💡 9. Sınıf Matematik: Mutlak Değer Çözümlü Örnekler

Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusu üzerindeki başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığını ifade eder. Uzaklık asla negatif olamayacağı için, mutlak değerin sonucu daima pozitif veya sıfırdır. 💡

İşte çözümlerimiz:

• 👉 \( |-5| \):

  Sayı doğrusunda -5 sayısının 0'a olan uzaklığı 5 birimdir. Bu yüzden:

  \[ |-5| = 5 \]
• 👉 \( |7| \):

  Sayı doğrusunda 7 sayısının 0'a olan uzaklığı 7 birimdir. Bu yüzden:

  \[ |7| = 7 \]
• 👉 \( |0| \):

  Sayı doğrusunda 0 sayısının 0'a olan uzaklığı 0 birimdir. Bu yüzden:

  \[ |0| = 0 \]
• 👉 \( |3 - 8| \):

  Önce mutlak değerin içindeki işlemi yapmalıyız:

  \[ |3 - 8| = |-5| \]

  Şimdi -5'in mutlak değerini alalım:

  \[ |-5| = 5 \]

✅ Unutma: Mutlak değerin içi negatif de olsa, pozitif de olsa sonuç asla negatif olmaz!

Mutlak değerin içindeki ifadenin işaretine dikkat etmeliyiz. Eğer içindeki ifade negatifse, mutlak değer dışına çıkarken önüne eksi işareti alarak pozitifleşir. Eğer pozitifse, olduğu gibi çıkar. 📌

\( x < 0 \) olduğunu biliyoruz. Şimdi ifadeleri inceleyelim:

• 👉 \( |x| \):

  \( x \) negatif bir sayı olduğu için, mutlak değer dışına çıkarken önüne eksi işareti alır:

  \[ |x| = -x \]

  Örneğin, \( x = -2 \) ise \( |-2| = -(-2) = 2 \).

• 👉 \( |-x| \):

  \( x \) negatif bir sayı olduğundan, \( -x \) pozitif bir sayıdır (örneğin, \( x = -2 \) ise \( -x = 2 \)). Pozitif bir sayı mutlak değerden olduğu gibi çıkar:

  \[ |-x| = -x \]
• 👉 \( |2x| \):

  \( x \) negatif olduğu için, \( 2x \) de negatif bir sayıdır. Negatif olduğu için önüne eksi işareti alarak çıkar:

  \[ |2x| = -(2x) = -2x \]
• 👉 \( |x - 3| \):

  \( x \) negatif bir sayı olduğundan (örneğin \( x = -1 \)), \( x - 3 \) ifadesi de negatif olacaktır (örneğin \( -1 - 3 = -4 \)). İçerisi negatif olduğu için önüne eksi işareti alarak çıkar:

  \[ |x - 3| = -(x - 3) = -x + 3 \]

✅ Önemli Not: Mutlak değerin içindeki ifadeyi her zaman önce işaretine göre değerlendir!

Bu tür sorularda, mutlak değerin içindeki ifadelerin işaretlerini belirlemek çok önemlidir. 💡 Bunun için kareköklü sayıların yaklaşık değerlerini düşünelim.

\( \sqrt{9} = 3 \) ve \( \sqrt{16} = 4 \) olduğunu biliyoruz. Bu durumda \( \sqrt{10} \), 3 ile 4 arasında bir sayıdır (yaklaşık 3.16).

Şimdi mutlak değerlerin içindeki ifadelerin işaretlerini inceleyelim:

• 👉 \( 4 - \sqrt{10} \):

  \( 4 \) sayısı \( \sqrt{16} \) olarak düşünülebilir. \( \sqrt{16} - \sqrt{10} \) ifadesi pozitif olacaktır çünkü \( \sqrt{16} > \sqrt{10} \). Bu yüzden \( |4 - \sqrt{10}| \) olduğu gibi dışarı çıkar:

  \[ |4 - \sqrt{10}| = 4 - \sqrt{10} \]
• 👉 \( \sqrt{10} - 3 \):

  \( 3 \) sayısı \( \sqrt{9} \) olarak düşünülebilir. \( \sqrt{10} - \sqrt{9} \) ifadesi pozitif olacaktır çünkü \( \sqrt{10} > \sqrt{9} \). Bu yüzden \( |\sqrt{10} - 3| \) olduğu gibi dışarı çıkar:

  \[ |\sqrt{10} - 3| = \sqrt{10} - 3 \]

Şimdi bu iki ifadeyi toplayalım: \[ (4 - \sqrt{10}) + (\sqrt{10} - 3) \] \[ 4 - \sqrt{10} + \sqrt{10} - 3 \] \[ 4 - 3 \] \[ 1 \] ✅ İşlemin sonucu \( 1 \) olarak bulunur.

