🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Mutlak Değer Fonksiyonları Ve Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Mutlak Değer Fonksiyonları Ve Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusu üzerindeki başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığıdır. Bu uzaklık asla negatif olamaz. Örneğin, 5'in mutlak değeri 5'tir çünkü 0'a 5 birim uzaklıktadır. Peki, -5'in mutlak değeri nedir? 🤔
Çözüm:
- Mutlak değer, sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder.
- Uzaklık her zaman pozitif veya sıfırdır.
- Bu nedenle, -5'in 0'a olan uzaklığı da 5 birimdir.
- Yani, \( |-5| = 5 \) olur. ✅
Örnek 2:
\( |x| = 7 \) denklemini sağlayan \( x \) değerlerini bulunuz. 💡
Çözüm:
- Mutlak değerin tanımına göre, \( |x| = 7 \) demek, \( x \) sayısının 0'a olan uzaklığının 7 birim olması demektir.
- Sayı doğrusunda 0'a 7 birim uzaklıkta hem pozitif hem de negatif yönde sayılar bulunur.
- Bu sayılar \( x = 7 \) ve \( x = -7 \) 'dir.
- Dolayısıyla, denklemin çözüm kümesi \( \{7, -7\} \) 'dir. 👉
Örnek 3:
\( |3x - 6| = 9 \) denklemini sağlayan \( x \) değerlerini bulunuz. ➕
Çözüm:
- Bu tür denklemlerde, mutlak değerin içindeki ifade iki farklı duruma göre incelenir:
- Durum 1: Mutlak değerin içi pozitif veya sıfır ise: \( 3x - 6 = 9 \)
- Bu denklemi çözersek: \( 3x = 15 \Rightarrow x = 5 \)
- Durum 2: Mutlak değerin içi negatif ise: \( 3x - 6 = -9 \)
- Bu denklemi çözersek: \( 3x = -3 \Rightarrow x = -1 \)
- Denklemi sağlayan \( x \) değerleri 5 ve -1'dir. ✅
Örnek 4:
\( |a - 2| = |2a - 7| \) denklemini sağlayan \( a \) değerlerini bulunuz. ⚖️
Çözüm:
- İki mutlak değerin eşit olduğu durumlarda, içlerinin ya birbirine eşit ya da birbirinin negatifi olması gerekir.
- Durum 1: \( a - 2 = 2a - 7 \)
- Bu denklemi çözersek: \( -2 + 7 = 2a - a \Rightarrow 5 = a \)
- Durum 2: \( a - 2 = -(2a - 7) \)
- Bu denklemi çözersek: \( a - 2 = -2a + 7 \Rightarrow a + 2a = 7 + 2 \Rightarrow 3a = 9 \Rightarrow a = 3 \)
- Denklemi sağlayan \( a \) değerleri 5 ve 3'tür. 👉
Örnek 5:
Bir fabrikada üretilen bir parçanın uzunluğunun standart ölçüsü 10 cm'dir. Üretim sırasında parçanın uzunluğunda meydana gelen hata, \( |x - 10| \le 0.5 \) eşitsizliği ile ifade edilmektedir. Buna göre, üretilen parçaların uzunlukları hangi aralıkta olabilir? 📏
Çözüm:
- Eşitsizlik \( |x - 10| \le 0.5 \) bize, parça uzunluğu \( x \)'in 10 cm'den en fazla 0.5 cm sapabileceğini söyler.
- Bu eşitsizliği mutlak değerin tanımına göre iki parçaya ayırabiliriz:
- Durum 1: \( x - 10 \le 0.5 \)
- Buradan \( x \le 10.5 \) elde ederiz.
- Durum 2: \( x - 10 \ge -0.5 \) (Çünkü mutlak değerin içi negatif olduğunda ters çevrilir.)
- Buradan \( x \ge 9.5 \) elde ederiz.
