = 3 - 7 = -4 \)
Sonuç olarak, \( x \) değerlerinin toplamı -4'tür. 👉
Durum 1: Mutlak değerin içindeki ifade pozitiftir veya sıfırdır.
\( 2x + 4 = 10 \)
Her iki taraftan 4 çıkaralım:
\( 2x + 4 - 4 = 10 - 4 \)
\( 2x = 6 \)
Her iki tarafı 2'ye bölelim:
\( \frac{2x}{2} = \frac{6}{2} \)
\( x = 3 \)
Bu durumda \( x = 3 \) bulduk. 💡
Durum 2: Mutlak değerin içindeki ifade negatiftir.
\( 2x + 4 = -10 \)
Her iki taraftan 4 çıkaralım:
\( 2x + 4 - 4 = -10 - 4 \)
\( 2x = -14 \)
Her iki tarafı 2'ye bölelim:
\( \frac{2x}{2} = \frac{-14}{2} \)
\( x = -7 \)
Bu durumda \( x = -7 \) bulduk. ✅
Denklemi sağlayan \( x \) değerleri 3 ve -7'dir. Bu değerlerin toplamı ise:
\( 3 + (-7) = 3 - 7 = -4 \)
Sonuç olarak, \( x \) değerlerinin toplamı -4'tür. 👉
Örnek 5:
Bir sporcu, antrenman sırasında sabit bir hızla koşmaktadır. Başlangıç noktasına göre konumu \( x \) metre olsun. Sporcunun başlangıç noktasına olan uzaklığı \( |x| \) metre ile ifade edilmektedir. Eğer sporcu, başlangıç noktasından 150 metre uzaklaştığında, başlangıç noktasına olan uzaklığı 150 metre olur.
Şimdi, sporcunun konumunu \( x \) olarak belirttiğimizde, eğer \( |x - 50| = 70 \) denklemi sağlanıyorsa, sporcunun başlangıç noktasına (0 noktasına) olan olası uzaklıkları kaç metredir?
Şimdi, sporcunun konumunu \( x \) olarak belirttiğimizde, eğer \( |x - 50| = 70 \) denklemi sağlanıyorsa, sporcunun başlangıç noktasına (0 noktasına) olan olası uzaklıkları kaç metredir?
Çözüm:
Bu soruda, sporcunun konumunu ve başlangıç noktasına olan uzaklığını mutlak değer ile ifade ediyoruz.
Verilen denklemimiz: \( |x - 50| = 70 \)
Burada \( x \) sporcunun konumunu temsil ediyor. Bizden istenen, sporcunun başlangıç noktasına (0 noktasına) olan uzaklığıdır, yani \( |x| \) değerini bulmaktır.
Denklemi iki farklı durumda inceleyelim:
Durum 1: \( x - 50 = 70 \)
Her iki tarafa 50 ekleyelim:
\( x - 50 + 50 = 70 + 50 \)
\( x = 120 \)
Bu durumda sporcunun konumu 120 metredir. Başlangıç noktasına olan uzaklığı: \( |120| = 120 \) metre. ✅
Durum 2: \( x - 50 = -70 \)
Her iki tarafa 50 ekleyelim:
\( x - 50 + 50 = -70 + 50 \)
\( x = -20 \)
Bu durumda sporcunun konumu -20 metredir. Başlangıç noktasına olan uzaklığı: \( |-20| = 20 \) metre. 💡
Dolayısıyla, sporcunun başlangıç noktasına olan olası uzaklıkları 120 metre ve 20 metre'dir. 👉
Verilen denklemimiz: \( |x - 50| = 70 \)
Burada \( x \) sporcunun konumunu temsil ediyor. Bizden istenen, sporcunun başlangıç noktasına (0 noktasına) olan uzaklığıdır, yani \( |x| \) değerini bulmaktır.
