💡 9. Sınıf Matematik: Mod medyan Çözümlü Örnekler

• Verilen notları inceleyelim: 55, 60, 75, 80, 60, 90, 75, 60, 85, 70.
• Her bir notun kaç kez tekrar ettiğini sayalım:
  • 55: 1 kez
  • 60: 3 kez
  • 75: 2 kez
  • 80: 1 kez
  • 90: 1 kez
  • 85: 1 kez
  • 70: 1 kez
• En çok tekrar eden not 60'tır (3 kez).

• Verilen notlar: 55, 60, 75, 80, 60, 90, 75, 60, 85, 70.
• Sıralanmış veri grubu: 55, 60, 60, 60, 70, 75, 75, 80, 85, 90.
• Bu veri grubunda toplam 10 eleman (çift sayıda) bulunmaktadır.
• Çift sayıda eleman olduğunda medyan, ortadaki iki elemanın aritmetik ortalamasıdır.
• Ortadaki elemanlar 5. ve 6. elemanlardır: 70 ve 75.
• Medyan = \( \frac{70 + 75}{2} \)
• Medyan = \( \frac{145}{2} \)
• Medyan = \( 72.5 \)

Mod Hesabı:

• Verilen elma satış miktarları: 120, 135, 110, 150, 135, 140, 125.
• En çok tekrar eden değer 135'tir (2 kez).

Medyan Hesabı:

• Veri grubunu küçükten büyüğe sıralayalım: 110, 120, 125, 135, 135, 140, 150.
• Bu veri grubunda 7 eleman (tek sayıda) bulunmaktadır.
• Tek sayıda eleman olduğunda medyan, tam ortadaki elemandır.
• Ortadaki eleman 4. elemandır: 135.

İlk 5 Gün:

• Veri: 8, 10, 9, 10, 7.
• Sıralı Veri: 7, 8, 9, 10, 10.
• Mod: En çok tekrar eden değer 10'dur.
• Medyan: Ortadaki eleman (3. eleman) 9'dur.

6. Gün Sonrası (Yeni Veri Seti):

• Yeni Veri: 8, 10, 9, 10, 7, 11.
• Sıralı Yeni Veri: 7, 8, 9, 10, 10, 11.
• Bu veri setinde 6 eleman (çift sayıda) var.
• Ortadaki elemanlar 3. ve 4. elemanlardır: 9 ve 10.
• Yeni Medyan = \( \frac{9 + 10}{2} \) = \( \frac{19}{2} \) = \( 9.5 \).
• Yeni Mod: Veri setinde tekrar eden tek değer 10'dur (2 kez). Yani Mod 10'dur.

Değişim:

• Mod: İlk 5 günde 10 iken, 6. gün sonrası da 10 olarak kalmıştır.
• Medyan: İlk 5 günde 9 iken, 6. gün sonrası 9.5 olmuştur. Yani medyan artmıştır.

Mod Hesabı:

• Fiyatlar: 50, 60, 50, 70, 80, 60, 50, 90, 60.
• En sık satılan fiyatı bulalım:
  • 50 TL: 3 kez
  • 60 TL: 3 kez
  • 70 TL: 1 kez
  • 80 TL: 1 kez
  • 90 TL: 1 kez
• Bu veri setinin iki modu vardır: 50 TL ve 60 TL. Bu, bu fiyatlardaki tişörtlerin en çok satıldığını gösterir.

Medyan Hesabı:

• Fiyatları küçükten büyüğe sıralayalım: 50, 50, 50, 60, 60, 60, 70, 80, 90.
• Toplam 9 eleman (tek sayıda) var.
• Ortadaki eleman 5. elemandır: 60.

Özet:

• Mağazada en çok satılan fiyatlar 50 TL ve 60 TL'dir (Modlar).
• Tişört fiyatlarının ortalama değeri (medyan) 60 TL'dir.

İlk 5 Ay:

• Kar Miktarları: 250, 300, 280, 300, 270.
• Sıralı Kar Miktarları: 250, 270, 280, 300, 300.
• Mod: En çok tekrar eden değer 300'dür.
• Medyan: Ortadaki eleman (3. eleman) 280'dir.