- Her iki durumu birleştirdiğimizde, üretilen parçaların uzunlukları \( 9.5 \le x \le 10.5 \) aralığında olmalıdır. ✅
Örnek 6:
Hava durumu tahminlerinde sıcaklık verilirken bazen "yaklaşık değerler" kullanılır. Örneğin, "Yarınki en yüksek sıcaklık 25 derece civarında olacak" denildiğinde, bu genellikle bir hata payını ifade eder. Eğer bu hata payı \( \pm 2 \) derece ise, yarınki en yüksek sıcaklığın olabileceği değer aralığını mutlak değer kullanarak ifade edebilir miyiz? 🌡️
Çözüm:
- Sıcaklık değeri \( T \) olsun.
- Standart sıcaklık 25 derece.
- Hata payı \( \pm 2 \) derece.
- Bu durumu mutlak değer ile şöyle ifade edebiliriz: \( |T - 25| \le 2 \)
- Bu eşitsizlik, sıcaklık \( T \)'nin 25'ten farkının mutlak değerinin en fazla 2 olabileceğini gösterir.
- Yani, sıcaklık \( 25 - 2 \le T \le 25 + 2 \) aralığında, yani \( 23 \le T \le 27 \) derece arasında olabilir. 💡
Örnek 7:
\( |x + 1| + |x - 2| = 5 \) denklemini sağlayan \( x \) değerlerini bulunuz. 🧩
Çözüm:
- Bu tür denklemlerde, mutlak değerin içini sıfır yapan değerler kritik noktalardır. Bu noktalar \( x = -1 \) ve \( x = 2 \)'dir. Bu noktalar sayı doğrusunu üç bölgeye ayırır:
- Bölge 1: \( x < -1 \)
- Bu bölgede \( x + 1 < 0 \) ve \( x - 2 < 0 \) olur. Denklem: \( -(x + 1) - (x - 2) = 5 \)
- \( -x - 1 - x + 2 = 5 \Rightarrow -2x + 1 = 5 \Rightarrow -2x = 4 \Rightarrow x = -2 \). \( x = -2 \) bu bölgede olduğu için bir çözümdür. ✅
- Bölge 2: \( -1 \le x < 2 \)
- Bu bölgede \( x + 1 \ge 0 \) ve \( x - 2 < 0 \) olur. Denklem: \( (x + 1) - (x - 2) = 5 \)
- \( x + 1 - x + 2 = 5 \Rightarrow 3 = 5 \). Bu bir çelişkidir, bu bölgede çözüm yoktur. ❌
- Bölge 3: \( x \ge 2 \)
- Bu bölgede \( x + 1 > 0 \) ve \( x - 2 \ge 0 \) olur. Denklem: \( (x + 1) + (x - 2) = 5 \)
- \( x + 1 + x - 2 = 5 \Rightarrow 2x - 1 = 5 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3 \). \( x = 3 \) bu bölgede olduğu için bir çözümdür. ✅
- Denklemi sağlayan \( x \) değerleri -2 ve 3'tür. 👉
Örnek 8:
Bir satranç turnuvasında oyuncuların puanları hesaplanmaktadır. Bir oyuncunun aldığı puan, standart puan olan 50'den ne kadar farklılaştığı mutlak değer ile gösteriliyor. Eğer oyuncunun aldığı puanın standart puandan farkı en fazla 10 ise, bu oyuncunun alabileceği minimum ve maksimum puanları bulunuz. ♟️
Çözüm:
- Oyuncunun aldığı puan \( P \) olsun.
- Standart puan 50.
- Farkın mutlak değeri en fazla 10.
- Bu durumu mutlak değer eşitsizliği ile ifade edelim: \( |P - 50| \le 10 \)
- Bu eşitsizliği çözersek:
- Durum 1: \( P - 50 \le 10 \Rightarrow P \le 60 \)
- Durum 2: \( P - 50 \ge -10 \Rightarrow P \ge 40 \)
- Her iki durumu birleştirdiğimizde, oyuncunun alabileceği puan aralığı \( 40 \le P \le 60 \) olur.
- Yani, oyuncunun alabileceği minimum puan 40 ve maksimum puan 60'tır. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-mutlak-deger-fonksiyonlari-ve-nitel-ozellikleri/sorular