📄 9. Sınıf Matematik: Mutlak Değer Ve Özdeşlikler Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bu tür denklemleri çözmek için mutlak değerin içini sıfır yapan değerlere göre aralıklar oluştururuz. \(x-1=0 \Rightarrow x=1\) ve \(x+2=0 \Rightarrow x=-2\). Bu değerler sayı doğrusunu üç bölgeye ayırır: \(x < -2\), \(-2 \le x < 1\), \(x \ge 1\).



1. Aralık: \(x < -2\) ise, \(x-1 < 0\) ve \(x+2 < 0\) olur. Denklem: \(-(x-1) - (x+2) = 5\) \(\Rightarrow -x+1 -x-2 = 5\) \(\Rightarrow -2x - 1 = 5\) \(\Rightarrow -2x = 6\) \(\Rightarrow x = -3\). \(x = -3\) değeri \(x < -2\) koşulunu sağladığı için bir çözümdür.



2. Aralık: \(-2 \le x < 1\) ise, \(x-1 < 0\) ve \(x+2 \ge 0\) olur. Denklem: \(-(x-1) + (x+2) = 5\) \(\Rightarrow -x+1 + x+2 = 5\) \(\Rightarrow 3 = 5\). Bu bir çelişkidir, bu aralıkta çözüm yoktur.



3. Aralık: \(x \ge 1\) ise, \(x-1 \ge 0\) ve \(x+2 > 0\) olur. Denklem: \((x-1) + (x+2) = 5\) \(\Rightarrow 2x + 1 = 5\) \(\Rightarrow 2x = 4\) \(\Rightarrow x = 2\). \(x = 2\) değeri \(x \ge 1\) koşulunu sağladığı için bir çözümdür.



Sonuç olarak, denklemi sağlayan x tam sayı değerleri \(-3\) ve \(2\)'dir.

💡 Çözüm Adımları:

Mutlak değerin başlıca özellikleri şunlardır:



1. Negatif olmama özelliği: Herhangi bir gerçel sayının mutlak değeri daima sıfır veya pozitiftir.

* Örnek: \(|-7| = 7\), \(|5| = 5\), \(|0| = 0\). Yani \(|x| \ge 0\) dır.



2. Eşit uzaklık özelliği: Bir sayının mutlak değeri, o sayının toplama işlemine göre tersinin mutlak değerine eşittir.

* Örnek: \(|-9| = 9\) ve \(|9| = 9\). Yani \(|x| = |-x|\) dir.



3. Çarpma özelliği: İki gerçel sayının çarpımının mutlak değeri, mutlak değerlerinin çarpımına eşittir.

* Örnek: \(|(-3) \times 4| = |-12| = 12\) ve \(|-3| \times |4| = 3 \times 4 = 12\). Yani \(|x \cdot y| = |x| \cdot |y|\) dir.



4. Bölme özelliği: Sıfırdan farklı bir gerçel sayıya bölümünün mutlak değeri, mutlak değerlerinin bölümüne eşittir.

* Örnek: \(|\frac{10}{-2}| = |-5| = 5\) ve \(|10| \div |-2| = 10 \div 2 = 5\). Yani \(|\frac{x}{y}| = \frac{|x|}{|y|}\) (y ≠ 0 için) dir.



5. Üçgen eşitsizliği: İki gerçel sayının toplamının mutlak değeri, mutlak değerlerinin toplamından küçük veya eşittir.

* Örnek: \(|3 + (-5)| = |-2| = 2\) ve \(|3| + |-5| = 3 + 5 = 8\). \(2 \le 8\) dir. Yani \(|x+y| \le |x| + |y|\) dir.



6. Mutlak değer denklemleri: \(|x| = a\) ise \(a \ge 0\) olmak üzere \(x = a\) veya \(x = -a\) dır.

💡 Çözüm Adımları:

Verilen bilgiye göre \(a\) negatif bir sayıdır ve \(b\) pozitif bir sayıdır.



1. \(|a|\) ifadesi: \(a\) negatif olduğu için, mutlak değer tanımına göre \(|a| = -a\) olur.



2. \(|b|\) ifadesi: \(b\) pozitif olduğu için, mutlak değer tanımına göre \(|b| = b\) olur.



3. \(|a-b|\) ifadesi: \(a\) negatif ve \(b\) pozitif olduğundan, \(a-b\) ifadesi kesinlikle negatif olacaktır (negatif bir sayıdan pozitif bir sayıyı çıkarmak daha da negatif yapar).

Örneğin, \(a = -3\) ve \(b = 2\) ise, \(a-b = -3 - 2 = -5\) olur.

\(a-b\) negatif olduğu için, mutlak değer tanımına göre \(|a-b| = -(a-b)\) olur.

\(-(a-b) = -a + b\) şeklinde açılır.



Şimdi bu bulduğumuz ifadeleri sorulan toplamda yerine koyalım:

\(|a| + |b| + |a-b| = (-a) + (b) + (-a + b)\)



İfadeyi düzenlersek:

\(-a + b - a + b = -2a + 2b\)



Bu ifadeyi \(2(b-a)\) şeklinde de yazabiliriz.



Sonuç olarak, \(a < 0 < b\) koşulu altında \(|a| + |b| + |a-b| = 2b - 2a\) veya \(2(b-a)\) olur.