🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Mutlak Değerli Denklemler Ve Eşitsizlikler İçeren Problemler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Mutlak Değerli Denklemler Ve Eşitsizlikler İçeren Problemler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir sayının mutlak değeri 7'ye eşittir. 💡 Bu sayının alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözüm:
Bu problemi çözmek için mutlak değerin tanımını kullanacağız. Bir sayının mutlak değeri, o sayının sıfıra olan uzaklığıdır ve daima pozitif veya sıfırdır.
📌 Yani, bu sayının alabileceği değerler toplamı 0'dır.
- 👉 Sayımız \(x\) olsun. Problemin ifadesine göre, \(|x| = 7\) denklemini kurarız.
- ✅ Mutlak değerin tanımı gereği, \(|x| = 7\) ise \(x\) ya 7'dir ya da -7'dir.
- Yani, \(x_1 = 7\) ve \(x_2 = -7\).
- Bu sayıların toplamını bulmak için \(7 + (-7)\) işlemini yaparız.
- Sonuç: \(7 - 7 = 0\).
📌 Yani, bu sayının alabileceği değerler toplamı 0'dır.
Örnek 2:
Bir depodaki su seviyesi ideal olarak 150 litre olmalıdır. 💧 Ancak, su seviyesi ideal seviyeden en fazla 5 litre farklılık gösterebilir. Depodaki su miktarının alabileceği değer aralığını mutlak değerli eşitsizlik kullanarak ifade ediniz.
Çözüm:
Bu problemde, depodaki su miktarının ideal seviyeden sapmasını mutlak değer ile modelleyeceğiz.
📌 Depodaki su miktarının alabileceği değer aralığı \( [145, 155] \)'tir.
- 👉 Depodaki su miktarı \(x\) litre olsun.
- İdeal su seviyesi 150 litredir.
- Su seviyesi ideal seviyeden en fazla 5 litre farklılık gösterebilir demek, su miktarının 150'ye olan uzaklığının en fazla 5 olması demektir.
- Bu durumu mutlak değerli eşitsizlik olarak şu şekilde yazarız: \(|x - 150| \le 5\).
- ✅ Bu eşitsizliği çözerek \(x\) değer aralığını bulalım:
\[ -5 \le x - 150 \le 5 \] - Her tarafa 150 ekleyerek \(x\)'i yalnız bırakırız:
\[ -5 + 150 \le x - 150 + 150 \le 5 + 150 \] - Bu da bize şu eşitsizliği verir:
\[ 145 \le x \le 155 \]
📌 Depodaki su miktarının alabileceği değer aralığı \( [145, 155] \)'tir.
Örnek 3:
\(|2x - 3| = 9\) denklemini sağlayan \(x\) değerlerinin çarpımı kaçtır? 🤔
Çözüm:
Mutlak değerli denklemleri çözerken, mutlak değerin içindeki ifadenin hem pozitif hem de negatif değerini göz önünde bulundururuz.
📌 \(x\) değerlerinin çarpımı -18'dir.
- 👉 Denklemimiz \(|2x - 3| = 9\).
- Bu denklemi iki ayrı durum olarak inceleriz:
- Durum 1: Mutlak değerin içindeki ifade pozitif veya sıfır ise
\[ 2x - 3 = 9 \] \[ 2x = 9 + 3 \] \[ 2x = 12 \] \[ x_1 = \frac{12}{2} \] \[ x_1 = 6 \] - Durum 2: Mutlak değerin içindeki ifade negatif ise
\[ 2x - 3 = -9 \] \[ 2x = -9 + 3 \] \[ 2x = -6 \] \[ x_2 = \frac{-6}{2} \] \[ x_2 = -3 \] - ✅ Denklemi sağlayan \(x\) değerleri 6 ve -3'tür.
- Bu değerlerin çarpımını bulalım: \(6 \times (-3) = -18\).
📌 \(x\) değerlerinin çarpımı -18'dir.
Örnek 4:
Bir öğrencinin günlük çözdüğü soru sayısı \(x\) ile gösterilmektedir. 📚 Öğrenci, hedeflediği 40 sorudan en az 10 soru farklı çözdüğü biliniyor. Bu durumu ifade eden mutlak değerli eşitsizliği yazıp, \(x\)'in alabileceği değer aralığını bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde, öğrencinin çözdüğü soru sayısının hedeften sapmasını mutlak değer ile modelleyeceğiz.