Denklemi iki farklı durumda inceleyelim:
Durum 1: \( x - 50 = 70 \)
Her iki tarafa 50 ekleyelim:
\( x - 50 + 50 = 70 + 50 \)
\( x = 120 \)
Bu durumda sporcunun konumu 120 metredir. Başlangıç noktasına olan uzaklığı: \( |120| = 120 \) metre. ✅
Durum 2: \( x - 50 = -70 \)
Her iki tarafa 50 ekleyelim:
\( x - 50 + 50 = -70 + 50 \)
\( x = -20 \)
Bu durumda sporcunun konumu -20 metredir. Başlangıç noktasına olan uzaklığı: \( |-20| = 20 \) metre. 💡
Dolayısıyla, sporcunun başlangıç noktasına olan olası uzaklıkları 120 metre ve 20 metre'dir. 👉
Örnek 6:
Bir termometre, bir odanın sıcaklığını ölçmektedir. Sıcaklık değeri \( T \) derece Celsius olsun. Termometrenin gösterdiği değerin ideal sıcaklıktan sapması \( |T - 20| \) şeklinde ifade edilebilir. Eğer bu sapma 5 derece ise, yani \( |T - 20| = 5 \) ise, odanın olası sıcaklıkları kaç derece Celsius olabilir?
Çözüm:
Bu günlük hayat örneğinde, sıcaklık değerinin ideal değerden sapmasını mutlak değer ile ifade ediyoruz.
Verilen denklemimiz: \( |T - 20| = 5 \)
Burada \( T \) odanın sıcaklığını temsil ediyor. Bizden istenen, odanın olası sıcaklıklarını bulmaktır.
Denklemi iki farklı durumda inceleyelim:
Durum 1: Sıcaklık ideal değerden 5 derece fazladır.
\( T - 20 = 5 \)
Her iki tarafa 20 ekleyelim:
\( T - 20 + 20 = 5 + 20 \)
\( T = 25 \)
Bu durumda odanın sıcaklığı 25 derece Celsius olabilir. ✅
Durum 2: Sıcaklık ideal değerden 5 derece azdır.
\( T - 20 = -5 \)
Her iki tarafa 20 ekleyelim:
\( T - 20 + 20 = -5 + 20 \)
\( T = 15 \)
Bu durumda odanın sıcaklığı 15 derece Celsius olabilir. 💡
Dolayısıyla, odanın olası sıcaklıkları 25 derece Celsius ve 15 derece Celsius'tur. 👉
Verilen denklemimiz: \( |T - 20| = 5 \)
Burada \( T \) odanın sıcaklığını temsil ediyor. Bizden istenen, odanın olası sıcaklıklarını bulmaktır.
Denklemi iki farklı durumda inceleyelim:
Durum 1: Sıcaklık ideal değerden 5 derece fazladır.
\( T - 20 = 5 \)
Her iki tarafa 20 ekleyelim:
\( T - 20 + 20 = 5 + 20 \)
\( T = 25 \)
Bu durumda odanın sıcaklığı 25 derece Celsius olabilir. ✅
Durum 2: Sıcaklık ideal değerden 5 derece azdır.
\( T - 20 = -5 \)
Her iki tarafa 20 ekleyelim:
\( T - 20 + 20 = -5 + 20 \)
\( T = 15 \)
Bu durumda odanın sıcaklığı 15 derece Celsius olabilir. 💡
Dolayısıyla, odanın olası sıcaklıkları 25 derece Celsius ve 15 derece Celsius'tur. 👉
Örnek 7:
\( |x + 1| + |x - 2| = 5 \) denklemini sağlayan \( x \) değerlerini bulunuz.
Çözüm:
Bu tür denklemlerde, mutlak değerin içini sıfır yapan değerleri (kritik noktaları) bularak sayı doğrusunu aralıklara böleriz.
Kritik noktalar:
\( x + 1 = 0 \implies x = -1 \)
\( x - 2 = 0 \implies x = 2 \)
Bu kritik noktalar sayı doğrusunu üç aralığa böler:
Aralık 1: \( x < -1 \)
Bu aralıkta \( x + 1 \) negatiftir, \( x - 2 \) negatiftir.