Mutlak değerin tanımına göre, bir sayının mutlak değeri, o sayının sıfıra olan uzaklığıdır. Bu uzaklık 6 birim ise, sayı sıfırın 6 birim sağında veya 6 birim solunda olabilir. 📏

Bu durumda, \( x \) ya 6'ya eşittir ya da -6'ya eşittir.

• 👉 Birinci durum: Mutlak değerin içi pozitif ise: \[ x = 6 \]
• 👉 İkinci durum: Mutlak değerin içi negatif ise: \[ x = -6 \]

O halde, denklemin çözüm kümesi \( \{ -6, 6 \} \) dir.
✅ Çözüm kümesi: \( \{ -6, 6 \} \)

Mutlak değerli denklemlerde, mutlak değerin içindeki ifade pozitif veya negatif olabilir. Her iki durumu da ayrı ayrı incelemeliyiz. 📝

Mutlak değerin sonucu 10 olduğuna göre, \( 2x - 4 \) ifadesi ya 10'a ya da -10'a eşit olmalıdır.

• 👉 Birinci durum: \( 2x - 4 \) pozitif veya sıfır ise

  İfade olduğu gibi dışarı çıkar ve 10'a eşitlenir:

  \[ 2x - 4 = 10 \]

  Denklemi çözelim:

  \[ 2x = 10 + 4 \] \[ 2x = 14 \] \[ x = \frac{14}{2} \] \[ x = 7 \]
• 👉 İkinci durum: \( 2x - 4 \) negatif ise

  İfade dışarı çıkarken önüne eksi işareti alır ve 10'a eşitlenir:

  \[ -(2x - 4) = 10 \] \[ -2x + 4 = 10 \]

  Denklemi çözelim:

  \[ -2x = 10 - 4 \] \[ -2x = 6 \] \[ x = \frac{6}{-2} \] \[ x = -3 \]

Bulduğumuz \( x \) değerleri 7 ve -3'tür. Bu değerleri orijinal denklemde yerine koyarak kontrol edebiliriz:

• \( x = 7 \) için: \( |2(7) - 4| = |14 - 4| = |10| = 10 \) (Doğru)
• \( x = -3 \) için: \( |2(-3) - 4| = |-6 - 4| = |-10| = 10 \) (Doğru)

O halde, denklemin çözüm kümesi \( \{ -3, 7 \} \) dir.
✅ Çözüm kümesi: \( \{ -3, 7 \} \)

İki mutlak değerli ifadenin eşit olduğu durumlarda, ifadeler ya birbirine eşittir ya da biri diğerinin ters işaretlisine eşittir. Bu iki durumu ayrı ayrı incelemeliyiz. ✌️

Yani, \( A = B \) veya \( A = -B \) olacaktır.

• 👉 Birinci durum: \( 3x - 1 = x + 5 \)

  Denklemi çözelim:

  \[ 3x - x = 5 + 1 \] \[ 2x = 6 \] \[ x = \frac{6}{2} \] \[ x = 3 \]
• 👉 İkinci durum: \( 3x - 1 = -(x + 5) \)

  Denklemi çözelim:

  \[ 3x - 1 = -x - 5 \] \[ 3x + x = -5 + 1 \] \[ 4x = -4 \] \[ x = \frac{-4}{4} \] \[ x = -1 \]

Bulduğumuz \( x \) değerleri 3 ve -1'dir. Bu değerleri orijinal denklemde yerine koyarak kontrol edebiliriz:

• \( x = 3 \) için: \( |3(3) - 1| = |9 - 1| = |8| = 8 \) ve \( |3 + 5| = |8| = 8 \) (Eşitlik sağlanır)
• \( x = -1 \) için: \( |3(-1) - 1| = |-3 - 1| = |-4| = 4 \) ve \( |-1 + 5| = |4| = 4 \) (Eşitlik sağlanır)

O halde, denklemin çözüm kümesi \( \{ -1, 3 \} \) dir.
✅ Çözüm kümesi: \( \{ -1, 3 \} \)

Bu problemi mutlak değer kullanarak ifade edebiliriz. 🔢

• 👉 Adım 1: Noktaları ve uzaklıkları tanımlayalım.

  Aradığımız tam sayı noktasına \( x \) diyelim.

  A noktası \( -7 \), B noktası \( 5 \).

  \( x \)'in A noktasına olan uzaklığı \( |x - (-7)| = |x + 7| \).

  \( x \)'in B noktasına olan uzaklığı \( |x - 5| \).

• 👉 Adım 2: Denklemi kuralım.