📌 \(x\)'in alabileceği değer aralığı \( (-\infty, 30] \cup [50, \infty) \)'dir.
- 👉 Öğrencinin çözdüğü soru sayısı \(x\) ve hedef 40 sorudur.
- "En az 10 soru farklı çözdüğü" ifadesi, çözdüğü soru sayısı ile hedef arasındaki farkın mutlak değerinin 10'a eşit veya 10'dan büyük olduğu anlamına gelir.
- Bu durumu mutlak değerli eşitsizlik olarak şu şekilde yazarız: \(|x - 40| \ge 10\).
- ✅ Bu eşitsizliği çözerek \(x\) değer aralığını bulalım. İki ayrı durum incelememiz gerekir:
- Durum 1: \(x - 40 \ge 10\)
\[ x \ge 10 + 40 \] \[ x \ge 50 \] - Durum 2: \(x - 40 \le -10\)
\[ x \le -10 + 40 \] \[ x \le 30 \] - Bu durumda, \(x\) 30'dan küçük veya eşit ya da 50'den büyük veya eşittir.
📌 \(x\)'in alabileceği değer aralığı \( (-\infty, 30] \cup [50, \infty) \)'dir.
Örnek 5:
Bir ilacın saklanması gereken sıcaklık aralığı \( 20^\circ\text{C} \) ile \( 25^\circ\text{C} \) arasındadır. 🌡️ Bu sıcaklık aralığını mutlak değerli eşitsizlik kullanarak ifade ediniz.
Çözüm:
Bu problemde, sıcaklık aralığını mutlak değerli eşitsizlik olarak ifade etmemiz gerekiyor. Önce aralığın orta noktasını ve genişliğini bulmalıyız.
📌 İlacın saklanması gereken sıcaklık aralığını ifade eden mutlak değerli eşitsizlik \( |x - 22.5| < 2.5 \)'tir.
- 👉 Verilen sıcaklık aralığı: \( 20^\circ\text{C} < x < 25^\circ\text{C} \).
- Bu aralığın orta noktasını bulalım. Orta nokta = \( \frac{20 + 25}{2} = \frac{45}{2} = 22.5 \).
- Aralığın genişliğinin yarısını (orta noktadan her bir uca olan uzaklığı) bulalım. Genişlik = \( 25 - 20 = 5 \). Yarısı = \( \frac{5}{2} = 2.5 \).
- ✅ Şimdi mutlak değerli eşitsizliği kurabiliriz. Sıcaklık \(x\)'in orta nokta olan 22.5'e olan uzaklığı, 2.5'ten küçük olmalıdır.
- Bu durumu şu şekilde yazarız:
\[ |x - 22.5| < 2.5 \]
📌 İlacın saklanması gereken sıcaklık aralığını ifade eden mutlak değerli eşitsizlik \( |x - 22.5| < 2.5 \)'tir.
Örnek 6:
Bir telefon üreticisi, yeni modelinin ekran boyutunu 6.5 inç olarak belirlemiştir. 📱 Ancak üretimdeki tolerans nedeniyle ekran boyutu, belirlenen değerden en fazla 0.2 inç farklılık gösterebilir. Buna göre, bu telefonun ekran boyutunun alabileceği değer aralığını mutlak değerli eşitsizlik ile gösteriniz ve bu aralığı bulunuz.
Çözüm:
Bu "Yeni Nesil" problemde, bir üretim toleransı durumunu mutlak değer ile ifade etmemiz isteniyor.
📌 Telefonun ekran boyutunun alabileceği değer aralığı \( [6.3, 6.7] \) inçtir.
- 👉 Telefonun ekran boyutu \(x\) inç olsun.
- Hedeflenen ekran boyutu 6.5 inçtir.
- Üretimdeki tolerans nedeniyle ekran boyutu, belirlenen değerden en fazla 0.2 inç farklılık gösterebilir. Bu, ekran boyutunun 6.5'e olan uzaklığının en fazla 0.2 olması demektir.
- Bu durumu mutlak değerli eşitsizlik olarak şu şekilde yazarız: \(|x - 6.5| \le 0.2\).
