💡 9. Sınıf Matematik: Mutlak Değer Eşitsizlikler Ve Fonksiyonları Çözümlü Örnekler

Mutlak değerin tanımına göre, bir sayının mutlak değeri kendisi veya eksilisi olabilir.

• 👉 Eğer \( x - 3 \) pozitifse veya sıfırsa:
  \( x - 3 = 5 \)
  \( x = 5 + 3 \)
  \( x = 8 \)
• 👉 Eğer \( x - 3 \) negatifse:
  \( -(x - 3) = 5 \)
  \( -x + 3 = 5 \)
  \( -x = 5 - 3 \)
  \( -x = 2 \)
  \( x = -2 \)

Bu durumda, denklemi sağlayan iki farklı \( x \) değeri bulduk.

Çözüm Kümesi: \( \{ -2, 8 \} \)

Bir \( |a| < b \) eşitsizliği, \( -b < a < b \) şeklinde yazılabilir. Bu bilgi ışığında:

• 👉 Eşitsizliği açalım:
  \( -4 < x - 2 < 4 \)
• 👉 Her tarafa \( +2 \) ekleyelim (eşitsizliğin yönü değişmez):
  \( -4 + 2 < x - 2 + 2 < 4 + 2 \)
  \( -2 < x < 6 \)

Bu aralıktaki tüm \( x \) değerleri eşitsizliği sağlar.

Çözüm Kümesi: \( (-2, 6) \)

Bir \( |a| \ge b \) eşitsizliği, \( a \ge b \) veya \( a \le -b \) şeklinde çözülür. Buna göre:

• 👉 Birinci Durum: \( 2x + 1 \ge 7 \)
  \( 2x \ge 7 - 1 \)
  \( 2x \ge 6 \)
  \( x \ge 3 \)
• 👉 İkinci Durum: \( 2x + 1 \le -7 \)
  \( 2x \le -7 - 1 \)
  \( 2x \le -8 \)
  \( x \le -4 \)

Çözüm kümesi, bu iki durumun birleşimi olacaktır.

Çözüm Kümesi: \( (-\infty, -4] \cup [3, \infty) \)

Bu eşitsizlik aslında iki ayrı mutlak değer eşitsizliğinin kesişimidir:

1. Birinci Eşitsizlik: \( |x + 1| > 3 \)
2. İkinci Eşitsizlik: \( |x + 1| \le 5 \)

Şimdi her birini ayrı ayrı çözelim:

• 👉 \( |x + 1| > 3 \) için:
  \( x + 1 > 3 \) veya \( x + 1 < -3 \)
  \( x > 2 \) veya \( x < -4 \)
  Bu aralık: \( (-\infty, -4) \cup (2, \infty) \)
• 👉 \( |x + 1| \le 5 \) için:
  \( -5 \le x + 1 \le 5 \)
  Her taraftan \( 1 \) çıkaralım:
  \( -5 - 1 \le x + 1 - 1 \le 5 - 1 \)
  \( -6 \le x \le 4 \)
  Bu aralık: \( [-6, 4] \)

Son olarak, bu iki çözüm kümesinin kesişimini bulmalıyız. Sayı doğrusu üzerinde düşünürsek:

• \( (-\infty, -4) \cup (2, \infty) \) kümesi -4'ten küçük ve 2'den büyük sayıları içerir.
• \( [-6, 4] \) kümesi -6 ile 4 arasındaki sayıları (dahil) içerir.

Bu iki kümenin kesişimi:

Çözüm Kümesi: \( [-6, -4) \cup (2, 4] \)

Bir mutlak değer ifadesi, yani \( |A| \), asla negatif bir değer alamaz. En küçük değeri \( 0 \) 'dır.

