💡 9. Sınıf Matematik: Mutlak Değer Denklemleri Çözümlü Örnekler

Bu tür denklemleri çözerken mutlak değerin içindeki ifadenin pozitif veya negatif olma durumlarını ayrı ayrı ele alırız.

• Birinci Durum: Mutlak değerin içi pozitif ise, olduğu gibi çıkarılır.

\( x - 3 = 5 \)
Her iki tarafa 3 ekleyelim:
\( x = 5 + 3 \)
\( x = 8 \)

• İkinci Durum: Mutlak değerin içi negatif ise, işareti değiştirilerek çıkarılır.

\( x - 3 = -5 \)
Her iki tarafa 3 ekleyelim:
\( x = -5 + 3 \)
\( x = -2 \)

Bu denklemin çözüm kümesi \( \{ -2, 8 \} \) olur. 👉 Denklemdeki x değerlerini yerine koyarak sağlamasını yapabilirsiniz.

Mutlak değerin tanımını kullanarak iki ayrı denklem kuracağız.

• Durum 1: Mutlak değerin içi pozitif kabul edilir.

\( 2x + 1 = 7 \)
1'i karşıya atalım:
\( 2x = 7 - 1 \)
\( 2x = 6 \)
Her iki tarafı 2'ye bölelim:
\( x = 3 \)

• Durum 2: Mutlak değerin içi negatif kabul edilir.

\( 2x + 1 = -7 \)
1'i karşıya atalım:
\( 2x = -7 - 1 \)
\( 2x = -8 \)
Her iki tarafı 2'ye bölelim:
\( x = -4 \)

Dolayısıyla, denklemin çözüm kümesi \( \{ -4, 3 \} \) olarak bulunur. ✅

İki tarafta da mutlak değer olduğunda, iki olasılık vardır:

1. Mutlak değerlerin içleri birbirine eşittir.
2. Mutlak değerlerin içleri birbirinin tersidir (biri diğerinin negatifidir).

Şimdi bu iki durumu inceleyelim:

• Olasılık 1:

\( x + 5 = 2x - 1 \)
x'leri bir tarafa, sabitleri diğer tarafa toplayalım:
\( 5 + 1 = 2x - x \)
\( 6 = x \)

• Olasılık 2:

\( x + 5 = -(2x - 1) \)
Sağ tarafı açalım:
\( x + 5 = -2x + 1 \)
x'leri bir tarafa, sabitleri diğer tarafa toplayalım:
\( x + 2x = 1 - 5 \)
\( 3x = -4 \)
Her iki tarafı 3'e bölelim:
\( x = -\frac{4}{3} \)

Bu denklemin çözüm kümesi \( \{ 6, -\frac{4}{3} \} \) olur. 💡

Mutlak değerin içindeki ifadenin pozitif ve negatif değerlerini ayrı ayrı inceleyerek denklemleri çözeceğiz.

• Pozitif Durum:

\( 3x - 6 = 9 \)
Sabit terimi karşıya atalım:
\( 3x = 9 + 6 \)
\( 3x = 15 \)
x'i bulmak için her iki tarafı 3'e bölelim:
\( x = 5 \)

• Negatif Durum:

\( 3x - 6 = -9 \)
Sabit terimi karşıya atalım:
\( 3x = -9 + 6 \)
\( 3x = -3 \)
x'i bulmak için her iki tarafı 3'e bölelim:
\( x = -1 \)

Bulduğumuz x değerleri 5 ve -1'dir. Bu değerlerin toplamı:
\( 5 + (-1) = 4 \)
Dolayısıyla, denklemi sağlayan x değerlerinin toplamı 4'tür. 💯

Hareketlinin başlangıç noktasından 4 birim uzaklıkta olması demek, konumunun hem 4 hem de -4 olması demektir. Konum formülü \( K(t) = |2t - 10| \) olduğuna göre, iki ayrı denklem kurmalıyız:

• Durum 1: Konum 4 birim

\( |2t - 10| = 4 \)
Bu denklemi çözelim:
Alt Durum 1.1: \( 2t - 10 = 4 \)
\( 2t = 14 \)
\( t = 7 \) saniye
Alt Durum 1.2: \( 2t - 10 = -4 \)
\( 2t = 6 \)
\( t = 3 \) saniye

• Durum 2: Konum -4 birim

\( |2t - 10| = -4 \)
Mutlak değerin sonucu asla negatif olamayacağı için bu durumun bir çözümü yoktur. ❌

Bu nedenle, hareketlinin başlangıç noktasından 4 birim uzaklıkta olduğu zamanlar 3. saniye ve 7. saniyedir. 👉 Zaman t negatif olamaz, bu yüzden bulduğumuz pozitif değerler geçerlidir.