- ✅ Bu eşitsizliği çözerek \(x\) değer aralığını bulalım:
\[ -0.2 \le x - 6.5 \le 0.2 \] - Her tarafa 6.5 ekleyerek \(x\)'i yalnız bırakırız:
\[ -0.2 + 6.5 \le x - 6.5 + 6.5 \le 0.2 + 6.5 \] - Bu da bize şu eşitsizliği verir:
\[ 6.3 \le x \le 6.7 \]
📌 Telefonun ekran boyutunun alabileceği değer aralığı \( [6.3, 6.7] \) inçtir.
Örnek 7:
Bir kargo şirketi, gönderilen paketlerin ağırlığının \( 5 \text{ kg} \) olmasını hedeflemektedir. 📦 Ancak, paket ağırlığı \( 5 \text{ kg} \)'dan farklı olmak üzere, en fazla \( 1 \text{ kg} \) sapma gösterebilir. Paket ağırlığının alabileceği değer aralığını mutlak değerli eşitsizlik kullanarak ifade ediniz.
Çözüm:
Bu günlük hayattan örnekte, bir kargo paketinin ağırlık toleransını mutlak değer ile modelleyeceğiz.
📌 Paket ağırlığının alabileceği değer aralığı \( [4, 5) \cup (5, 6] \) kg'dır.
- 👉 Paketin ağırlığı \(x\) kg olsun.
- Hedeflenen ağırlık 5 kg'dır.
- Ağırlık, 5 kg'dan farklı olmak üzere, en fazla 1 kg sapma gösterebilir. Bu ifade, ağırlığın 5'e olan uzaklığının 1'e eşit veya 1'den küçük olması, ancak 0 olmaması anlamına gelir (çünkü "farklı olmak üzere" deniyor).
- Bu durumu mutlak değerli eşitsizlik olarak şu şekilde yazarız: \(0 < |x - 5| \le 1\).
- ✅ Bu eşitsizliği çözerek \(x\) değer aralığını bulalım. İki bölüm halinde inceleyebiliriz:
- Bölüm 1: \(|x - 5| \le 1\)
\[ -1 \le x - 5 \le 1 \] \[ -1 + 5 \le x \le 1 + 5 \] \[ 4 \le x \le 6 \] - Bölüm 2: \(|x - 5| > 0\)
Bu durum, \(x - 5 \ne 0\) yani \(x \ne 5\) anlamına gelir. - Her iki durumu birleştirirsek, \(x\) 4 ile 6 arasında olabilir, ancak 5 olamaz.
📌 Paket ağırlığının alabileceği değer aralığı \( [4, 5) \cup (5, 6] \) kg'dır.
Örnek 8:
\(|3x + 6| = |x - 2|\) denklemini sağlayan \(x\) değerlerinin toplamı kaçtır? ➕
Çözüm:
İki mutlak değerli ifade birbirine eşit olduğunda, içlerindeki ifadeler ya birbirine eşittir ya da biri diğerinin ters işaretlisine eşittir.
📌 \(x\) değerlerinin toplamı -5'tir.
- 👉 Denklemimiz \(|3x + 6| = |x - 2|\).
- Bu denklemi iki ayrı durum olarak inceleriz:
- Durum 1: Mutlak değerin içindeki ifadeler birbirine eşit ise
\[ 3x + 6 = x - 2 \] \[ 3x - x = -2 - 6 \] \[ 2x = -8 \] \[ x_1 = \frac{-8}{2} \] \[ x_1 = -4 \] - Durum 2: Mutlak değerin içindeki ifadelerden biri diğerinin ters işaretlisine eşit ise
\[ 3x + 6 = -(x - 2) \] \[ 3x + 6 = -x + 2 \] \[ 3x + x = 2 - 6 \] \[ 4x = -4 \] \[ x_2 = \frac{-4}{4} \] \[ x_2 = -1 \] - ✅ Denklemi sağlayan \(x\) değerleri -4 ve -1'dir.
- Bu değerlerin toplamını bulalım: \(-4 + (-1) = -5\).
📌 \(x\) değerlerinin toplamı -5'tir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-mutlak-degerli-denklemler-ve-esitsizlikler-iceren-problemler/sorular