6. Ay Sonrası (Yeni Veri Seti):

• Yeni Kar Miktarları: 250, 300, 280, 300, 270, 350.
• Sıralı Yeni Kar Miktarları: 250, 270, 280, 300, 300, 350.
• Bu veri setinde 6 eleman (çift sayıda) var.
• Ortadaki elemanlar 3. ve 4. elemanlardır: 280 ve 300.
• Yeni Medyan = \( \frac{280 + 300}{2} \) = \( \frac{580}{2} \) = \( 290 \).
• Yeni Mod: Veri setinde tekrar eden tek değer 300'dür (2 kez). Yani Mod 300'dür.

Mod ve Medyan Arasındaki Fark:

• Yeni Mod = 300
• Yeni Medyan = 290
• Fark = Yeni Mod - Yeni Medyan = \( 300 - 290 \)
• Fark = 10 bin TL.

Mevcut Veri Seti:

• Boy Uzunlukları: 155, 160, 158, 162, 160, 155, 165, 160, 158, 160.
• Sıralı Veri: 155, 155, 158, 158, 160, 160, 160, 160, 162, 165.
• Toplam 10 eleman var.
• Mod: En çok tekrar eden değer 160'tır (4 kez).
• Medyan: Ortadaki iki eleman (5. ve 6. elemanlar) 160 ve 160'tır. Medyan = \( \frac{160 + 160}{2} \) = 160.

Yeni Öğrenci Eklendiğinde (Boyu 160 cm):

• Yeni Veri: 155, 155, 158, 158, 160, 160, 160, 160, 160, 162, 165.
• Toplam 11 eleman var (tek sayıda).
• Yeni Mod: En çok tekrar eden değer hala 160'tır (5 kez).
• Yeni Medyan: Ortadaki eleman (6. eleman) 160'tır.

Değişim:

• Mod: Mevcut veri setinde 160 iken, yeni öğrenci eklendiğinde de 160 olarak kalmıştır.
• Medyan: Mevcut veri setinde 160 iken, yeni öğrenci eklendiğinde de 160 olarak kalmıştır.

Mod Hesabı:

• Adım Sayıları: 7500, 8200, 7800, 8500, 7800, 9000, 7500.
• En sık tekrar eden adım sayıları:
  • 7500 adım: 2 kez
  • 7800 adım: 2 kez
  • 8200 adım: 1 kez
  • 8500 adım: 1 kez
  • 9000 adım: 1 kez
• Bu veri setinin iki modu vardır: 7500 adım ve 7800 adım. Bu, bu iki adım sayısının en sık tekrarlandığını gösterir.

Medyan Hesabı:

• Adım Sayılarını küçükten büyüğe sıralayalım: 7500, 7500, 7800, 7800, 8200, 8500, 9000.
• Toplam 7 eleman (tek sayıda) var.
• Ortadaki eleman 4. elemandır: 7800.

Sonuç:

• Grubun en sık attığı adım sayıları 7500 ve 7800'dür (Modlar).
• Grubun ortalama adım sayısı (medyan) 7800'dür.

Başlangıç Veri Seti (9 eleman):

• Mod = 25
• Medyan = 30
• Veri setinde 9 eleman olduğu için medyan, sıralanmış veri setinin 5. elemanıdır. Yani 5. eleman = 30.
• Modun 25 olması, 25 sayısının en az iki kez geçtiğini ve diğer sayılardan daha fazla tekrar ettiğini gösterir.

Yeni Veri Seti (10 eleman):

• Başlangıçtaki 9 elemana 40 sayısı eklenmiş ve toplam 10 eleman olmuş.
• Yeni Mod = 25 (Mod değişmemiş, yani 25 hala en sık tekrar eden sayı)
• Yeni Medyan = 32
• 10 elemanlı bir veri setinde medyan, ortadaki iki elemanın (5. ve 6. elemanların) ortalamasıdır. Yeni medyan 32 olduğuna göre, \( \frac{5. \text{ eleman} + 6. \text{ eleman}}{2} = 32 \) olmalıdır. Bu da 5. eleman + 6. eleman = 64 demektir.

Çıkarımlar ve Eksik Sayıyı Bulma:

Modun 25 olarak kalması, başlangıç veri setinde 25'in en az iki kez geçtiğini ve yeni eklenen 40 sayısının 25'ten daha fazla tekrar etmediğini gösterir.

Yeni medyanın 32 olması, sıralanmış yeni veri setinin 5. ve 6. elemanlarının toplamının 64 olduğunu gösterir.

Başlangıç medyanı 30 idi ve bu 5. elemandı. Yeni medyan 32 olunca, sıralamada bir kayma olmuş olmalı.