Burada \( |100 - x| = 20 \) denklemi, orijinal fiyat (100 TL) ile indirimli fiyat (x TL) arasındaki farkın mutlak değerinin 20 TL olduğunu ifade eder. Bu, indirimli fiyatın ya 20 TL daha az ya da 20 TL daha fazla olabileceği anlamına gelmez, fiyat farkının 20 TL olduğunu belirtir. Denklemi iki olasılıkla çözelim:

• Olasılık 1:

\( 100 - x = 20 \)
x'i bulmak için denklemi düzenleyelim:
\( 100 - 20 = x \)
\( x = 80 \) TL

• Olasılık 2:

\( 100 - x = -20 \)
x'i bulmak için denklemi düzenleyelim:
\( 100 + 20 = x \)
\( x = 120 \) TL

Ancak soruda indirimden bahsedildiği için, indirimli fiyatın orijinal fiyattan daha düşük olması beklenir. Bu durumda, indirimli fiyat 80 TL'dir. Eğer denklem fiyat farkını ifade ediyorsa, 120 TL de bir olasılıktır (bu durumda 20 TL zam yapılmış olurdu). Sorunun bağlamına göre indirimli fiyat 80 TL'dir. 💰

Bu denklemde mutlak değerin içindeki ifade bir ikinci dereceden ifadedir. İki ana durumu inceleyeceğiz:

• Durum 1: Mutlak değerin içi pozitif veya sıfır ise

\( x^2 - 4 = 5 \)
\( x^2 = 5 + 4 \)
\( x^2 = 9 \)
Bu denklemi sağlayan x değerleri şunlardır:
\( x = 3 \) veya \( x = -3 \)

• Durum 2: Mutlak değerin içi negatif ise

\( x^2 - 4 = -5 \)
\( x^2 = -5 + 4 \)
\( x^2 = -1 \)
Reel sayılarda karesi -1 olan bir sayı yoktur. Bu nedenle bu durumdan reel kök gelmez. 🚫

Dolayısıyla, denklemin reel sayılardaki çözüm kümesi \( \{ -3, 3 \} \) olur. 💡

Bu tür denklemleri çözmek için kritik noktaları belirleyip aralıklara ayırarak incelemek en doğru yöntemdir. Kritik noktalar, mutlak değerin içini sıfır yapan değerlerdir:

• \( x - 1 = 0 \implies x = 1 \)
• \( x + 2 = 0 \implies x = -2 \)

Bu kritik noktalar sayı doğrusunu üç aralığa böler: \( (-\infty, -2] \), \( [-2, 1] \), ve \( [1, \infty) \).

• Aralık 1: \( x < -2 \)

Bu aralıkta \( x - 1 \) negatiftir ve \( x + 2 \) negatiftir.
\( -(x - 1) - (x + 2) = 5 \)
\( -x + 1 - x - 2 = 5 \)
\( -2x - 1 = 5 \)
\( -2x = 6 \)
\( x = -3 \)
Bulduğumuz \( x = -3 \) değeri, bu aralığa \( (- \infty, -2] \) düştüğü için geçerlidir. ✅

• Aralık 2: \( -2 \le x \le 1 \)

Bu aralıkta \( x - 1 \) negatiftir ve \( x + 2 \) pozitiftir.
\( -(x - 1) + (x + 2) = 5 \)
\( -x + 1 + x + 2 = 5 \)
\( 3 = 5 \)
Bu bir çelişkidir, bu aralıkta çözüm yoktur. ❌

• Aralık 3: \( x > 1 \)

Bu aralıkta \( x - 1 \) pozitiftir ve \( x + 2 \) pozitiftir.
\( (x - 1) + (x + 2) = 5 \)
\( 2x + 1 = 5 \)
\( 2x = 4 \)
\( x = 2 \)
Bulduğumuz \( x = 2 \) değeri, bu aralığa \( [1, \infty) \) düştüğü için geçerlidir. 👉

Bu denklemin çözüm kümesi \( \{ -3, 2 \} \) olarak bulunur.