  Uzaklıkların toplamı 20 birim olduğuna göre:

  \[ |x + 7| + |x - 5| = 20 \]
• 👉 Adım 3: Kritik noktaları belirleyelim ve aralıkları inceleyelim.

  Kritik noktalar mutlak değerin içini sıfır yapan değerlerdir: \( x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7 \) ve \( x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 \).

  Bu noktalar sayı doğrusunu üç aralığa ayırır: \( x < -7 \), \( -7 \le x \le 5 \), \( x > 5 \).

  
  

  Durum 1: \( x < -7 \)

  Bu aralıkta \( x + 7 \) negatif ve \( x - 5 \) negatiftir. Her ikisi de önüne eksi alarak çıkar:

  \[ -(x + 7) + -(x - 5) = 20 \] \[ -x - 7 - x + 5 = 20 \] \[ -2x - 2 = 20 \] \[ -2x = 22 \] \[ x = -11 \]

  \( x = -11 \), \( x < -7 \) koşulunu sağlar. Bu bir çözümdür.

  
  

  Durum 2: \( -7 \le x \le 5 \)

  Bu aralıkta \( x + 7 \) pozitif veya sıfır, \( x - 5 \) negatif veya sıfırdır:

  \[ (x + 7) + -(x - 5) = 20 \] \[ x + 7 - x + 5 = 20 \] \[ 12 = 20 \]

  Bu durum yanlıştır (\( 12 \ne 20 \)). Dolayısıyla bu aralıkta çözüm yoktur.

  Bu durumun fiziksel anlamı şudur: A ve B noktaları arasındaki herhangi bir noktanın A'ya ve B'ye olan uzaklıkları toplamı, A ile B arasındaki uzaklığa eşittir. A ile B arasındaki uzaklık \( |5 - (-7)| = |12| = 12 \) birimdir. Biz toplam uzaklığın 20 olmasını istediğimiz için bu aralıkta çözüm bulunmaz.

  
  

  Durum 3: \( x > 5 \)

  Bu aralıkta \( x + 7 \) pozitif ve \( x - 5 \) pozitiftir. Her ikisi de olduğu gibi çıkar:

  \[ (x + 7) + (x - 5) = 20 \] \[ 2x + 2 = 20 \] \[ 2x = 18 \] \[ x = 9 \]

  \( x = 9 \), \( x > 5 \) koşulunu sağlar. Bu bir çözümdür.

• 👉 Adım 4: Sonucu belirleyelim.

  Bulduğumuz tam sayı noktaları \( x = -11 \) ve \( x = 9 \) olmak üzere 2 tanedir.

✅ Çözüm kümesi: \( \{ -11, 9 \} \). Yani 2 tane tam sayı noktası vardır.

Bu senaryo, günlük hayatta tolerans veya hata payı olarak karşımıza çıkan durumları mutlak değerle ifade etmenin güzel bir örneğidir. 🎯

• 👉 Adım 1: Değişkeni ve hedef değeri belirleyelim.

  Üretilen bir tabletin ağırlığına \( A \) (mg) diyelim.

  Hedeflenen ağırlık \( 500 \) mg'dır.

• 👉 Adım 2: Sapmayı mutlak değerle ifade edelim.

  Sapma, gerçek ağırlık \( A \) ile hedeflenen ağırlık \( 500 \) arasındaki farktır. Bu farkın yönü önemli değildir, sadece büyüklüğü önemlidir (yani "ne kadar saptığı"). Bu yüzden mutlak değer kullanırız: \( |A - 500| \).

  Kabul edilebilir en fazla sapma \( 10 \) mg olduğuna göre, bu durumu bir eşitsizlikle ifade edebiliriz:

  \[ |A - 500| \le 10 \]

  Bu ifade, tablet ağırlığı ile 500 mg arasındaki farkın mutlak değerinin en fazla 10 mg olabileceğini gösterir.

• 👉 Adım 3: Kabul edilebilir ağırlık aralığını bulalım.

  Mutlak değerli eşitsizliği çözelim:

  Eğer \( |x| \le k \) ise \( -k \le x \le k \) olduğunu biliyoruz. Buna göre:

  \[ -10 \le A - 500 \le 10 \]

  Her tarafa \( 500 \) ekleyerek \( A \)'yı yalnız bırakalım:

  \[ -10 + 500 \le A - 500 + 500 \le 10 + 500 \] \[ 490 \le A \le 510 \]

Bu durumda, kabul edilebilir ağırlık aralığı \( [490, 510] \) mg'dır.

Kabul edilebilir en hafif tablet ağırlığı \( 490 \) mg, en ağır tablet ağırlığı ise \( 510 \) mg'dır.

✅ Mutlak değer, mühendislikte, kalibrasyonda ve birçok alanda hata paylarını veya toleransları belirtmek için sıkça kullanılır!