Eğer başlangıç veri setinde 25 sayısı iki kez geçiyorsa ve medyan 30 ise, sıralama yaklaşık olarak şöyle olabilir: 25, 25, ..., 30, ..., x, ...

Yeni veri setine 40 eklendiğinde mod 25 olarak kalıyor. Bu, 25'in hala en sık tekrar eden sayı olduğunu gösterir.

Yeni medyan 32 olduğuna göre, sıralanmış yeni veri setinde 5. ve 6. elemanların toplamı 64 olmalı. Eğer başlangıçtaki 5. eleman 30 ise ve yeni veri setinde 40 eklendiğinde medyan 32 oluyorsa, bu 40 sayısı muhtemelen sıralamada daha sonraki bir yere gelmiştir.

Şimdi başlangıçtaki 9 elemanı ve yeni eklenen 40'ı sıraladığımızda, 5. ve 6. elemanların ortalamasının 32 olmasını istiyoruz. Başlangıç medyanı 30 idi (5. eleman).

Eğer başlangıç veri setindeki eksik sayı (x) 30'dan küçük olsaydı, medyan daha da düşerdi. Eğer x, 30'dan büyük olsaydı ve 40'tan küçük olsaydı, bu duruma uyabilir.

Şöyle düşünelim: Başlangıçta 9 sayı var, medyan 30 (5. sayı). Mod 25.

Yeni 10 sayı var, medyan 32 (5. ve 6. sayının ortalaması). Mod 25.

Eğer başlangıçtaki 5. sayı 30 ise, ve yeni veri setinde 5. ve 6. sayıların ortalaması 32 ise, bu demektir ki sıralamada bir değişiklik olmuş.

Eğer başlangıçtaki 9 eleman sıralandığında 5. eleman 30 ise ve yeni 40 eklendiğinde medyan 32 oluyorsa, bu 40 sayısı sıralamada 6. veya daha sonraki bir yere yerleşmiş olmalı.

Yeni medyan 32 olduğundan, 5. ve 6. elemanların toplamı 64 olmalı. Eğer 5. eleman hala 30 civarında ise, 6. eleman 34 civarında olmalı.

Eğer başlangıçtaki 9 elemanlı setin sıralanmış hali şöyleyse: 25, 25, ..., x, ..., 30, ..., y, ...

Yeni 10 elemanlı setin sıralanmış hali: 25, 25, ..., x, ..., 30, ..., y, ..., 40 (veya 40'ın konumu değişebilir).

Yeni medyan 32 olduğuna göre, 5. ve 6. elemanların ortalaması 32. Bu elemanlar 30 ve 34 olabilir.

Eğer başlangıçtaki 5. eleman 30 ise, ve yeni eklenen 40 ile medyan 32 oluyorsa, bu 40 sayısı 6. veya daha sonraki bir yere gelmiş demektir. Bu durumda 5. eleman hala 30 kalırsa, 6. elemanın 34 olması gerekir.

Eğer başlangıçtaki 9 elemanlı veri setinin sıralanmış hali şöyledir: 25, 25, 28, 29, 30, 34, 35, 36, 37.

Bu durumda mod 25, medyan 30 olur.

Şimdi 40 ekleyelim: 25, 25, 28, 29, 30, 34, 35, 36, 37, 40.

Yeni medyan: \( \frac{30 + 34}{2} = 32 \). Mod hala 25.

Bu durumda başlangıçtaki veri setinde eksik olan sayı (x) 34'tür. Soruda "eksik olan bir sayı (x)" deniyor, bu da başlangıçtaki 9 elemandan biri olmalı. Bu durumda başlangıçtaki 9 elemandan biri 34 olmalı.

Şimdi başlangıçtaki veri setini tekrar oluşturalım:

• 9 elemanlı, modu 25, medyanı 30.
• Eksik sayı x = 34.
• Sıralı hali: 25, 25, 28, 29, 30, 34, 35, 36, 37.
• Mod = 25 (doğru).
• Medyan = 30 (doğru).

Yeni veri seti (40 eklenmiş): 25, 25, 28, 29, 30, 34, 35, 36, 37, 40.

Yeni medyan = \( \frac{30 + 34}{2} = 32 \) (doğru).

Yeni mod = 25 (doğru).

Bu durumda, başlangıç veri setinde eksik olan sayı 34'tür. ✅