• 👉 \( |x - 3| \) ifadesinin alabileceği en küçük değer \( 0 \) 'dır.
• 👉 Bu en küçük değere, mutlak değerin içini \( 0 \) yapan \( x \) değeri için ulaşılır. Yani \( x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \) olduğunda \( |x - 3| = 0 \) olur.
• 👉 İfadeyi tekrar yazalım: \( |x - 3| + 5 \)
• 👉 \( |x - 3| \) yerine en küçük değeri olan \( 0 \) 'ı koyarsak:
  \( 0 + 5 = 5 \)

Bu durumda, verilen ifadenin alabileceği en küçük değer \( 5 \) 'tir.

En küçük değer: \( 5 \)

a) \( f(2) \) ve \( f(5) \) değerlerini bulma:

• 👉 \( x = 2 \) için:
  \( f(2) = |2 - 4| = |-2| = 2 \)
• 👉 \( x = 5 \) için:
  \( f(5) = |5 - 4| = |1| = 1 \)

b) Fonksiyonu parçalı fonksiyon şeklinde yazma:

Mutlak değerin içindeki ifadeyi \( 0 \) yapan değeri buluruz. Bu değer \( x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \) 'tür. Bu nokta, fonksiyonun davranışının değiştiği kritik noktadır.

• 👉 Eğer \( x - 4 \ge 0 \) ise (yani \( x \ge 4 \)), mutlak değerin içi pozitif veya sıfırdır. Bu durumda \( |x - 4| = x - 4 \) olur.
• 👉 Eğer \( x - 4 < 0 \) ise (yani \( x < 4 \)), mutlak değerin içi negatiftir. Bu durumda \( |x - 4| = -(x - 4) = -x + 4 \) olur.

Bu bilgilerle \( f(x) \) fonksiyonunu parçalı olarak yazabiliriz:

Bir ürünün belirtilen değerden ne kadar sapabileceğini mutlak değer eşitsizliği ile gösterebiliriz.

• 👉 Çikolata paketinin gerçek ağırlığına \( x \) diyelim.
• 👉 Hedef ağırlık \( 100 \) gramdır.
• 👉 Sapma miktarı \( 5 \) grama kadardır. Bu, gerçek ağırlığın hedef ağırlıktan farkının mutlak değerinin \( 5 \) 'ten küçük veya eşit olduğu anlamına gelir.
• 👉 Mutlak değer eşitsizliğini kuralım:
  \( |x - 100| \le 5 \)
• 👉 Şimdi bu eşitsizliği çözelim:
  \( -5 \le x - 100 \le 5 \)
• 👉 Her tarafa \( +100 \) ekleyelim:
  \( -5 + 100 \le x - 100 + 100 \le 5 + 100 \)
  \( 95 \le x \le 105 \)

Bu çikolata paketinin ağırlığı \( 95 \) gram ile \( 105 \) gram arasında olabilir.

Olası Ağırlık Aralığı: \( [95, 105] \)

Bu problemde, batarya ömrünün belirli bir standarttan ne kadar farklılaşabileceği soruluyor. Bu da mutlak değer kavramıyla kolayca ifade edilebilir.

• 👉 Bataryanın olası ömrüne \( t \) (saat) diyelim.
• 👉 Standart batarya ömrü \( 20 \) saattir.
• 👉 Sapma miktarı en fazla \( 3 \) saat olabilir. Bu, gerçek ömrün standart ömürden farkının mutlak değerinin \( 3 \) 'ten küçük veya eşit olduğu anlamına gelir.
• 👉 Mutlak değer eşitsizliğini yazalım:
  \( |t - 20| \le 3 \)
• 👉 Şimdi bu eşitsizliği çözelim:
  \( -3 \le t - 20 \le 3 \)
• 👉 Her tarafa \( +20 \) ekleyelim:
  \( -3 + 20 \le t - 20 + 20 \le 3 + 20 \)
  \( 17 \le t \le 23 \)

Buna göre, telefon bataryasının olası ömrü \( 17 \) saat ile \( 23 \) saat arasında değişebilir.

Olası Batarya Ömrü Aralığı: \( [17, 23] \)