Denklemimiz şöyle olur: \( -(x + 1) - (x - 2) = 5 \)
\( -x - 1 - x + 2 = 5 \)
\( -2x + 1 = 5 \)
\( -2x = 4 \)
\( x = -2 \)
Bulduğumuz \( x = -2 \) değeri, bu aralıkta (\( x < -1 \)) olduğu için bir çözümdür. ✅
Aralık 2: \( -1 \le x \le 2 \)
Bu aralıkta \( x + 1 \) pozitiftir (veya sıfır), \( x - 2 \) negatiftir (veya sıfır).
Denklemimiz şöyle olur: \( (x + 1) - (x - 2) = 5 \)
\( x + 1 - x + 2 = 5 \)
\( 3 = 5 \)
Bu bir çelişkidir, bu aralıkta çözüm yoktur. ❌
Aralık 3: \( x > 2 \)
Bu aralıkta \( x + 1 \) pozitiftir, \( x - 2 \) pozitiftir.
Denklemimiz şöyle olur: \( (x + 1) + (x - 2) = 5 \)
\( x + 1 + x - 2 = 5 \)
\( 2x - 1 = 5 \)
\( 2x = 6 \)
\( x = 3 \)
Bulduğumuz \( x = 3 \) değeri, bu aralıkta (\( x > 2 \)) olduğu için bir çözümdür. ✅
Sonuç olarak, denklemi sağlayan \( x \) değerleri -2 ve 3'tür. 💡
Kritik noktalar:
\( x + 1 = 0 \implies x = -1 \)
\( x - 2 = 0 \implies x = 2 \)
Bu kritik noktalar sayı doğrusunu üç aralığa böler:
Aralık 1: \( x < -1 \)
Bu aralıkta \( x + 1 \) negatiftir, \( x - 2 \) negatiftir.
Denklemimiz şöyle olur: \( -(x + 1) - (x - 2) = 5 \)
\( -x - 1 - x + 2 = 5 \)
\( -2x + 1 = 5 \)
\( -2x = 4 \)
\( x = -2 \)
Bulduğumuz \( x = -2 \) değeri, bu aralıkta (\( x < -1 \)) olduğu için bir çözümdür. ✅
Aralık 2: \( -1 \le x \le 2 \)
Bu aralıkta \( x + 1 \) pozitiftir (veya sıfır), \( x - 2 \) negatiftir (veya sıfır).
Denklemimiz şöyle olur: \( (x + 1) - (x - 2) = 5 \)
\( x + 1 - x + 2 = 5 \)
\( 3 = 5 \)
Bu bir çelişkidir, bu aralıkta çözüm yoktur. ❌
Aralık 3: \( x > 2 \)
Bu aralıkta \( x + 1 \) pozitiftir, \( x - 2 \) pozitiftir.
Denklemimiz şöyle olur: \( (x + 1) + (x - 2) = 5 \)
\( x + 1 + x - 2 = 5 \)
\( 2x - 1 = 5 \)
\( 2x = 6 \)
\( x = 3 \)
Bulduğumuz \( x = 3 \) değeri, bu aralıkta (\( x > 2 \)) olduğu için bir çözümdür. ✅
Sonuç olarak, denklemi sağlayan \( x \) değerleri -2 ve 3'tür. 💡
Örnek 8:
\( |3x - 6| = |x + 2| \) denklemini sağlayan \( x \) değerlerinin çarpımını bulunuz.
Çözüm:
İki mutlak değerli ifadenin eşitliği durumunda, içerideki ifadeler ya birbirine eşittir ya da biri diğerinin negatifine eşittir.
Yani, \( |a| = |b| \) ise \( a = b \) veya \( a = -b \) olur.
Durum 1: \( 3x - 6 = x + 2 \)
\( x \) terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:
\( 3x - x = 2 + 6 \)
\( 2x = 8 \)
Her iki tarafı 2'ye bölelim:
\( x = 4 \)
Bu durumda bir çözümümüz \( x = 4 \) olarak bulundu. ✅
Durum 2: \( 3x - 6 = -(x + 2) \)
Önce sağ tarafı dağıtalım:
\( 3x - 6 = -x - 2 \)
\( x \) terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:
\( 3x + x = -2 + 6 \)
\( 4x = 4 \)
Her iki tarafı 4'e bölelim:
\( x = 1 \)
Bu durumda diğer çözümümüz \( x = 1 \) olarak bulundu. 💡
Denklemi sağlayan \( x \) değerleri 4 ve 1'dir. Bu değerlerin çarpımı ise:
\( 4 \times 1 = 4 \)
Sonuç olarak, \( x \) değerlerinin çarpımı 4'tür. 👉
Yani, \( |a| = |b| \) ise \( a = b \) veya \( a = -b \) olur.
Durum 1: \( 3x - 6 = x + 2 \)
\( x \) terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:
\( 3x - x = 2 + 6 \)
\( 2x = 8 \)
Her iki tarafı 2'ye bölelim:
\( x = 4 \)
Bu durumda bir çözümümüz \( x = 4 \) olarak bulundu. ✅
Durum 2: \( 3x - 6 = -(x + 2) \)
Önce sağ tarafı dağıtalım:
\( 3x - 6 = -x - 2 \)
\( x \) terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:
\( 3x + x = -2 + 6 \)
\( 4x = 4 \)
Her iki tarafı 4'e bölelim:
\( x = 1 \)
Bu durumda diğer çözümümüz \( x = 1 \) olarak bulundu. 💡
Denklemi sağlayan \( x \) değerleri 4 ve 1'dir. Bu değerlerin çarpımı ise:
\( 4 \times 1 = 4 \)
Sonuç olarak, \( x \) değerlerinin çarpımı 4'tür. 👉
Örnek 9:
Bir banka ATM'si, müşterilerine belirli bir miktar para çekme limiti sunar. Müşterinin çekmek istediği para miktarı \( M \) TL olsun. ATM'nin belirlediği günlük çekim limiti 500 TL'dir. Eğer müşterinin çekmek istediği miktarın günlük limitten sapması \( |M - 500| \) TL ile ifade ediliyorsa ve bu sapma en fazla 200 TL olabiliyorsa, müşteri en az kaç TL ve en fazla kaç TL çekebilir?
Çözüm:
Bu soruda, çekmek istediğimiz para miktarının günlük limitten sapmasının bir üst sınırı olduğunu görüyoruz. Bu durumu bir eşitsizlik ile ifade edebiliriz.
Sapma en fazla 200 TL olabildiğine göre, bu şu anlama gelir:
\( |M - 500| \le 200 \)
Bu mutlak değerli eşitsizliği çözmek için, mutlak değerin içindeki ifadenin -200 ile +200 arasında olduğunu düşünebiliriz.
Yani:
\( -200 \le M - 500 \le 200 \)
Şimdi bu eşitsizliğin her tarafına 500 ekleyerek \( M \) için olası değer aralığını bulalım:
\( -200 + 500 \le M - 500 + 500 \le 200 + 500 \)
\( 300 \le M \le 700 \)
Bu sonuç bize, müşterinin çekebileceği para miktarının en az 300 TL ve en fazla 700 TL olduğunu gösterir. ✅
💡 Bu, ATM'nin hem güvenlik hem de müşteri memnuniyeti açısından esnek bir limit sunduğunu gösterir.
Sapma en fazla 200 TL olabildiğine göre, bu şu anlama gelir:
\( |M - 500| \le 200 \)
Bu mutlak değerli eşitsizliği çözmek için, mutlak değerin içindeki ifadenin -200 ile +200 arasında olduğunu düşünebiliriz.
Yani:
\( -200 \le M - 500 \le 200 \)
Şimdi bu eşitsizliğin her tarafına 500 ekleyerek \( M \) için olası değer aralığını bulalım:
\( -200 + 500 \le M - 500 + 500 \le 200 + 500 \)
\( 300 \le M \le 700 \)
Bu sonuç bize, müşterinin çekebileceği para miktarının en az 300 TL ve en fazla 700 TL olduğunu gösterir. ✅
💡 Bu, ATM'nin hem güvenlik hem de müşteri memnuniyeti açısından esnek bir limit sunduğunu gösterir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-mutlak-degerli-fonksiyon/sorular